진동

스프링-질량 시스템은 진동 시스템입니다.

진동은 중심값(종종 평형점)에 대한 일부 측정값 또는 두 개 이상의 다른 상태 사이의 반복 또는 주기적인 변화입니다.진동의 친숙한 예로는 흔들리는 진자와 교류 등이 있습니다.진동은 물리학에서 원자 사이의 상호작용과 같은 복잡한 상호작용을 근사하기 위해 사용될 수 있다.

진동은 기계 시스템뿐만 아니라 과학의 거의 모든 영역에서 발생하는 동적 시스템에서도 발생합니다. 예를 들어, 인간의 심장 박동(순환을 위한), 경제학의 비즈니스 사이클, 생태학의 포식자-사료 개체 사이클, 지질학의 지열 간헐천, 기타 및 기타 현악기의 현 진동, Periodic 뇌 신경세포의 발화, 천문학에서 세페이드 변광성의 주기적 팽창.진동이라는 용어는 정확하게 기계적 진동을 설명하기 위해 사용됩니다.

단순 고조파

가장 간단한 기계적 진동 시스템은 무게와 장력만을 받는 선형 스프링에 부착된 추입니다.이러한 시스템은 공기 테이블 또는 얼음 표면에 근사할 수 있다.스프링이 정적일 때 시스템은 평형 상태에 있습니다.시스템이 평형에서 벗어나면 질량에 순회복력이 작용하여 질량을 평형으로 되돌리는 경향이 있습니다.하지만, 평형 위치로 질량을 이동시킬 때, 그것은 운동량을 획득하여 그 위치를 넘어 계속 이동하게 하고, 반대되는 의미에서의 새로운 복원력을 확립한다.시스템에 중력 등의 일정한 힘이 가해지면 평형점이 어긋난다.진동이 발생하는 데 걸리는 시간을 흔히 진동 주기라고 합니다.

스프링-질량계의 역학과 같이 물체에 대한 복원력이 변위에 정비례하는 시스템은 수학적으로 단순한 고조파 진동자에 의해 설명되며 규칙적인 주기적 운동은 단순한 고조파 운동으로 알려져 있습니다.스프링-질량 시스템에서 진동은 정적 평형 변위 시 질량이 운동 에너지를 가지기 때문에 발생하며, 운동 에너지는 경로의 최단 스프링에 저장된 위치 에너지로 변환됩니다.스프링 질량 시스템은 진동의 몇 가지 일반적인 특징, 즉 평형의 존재와 시스템이 평형에서 벗어날수록 더 강해지는 복원력의 존재를 보여줍니다.

스프링 질량계의 경우, 후크의 법칙에 따르면 스프링의 복원력은 다음과 같습니다.

$F=-kx$

뉴턴의 제2법칙을 이용하여 미분방정식을 도출할 수 있다.

${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ - ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ x ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ - ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ x { $displaystyle$ { $ddot$ { ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ x } = - { \ $frac$ { k $}$ { m } x ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ = - \ $메가$ ^ {2 $}$ x ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ ,

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ 서 $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ (\ $displaystyle \obega$ = $snarrt$ (\ $frac {k}{m}})$

이 미분 방정식의 해는 사인파 위치 함수를 생성합니다.

$x(t)=A\cos(\omega t-\delta)$

여기서 θ는 발진 주파수, A는 진폭, θ는 함수의 위상 편이입니다.이 값은 시스템의 초기 상태에 따라 결정됩니다.코사인(cosine)은 1과 -1 사이에서 무한히 진동하기 때문에 스프링 질량 시스템은 마찰 없이 양진폭과 음진폭 사이에서 영원히 진동합니다.

2차원 발진기

2차원 또는 3차원에서 고조파 발진기는 1차원과 유사하게 동작합니다.가장 간단한 예는 등방성 발진기로, 복원력은 모든 방향에서 동일한 복원 상수를 가진 평형으로부터의 변위에 비례합니다.

$F=-k{\vec {r}}$

이렇게 하면 유사한 해법이 생성되지만, 이제는 모든 방향에 대해 다른 방정식이 있습니다.

$displaystyle$ $A_{x}\cos(\omega$ t- $\delta$ _ ${x$

$）$ $A_{y}\cos(\omega$ t- $\delta$ _ ${y$

[...]

