끈 진동

끈의 진동은 파동이다. 공명은 진동하는 현을 일으켜 일정한 주파수, 즉 일정한 음을 내는 소리를 낸다. 현악기의 길이나 장력을 올바르게 조절하면, 만들어내는 소리는 음악적인 음색이다. 진동 현악기는 기타, 첼로, 피아노 등 현악기의 기본이다.

웨이브

문자열에서 파형의 전파 속도(${\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$)는 문자열의 장력 힘의 제곱근(${\displaystyle }$ ${\displaystyle T$에 비례하고, 문자열의 선형 밀도의 제곱근($[\displaystyle \mu$ $\}\}\})$에 반비례한다.

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu}}.}$

이 관계는 1500년대 후반 빈첸초 갈릴레이에 의해 발견되었다.^{[citation needed]}

파생

출처:^[1]

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$을(를) 문자열의 길이, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 질량, $\mu {\displaystyle }${\$displaystyle \mu}$의 선형 밀도로 설정한다$$. 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 작을$$ 경우 양쪽의 수평 장력 요소는 모두 순 수평력이 0인 상수 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 의해 근사치를 구할 수 있다$.$ 따라서, 작은 각도 근사치를 사용하여 문자열 세그먼트의 양쪽에 작용하는 수평 장력은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\관련 T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\cos(\beta )\cament T.}$

뉴턴의 수직 구성 요소에 대한 두 번째 법칙에서 이 조각의 질량(선형 밀도와 길이의 산물)이 가속도의 곱인 ${\displaystyle a}$은 조각의 순력과 동일할 것이다$.$

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\약간 \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

이 식을 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$로 나누고$$ 첫 번째와 두 번째 방정식을 대체하면 얻을 수 있다($T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$에 대한 첫 번째 또는 두 번째 방정식을 선택할 수 있으므로 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 및 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \alpha$

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{{}}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{{{}}}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}{{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}.}$

소각 근사치에 따르면 문자열 조각의 끝단에 있는 각도의 접선은 끝의 기울기와 같으며, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 정의로 인해 추가적인 마이너스 부호가 있다$.$ 이 사실을 사용하고 재배열하여 제공한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}\왼쪽(\왼쪽){\frac {\partial y}{\partial x}}\오른쪽 ^{x+\Delta x}-\왼쪽.{\frac {\partial y}{\partial x}\오른쪽 ^{x}\오른쪽)={\frac {\mu }{T}{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$이(가) 0에 근접하는$$ 한도에서, $왼손$은 y$${\$displaystyle y$의 두 번째 파생상품의 정의:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}={\frac {\mu }{T}{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}}}}}.}$

$이것$은 y${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(x,t$에 대한 파동 방정식이며, 두 번째 파생 항의 계수는 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$와 같으므로

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu}},}$

여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 문자열에서 파형의 전파 속도(이에 대한 자세한 내용은 파형 방정식에 대한 기사 참조). 그러나 이 파생은 작은 진폭 진동에만 유효하다. 큰 진폭의 경우 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta$ x$}$은 문자열$$ 조각 길이에 대한 좋은 근사치가 아니며, 장력의 수평 성분이 반드시 일정하지는 않다. 수평 장력은 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 의해 잘 근사치되지 않는다$.$

파도의 빈도

일단 전파속도가 알려지면, 현에서 발생하는 소리의 주파수를 계산할 수 있다. 파장의 전파 속도는 파장 ${\displaystyle \lambda }$을(를) 주기 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$ $\}$로 나누거나$$ $주파수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$을(를) 곱한 것과 같다$.$

${\displaystyle v={\frac {\fracta }{\tau }}}}}=\putda f.}$

문자열의 길이가 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$인 경우$,$ 기본 고조파는 노드가 문자열의 양 끝인 진동에 의해 생성되는 것이므로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은 기본 고조파 파장의 절반이다$$. 따라서 메르센의 법칙은 다음과 같다.

${\displaystyle f={\frac {v}{2}L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}}$

여기서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은 장력(뉴턴에서), $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은 선형 밀도(즉, 단위 길이당 질량)이며$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은 문자열의 진동 부분 길이입니다. 따라서 다음과 같다.