이방성 발진기

이방성 발진기의 경우 방향마다 복원력의 상수가 다릅니다.솔루션은 등방성 발진기와 유사하지만 각 방향마다 주파수가 다릅니다.서로 상대적인 주파수를 변경하면 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.예를 들어 한 방향의 주파수가 다른 방향의 2배일 경우 그림 8 패턴을 생성한다.주파수 비율이 비합리적인 경우 운동은 준주파성입니다.이 운동은 각 축에서 주기적이지만 r에 대해서는 주기적이지 않으며 ^[1]반복되지 않습니다.

감쇠 진동

모든 실제 발진기 시스템은 열역학적으로 돌이킬 수 없습니다.이는 환경에서 발진기에 저장된 에너지의 일부를 열로 지속적으로 변환하는 마찰 또는 전기 저항과 같은 소멸 프로세스가 있음을 의미합니다.이것은 댐핑이라고 불립니다.따라서 진동은 시스템에 에너지원이 없는 한 시간에 따라 감소하는 경향이 있습니다.이 붕괴 과정에 대한 가장 간단한 설명은 고조파 발진기의 진동 붕괴로 설명할 수 있습니다.

감쇠 발진기는 저항력이 도입될 때 생성되며, 저항력은 위치의 첫 번째 도함수(이 경우 속도)에 따라 달라집니다.뉴턴의 제2법칙에 의해 만들어진 미분방정식은 임의의 상수 b와 함께 이 저항력에 더해집니다.이 예에서는 속도에 대한 선형 의존성을 가정합니다.

$mbcdot {x}+bbcdot {x}+kx=0$

이 방정식은 이전과 같이 다시 쓰여질 수 있습니다.

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ + ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ x ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ + ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ 2 ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ { $displaystyle$ { $dot$ { $x$ } + $2 \ dot$ { x } + \ $obega _$ { 0 $}^{2}$ x ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ 0 ,

$2\beta ={\frac {b}{m}}$ 서 $2\beta ={\frac {b}{m}}$ $2\beta ={\frac {b}{m}}$ $2\beta ={\frac {b}{m}}$ $2\beta ={\frac {b}{m}}$ (\ $displaystyle 2\$ displaystyle 2\displays = $barch$ frac ${b}{m})$

이를 통해 일반적인 솔루션이 생성됩니다.

$x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ ( $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ ) $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ - $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ t ( $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ e $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ 1 $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ + $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ - $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ t ) $x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ { $displaystyle$ x ( t ) = $e^$ { - \ $display style$ x ( t ) = $e^$ { \ $opega$ _ { ${$ 1 $}$ $t$ } + C $_$ { $2} e$ ^ { - \ \ \ } $t$ } ,

여기서 $\omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$ 1 $=$ $\omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$ 2 - $\omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$ $\omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$ 2 (\ $displaystyle$ \ $obmega$ _{1}= $subrt$ {\displaystyle $^{2}-\obmega$ _ ${0}^{2}}}}$

괄호 바깥의 지수항은 붕괴함수이고 β는 감쇠계수입니다.감쇠 발진기에는 세 가지 범주가 있습니다. β < δ; 과감쇠; β₀ > δ₀; 임계 감쇠; β = δ이다₀.

구동 진동

또, AC회로가 외부전원에 접속되어 있는 경우와 같이, 발진계에는 어떠한 외력이 주어지는 경우가 있다.이 경우 진동이 구동된다고 합니다.

가장 간단한 예는 정현파 구동력을 가진 스프링 질량 시스템입니다.

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ + ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ x ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ + ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ 0 ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$ ( $t$ ) { $displaystyle$ \ $dot$ { $x$ } + $2 \$ $dot$ { x } + \ $obega$ $_$ { $0$ } x $=$ $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ cos $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ t $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ ） $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ f 0 cos $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ （ $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ ） $。여기$ 서 $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ ( $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ ) = f ( t + $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ t ) $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ = f _ displaystyle f _ $displaystyle$ f _ displaystyle f ( t ) = f ( t ) = f ( t ) = f ( t ) = f $_$

이를 통해 다음과 같은 해결책을 얻을 수 있습니다.

$x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr})$ $A\cos(\omega t-\delta)+$ $A_{tr}\cos(\omega_{1}t-\delta_{tr$

$A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ 서 A $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ ( $\delta =\tan ^{-1}({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}})$ $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ 0 2 - $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ ) + $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ β $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\beta \omega }}}$ 2 display 2 display 2 （ $display$ $style$ A = $frac$ { $f_{ 0$ }^2 $}$ - \ $obega ^{2}} + 2$ \ display $\delta =\tan ^{-1}({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}})$ - $display$ 2 $）$

x(t)의 두 번째 항은 미분 방정식의 과도해이다.과도 솔루션은 시스템의 초기 조건을 사용하여 찾을 수 있습니다.

일부 시스템은 환경으로부터의 에너지 전달에 의해 활성화될 수 있습니다.이 전송은 일반적으로 시스템이 유체 흐름에 내장되어 있을 때 발생합니다.예를 들어 (평형상태에서) 항공기 날개의 임의적인 작은 변위가 기류에 대한 날개의 공격각도를 증가시키고 결과적으로 상승계수를 증가시켜 더 큰 변위를 초래할 때 공기역학에서 플래터 현상이 발생한다.충분히 큰 변위에서는 날개의 강성이 지배하여 진동을 가능하게 하는 복원력을 제공합니다.

공명

공명은 감쇠 구동 발진기에서 δ = δ일₀ 때, 즉 구동 주파수가 시스템의 고유 주파수와 같을 때 발생합니다.이 경우 진폭의 분모가 최소화되어 진폭이 최대화됩니다.

결합 진동

한 줄에 같은 주기의 두 개의 진자가 한 쌍의 결합된 발진기 역할을 합니다.진동은 둘 사이를 번갈아 가며 움직인다.

두 클럭의 Huygens 동기 실험 설정

고조파 발진기와 그것이 모델링하는 시스템은 단일 자유도를 가집니다.더 복잡한 시스템은 예를 들어 두 개의 질량과 세 개의 스프링(각 질량은 고정된 점 및 서로에 부착됨)과 같이 자유도가 더 높습니다.이러한 경우 각 변수의 동작은 다른 변수의 동작에 영향을 미칩니다.이는 개별 자유도의 진동 결합으로 이어집니다.예를 들어, 공통 벽에 장착된 (동일한 주파수의) 두 개의 진자 시계는 동기화되는 경향이 있습니다.이 현상은 1665년 ^[2]Christiaan Huygens에 의해 처음 관찰되었다.복합 진동의 겉보기 운동은 일반적으로 매우 복잡해 보이지만 운동을 정상 모드로 분해함으로써 보다 경제적이고 계산적으로 단순하며 개념적으로 더 깊은 설명이 제공됩니다.

커플링 발진기의 가장 단순한 형태는 3 스프링, 2 질량 시스템으로, 질량과 스프링 상수는 동일합니다.이 문제는 양쪽 질량에 대해 뉴턴의 제2법칙을 도출하는 것으로 시작된다.

$m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ 1 $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ - $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ ( $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ + $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ ) $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ 1 + $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ 2 $m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}$ ( \ $displaystyle m _$ { \ $ddot$ { $x }$ $)_{1}+$ $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ ${2}$ $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ ${2$ $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ - $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ 2 $m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}$ ( $display style$ )

그런 다음 방정식은 행렬 형태로 일반화됩니다.

$F=M{\ddot {x}}=kx$ $F=M{\ddot {x}}=kx$ $F=M{\ddot {x}}=kx$ x $F=M{\ddot {x}}=kx$ $F=M{\ddot {x}}=kx$ $F=M{\ddot {x}}=kx$ x \ $displaystyle$ F= $M{$ \ $ddot$ { $F=M{\ddot {x}}=kx$ x } = $kx$ } ,

여기서 M)[m100m2]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&, 0\\0&, m_{2}\end{bmatrix}}}, x =[x1x2]{\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}, k=[k1+k2− k2− k2k2+k3]{\display.스타일 k= ${{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3$ $}\end {bmatrix}}$

k와 m의 값은 행렬에 대입할 수 있습니다.