• 끈이 짧을수록 기본의 주파수가 높다.
• 장력이 높을수록 기초의 빈도가 높아진다.
• 끈이 가벼울수록 기본의 주파수가 높다.

더욱이 n번째 고조파를 ${\displaystyle {\lambda n}_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle L}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$에 의해 주어진 파장을 갖는 것으로 본다면 n번째 고조파의 주파수에 대한 표현은 쉽게 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle f_{n}={\frac {reason}{2}L}}$

그리고 선형 밀도 $[\displaystyle \mu }}$의 장력 T 아래의 문자열의 경우$,$

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2}L}{{\sqrt{\frac{T}{\mu }}}}}}}}$

끈 진동 관찰

주파수가 충분히 낮고 진동 문자열이 텔레비전이나 컴퓨터(아날로그 오실로스코프가 아님)와 같은 CRT 화면 앞에 있으면 진동 문자열의 파형을 볼 수 있다. 이러한 효과를 스트로보시 효과라고 하는데, 스트링이 진동하는 것처럼 보이는 속도는 스트링의 빈도와 화면 재생률의 차이다. 형광등에서도 같은 현상이 발생할 수 있는데, 이는 문자열의 주파수와 교류 주파수의 차이인 것이다.(화면의 새로 고침률이 문자열의 주파수나 그 정수 배수와 같다면, 문자열은 여전히 변형되어 나타날 것이다.) 일광 및 기타 비 스케일링 광원에서는 이러한 영향이 발생하지 않고 끈이 시력의 지속성으로 인해 여전히 두껍지만 더 두껍고 가벼우거나 흐릿하게 나타난다.

스트로보스코프를 사용하여 유사하지만 더 조절 가능한 효과를 얻을 수 있다. 이 장치는 제논 플래시 램프의 주파수를 문자열의 진동 주파수와 일치시킬 수 있다. 어두운 방에서 이것은 파형을 분명하게 보여준다. 그렇지 않으면 동일한 효과를 얻기 위해 기계 헤드를 조정하여 벤딩 또는 보다 쉽게 AC 주파수의 동일한 또는 복수의 AC 주파수를 얻을 수 있다. 예를 들어 기타의 경우 세 번째 안절부절못에 눌린 6번째(가장 낮은 음의) 현이 97.999Hz로 G를 준다. 약간만 조절하면 100Hz로, 유럽과 아프리카와 아시아의 대부분의 나라들의 교류 주파수보다 정확히 한 옥타브 높은 50Hz로 바꿀 수 있다. AC 주파수가 60Hz인 아메리카의 대부분의 국가에서 5번째 문자열에서 A#를 변경하면 116.54Hz에서 120Hz로 먼저 조바심이 나면서 유사한 효과가 발생한다.

실제 사례

이 절에는 아마도 독창적인 연구가 포함되어 있을 것이다. 클레임을 확인하고 인라인 인용문을 추가하여 개선하십시오. 원본 연구로만 구성된 문구는 제거해야 한다(2021년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

위키백과 사용자의 Jackson Professional Soloist XL 전기 기타는 너트 투 브리지 거리(위의$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 대응)가 25이다. 다음과 같은 제조업체 사양을 포함한 5⁄8in. 및 D'Addario XL 니켈 와운드 슈퍼 라이트 게이지 EXL-120 전기 기타 문자열:

다다리오 EXL-120 제조업체 사양

끈 번호.	두께 [in.] (${\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$)	권장 장력 [lbs.](${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$\})$	${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ $$[g/cm3]
1	0.00899	13.1	7.726 (기타 합금)
2	0.0110	11.0	"
3	0.0160	14.7	"
4	0.0241	15.8	6.533(강철합금)
5	0.0322	15.8	"
6	0.0416	14.8	"

위의 사양에 따라, 끈이 제조업체가 권장하는 장력에 걸려 있는 경우 위의 문자열의 기본 고조파 중 계산된 진동 주파수(${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$)는 얼마가 될 것인가?