$m_{1}=m_{2}=m$ 1 $m_{1}=m_{2}=m$ $m_{1}=m_{2}=m$ $m_{1}=m_{2}=m$ $m_{1}=m_{2}=m$ { $style$ m _ {1} = $m$ _ {2} = $m$ } , $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ 1 $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ 2 $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ { $displaystyle$ k $_$ {1} = $k$ _ {3} $= k$ ,

$M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}}$ $M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}}$ [ $M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}}$ $M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}}$ $]{$ $displaystyle$ M = $spec$ begin { $bmatrix$ } $m&0\\0&m$ $\end$ { $bmatrix$ , $k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}$ $k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}$ [ $k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}$ k $k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}$ - $k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}$ $k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}$ ]{ $displaystyle$ k $= spec$ { $bmatrix } 2$ k & k & k \ \ $k$ \ \ \ \ \ \ \ \ k \ end { $bmatrix$ }

이제 이러한 매트릭스를 일반 솔루션에 연결할 수 있습니다.

$\ displaystyle ( k - M \ 메가 ^ {2} )a = 0 }$

${\displaystyle{bmatrix}2k-m\obega^{2}&k&2k-m\obega^{2}\end{bmatrix}=0}$

이 행렬의 행렬식은 2차 방정식을 산출한다.

${\displaystyle(3k-m\Omega^{2})(k-m\Omega^{2})=0}$

$\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ 1 $\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ = $\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ \ $displaystyle$ \ $obega$ _ { } $=$ $paramrt$ { $\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}$ { k $\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}$ } { $\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ m $\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ } 、 $\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}$ 2 $=$ 3 $\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}$ $m = paramrt$ { $frac$ { 3 $k$ } { m $\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}$ } $}$

이 시스템은 매스의 시작점에 따라 2개의 가능한 주파수(또는 두 개의 주파수 조합)를 가집니다.질량이 동일한 방향으로 변위되어 시작되는 경우, 중간 스프링이 연장되지 않기 때문에 주파수는 단일 질량 시스템의 주파수가 됩니다.두 개의 질량이 반대 방향으로 시작될 경우 두 번째로 빠른 주파수는 ^[1]시스템의 주파수입니다.

더 특별한 경우는 에너지가 두 가지 형태의 진동 사이에서 번갈아 일어나는 결합된 발진기입니다.잘 알려진 것은 윌버포스 진자인데, 이 진자는 수직 스프링의 신장과 스프링 끝에 있는 물체의 회전을 번갈아 가며 진동한다.

커플링 발진기는 서로 관련이 있지만 서로 다른 두 가지 현상에 대한 일반적인 설명입니다.한 가지 예는 두 진동이 서로 영향을 미치는 경우로, 일반적으로 단일의 맞물린 진동 상태가 발생하며, 두 진동 모두 주파수가 저하되어 진동합니다.또 다른 예는 하나의 외부 발진이 내부 발진에 영향을 미치지만 이 영향을 받지 않는 경우입니다.이 경우, Arnold Tangues로 알려진 동기 영역은 예를 들어 혼돈된 역학처럼 매우 복잡한 현상을 초래할 수 있습니다.

소진동 근사치

물리학에서, 일련의 보존력과 평형점을 가진 시스템은 평형 근방의 고조파 발진기로 근사할 수 있다.그 예로는 Lennard-Jones 잠재력이 있으며, 잠재력은 다음과 같이 주어진다.

$U(r)=U_{0}\left[\left ({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left ({\frac {r_0}}{r}}\right)^{6}\right]$

그런 다음 함수의 평형점을 찾습니다.

${\displaystyle\frac {dU}{dr}}=0=U_{0}[-12r_{0}^{12}r^{-13)+6r_{0}^{6}r^{-7}]}$

${\displaystyle\오른쪽 화살표 r_{0}\about r}$

그런 다음 두 번째 도함수가 발견되어 유효 전위 상수로 사용됩니다.

$\displaystyle \displays _{displays}=syslogfrac {d^{2}}U}{dr^{2}}\vert _{r=r_{0}}=U_{0}[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}}}$

$\displaystyle \displays _{displays}=syslogfrac {displaysU_{0}}{r^{2}}}}$

시스템은 평형점 근처에서 진동을 일으킵니다.이러한 진동을 일으키는 힘은 위의 유효 전위 상수에서 도출됩니다.

$F=-\gamma _{display}(r-r_{0})=m_{display}{\dot {r}$

이 미분 방정식은 단순한 고조파 발진기의 형태로 다시 쓸 수 있습니다.

${r}+{\frac_{frac}{m_{fac}}(r-r_{0})=0$

따라서 작은 진동 주파수는 다음과 같습니다.