이에 대답하기 위해 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1$

${\displaystyle f={\frac {1}{2}L}{{\sqrt{\frac{T}{\mu }}}}}}}}$

The linear density ${\displaystyle \mu }$ can be expressed in terms of the spatial (mass/volume) density ${\displaystyle \rho }$ via the relation ${\displaystyle \mu =\pi r^{2}\rho =\pi d^{2}\rho /4}$, where ${\displaystyle r}$ is the radius of the string and ${\displaystyle d$$}$은(는) 위의 표에 있는 직경(일명 두께):

${\displaystyle f={\frac {1}{2}L}{{\sqrt{\frac {T}{\pi d^{2}\rho /4}}={\frac {1}{2Ld}}{\sqrt {4}}={\frac {4}}}}}}={\frac {4}}T}{\pi \rho}}}={\frac {1}{Ld}{\sqrt{\frac {T}{\pi \rho}}}}}}}}}}}$

계산을 위해 뉴턴의 두 번째 법칙(강력 = 질량 × $가속$)을 통해 위의 장력$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$$}$을(를$)$ 대체할 수 있다$.$ 여기서 $m{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle m}$은 지구 표면에서 장력 값에 해당하는 중량을 갖는 질량이다. ${\displaystyle }$위 표의$$ ${\displaystyle T}$ $[\displaystyle T}$은(는) 지구 표면의 중력에 의한 표준 가속도를 통해 관련되었듯이 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 980.665}$ $[\displaystyle g_{0}=980.665}$cm$$/s². (이 치환법은 위에서 제조자가 제공하는 끈 장력이 파운드가 파운드로 되어 있어 가장 편리하다. 익숙한 변환 계수 1lb. = 453.59237 g)를 통해 킬로그램 단위의 등가 질량으로 변환됨 그러면 위의 공식은 명백하게 다음과 같다.

${\displaystyle f_{\mathrm {Hz} }={\frac {1}{L_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times d_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {T_{\mathrm {lb} }\times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times \rho _{\mathrm {g/cm^{3}} }}}}}$

이 공식을 사용하여 1번 문자열의$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 계산하는 경우:

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{25.625\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times 0.00899\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {13.1\ \mathrm {lb} \times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times 7.726\ \mathrm {g/cm^{3}} }}}\approx 330\ \mathrm {Hz} }$

6개 문자열 모두에 대해 이 계산을 반복하면 다음과 같은 주파수가 발생한다. 각 주파수 옆에는 주파수가 가장 가까운 표준 기타 튜닝의 음악 노트(과학적 피치 표기법)가 표시되어 있으며, 제조자가 권장하는 긴장에서 위의 문자열을 끈으로 묶는 것이 기타의 표준 피치를 실제로 발생시킨다는 것을 확인시켜 준다.

위의 문자열 진동 공식에 의해 계산된 기본 고조파

끈 번호.	계산된 주파수 [Hz]	A440 12-TET 튜닝에서 가장 가까운 노트
1	330	E4 (= 440 ÷ 25/12 ≈ 329.628 Hz)
2	247	B3 (= 440 ÷ 210/12 ≈ 246.942 Hz)
3	196	G3 (= 440 ÷ 214/12 ≈ 195.998 Hz)
4	147	D3 (= 440 ÷ 219/12 ≈ 146.832 Hz)
5	110	A2(= 440 ÷ 2 = 11024/12 Hz)
6	82.4	E2 (= 440 ÷ 229/12 ≈ 82.407 Hz)

참고 항목

• 조바심 나는 악기
• 음악 음향학
• 원형 드럼의 진동
• 멜데의 실험
• 세 번째 교량(동일한 문자열 구분에 따른 진동 공진)
• 끈 공명
• 반사 위상 변화

참조

• Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics. 72 (9): 1157–1169. Bibcode:2004AmJPh..72.1157M. doi:10.1119/1.1764557.
• Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics. 57 (5): 408. Bibcode:1989AmJPh..57..408T. doi:10.1119/1.16011.

특정

외부 링크

• 울프램 시연 프로젝트인 알랭 고리리와 마크 로버트슨-테시의 "진동하는 현"