$({displaystyle\mega_{0}=m_{display}}) =m_{displayrt {frac}U_{0}}{r^{2}m_{eff}}}}$

또는 일반적인^[3] 형태로

$\mega _{0}=sqrt {\frac {d^{2}}U}{dU^{2}}\vert _{r=r_{0}}}}$

이 근사치는 시스템의 잠재적 곡선을 보면 더 잘 이해할 수 있습니다.퍼텐셜 커브를 언덕이라고 생각하면 커브상의 임의의 위치에 공을 놓으면 퍼텐셜 커브의 기울기와 함께 공이 굴러 내려갑니다.이것은 잠재적 에너지와 힘 사이의 관계 때문에 사실이다.

${\displaystyle\frac{dU}{dt}}=-F(r)}$

이 방법으로 가능성을 생각해 보면, $r_{min}$ 지역적으로 볼이 $r_{min}$ mi n $r_{min}$ { $display$ style $r_{min}$ 과 $r_{{min}}$ r $r_{max}$ x $r_{max}$ { $display$ style $r_{max$ 사이에서 $r_{min}$ 로 굴러가는 "우물"이 있다는 것을 알 수 있습니다.이 근사치는 케플러 궤도를 생각할 때도 유용합니다.

연속 시스템 – 파도

자유도가 임의로 커짐에 따라 시스템은 연속성에 접근합니다. 예를 들어 끈이나 수역의 표면 등이 있습니다.이러한 시스템은 (고전적인 한계에서) 무한히 많은 정상 모드를 가지며, 그 진동은 특징적으로 전파될 수 있는 파형의 형태로 발생합니다.

수학

시퀀스의 진동(파란색으로 표시)은 시퀀스보다 상위 한계와 하위 한계 사이의 차이입니다.

진동의 수학은 수열이나 함수가 극단 사이를 이동하는 경향이 있는 양의 정량화를 다룬다.관련된 개념이 몇 가지 있습니다.실수 시퀀스의 진동, 한 점에서 실수값 함수의 진동, 간격(또는 열린 집합)에서의 함수 진동입니다.

예

기계

전기

전기 기계

수정 발진기

옵티컬

레이저(주파수가¹⁵ 10Hz인 전자기장의 발진)
발진기 Toda 또는 자가 펄스(과도한 상태에서 10Hz ~ 10Hz의⁶ 주파수에서⁴ 레이저 출력 전력의 펄스)
양자발진기는 광학적 국부발진기뿐만 아니라 양자광학에서 일반적인 모델을 지칭할 수 있습니다.

생물학적

인간의 진동

경제 및 사회

기후 및 지구물리학

천체 물리학

양자역학

중성 입자 진동(예: 중성미자 진동)
양자 조화 발진기

화학의

컴퓨팅

셀룰러 오토마타 발진기

「」를 참조해 주세요.

반공진
비트(음향)
BIBO 안정성
임계 속도
사이클(음악)
동적 시스템
지진 공학
피드백
균일한 간격의 데이터에서 주기성을 계산하기 위한 푸리에 변환
빈도수.
숨겨진 진동
불규칙한 간격의 데이터에서 주기성을 계산하기 위한 최소 제곱 스펙트럼 분석
발진기 위상 노이즈
주기 함수
위상 노이즈
준주파성
왕복 운동
공진기
리듬
계절성
자기발광
신호 발생기
삐걱거리다
이상한 매력자
구조 안정성
튜닝된 질량 댐퍼
진동
진동자(기계)

레퍼런스

^ ^a ^b Taylor, John R. (2005). Classical mechanics. Mill Valley, California. ISBN 1-891389-22-X. OCLC 55729992.
^ Strogatz, Steven (2003). Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order. Hyperion Press. pp. 106–109. ISBN 0-786-86844-9.
^ "23.7: Small Oscillations". Physics LibreTexts. 2020-07-01. Retrieved 2022-04-21.

외부 링크

Wikimedia Commons에서의 발진 관련 매체
진동 – 온라인 교과서의 한 장

[:0-1] Taylor, John R. (2005). Classical mechanics. Mill Valley, California. ISBN 1-891389-22-X. OCLC 55729992.

[2] Strogatz, Steven (2003). Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order. Hyperion Press. pp. 106–109. ISBN 0-786-86844-9.

[3] "23.7: Small Oscillations". Physics LibreTexts. 2020-07-01. Retrieved 2022-04-21.

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