페아노 곡선

Peano curve
이 기사는 Giuseppe Peano에 의해 정의된 특정 곡선에 대한 것입니다.유사한 특성을 가진 다른 곡선은 공간 채우기 곡선을 참조하십시오.
Peano 원곡선 구성의 세 번의 반복. 한계는 공간 채우기 원곡선입니다.
Peano 곡선의 2회 반복

기하학에서 페아노 곡선은 1890년 [1]주세페 페아노가 발견한 공간 채우기 곡선의 첫 번째 예입니다.Peano의 곡선은 단위 간격에서 단위 정사각형으로 이어지는 투영적 연속 함수이지만, 주입적이지는 않습니다.페아노는 이 두 세트가 같은 카디널리티를 가지고 있다는 게오르크 칸토르의 초기 결과에 의해 동기부여가 되었다.이 예 때문에 일부 저자는 공간을 채우는 [2]곡선을 보다 일반적으로 지칭하기 위해 "PEANO 곡선"이라는 문구를 사용합니다.

건설

Peano의 곡선은 일련의 스텝에 의해 구성될 수 있으며, 여기서 ih 스텝은 이전 스텝에서 구성된 집합과 시퀀스에서 정사각형의 집합i S와 중심 P를i 구성한다.베이스 케이스로서 S는0 단일 단위 정사각형으로 구성되며0, P는 그 중심점으로 이루어진 단일 원소 계열이다.

스텝 i에서 S의i − 1 각 정사각형 s는 9개의 작은 등각사각형으로 분할되고, 그 중심점 c는 이들 9개의 작은 정사각형 중심들의 연속적인 연속에 의해 치환된다.이 연속은 9개의 작은 정사각형을 3개의 열로 그룹화하고 각 열 내의 중심을 연속적으로 정렬한 다음 연속된 각 점 쌍 사이의 거리가 작은 정사각형의 변 길이와 같도록 정사각형의 한 변에서 다른 변으로 열을 정렬함으로써 형성됩니다.이러한 순서는 다음 4가지가 있습니다.

  • 왼쪽에서 위로 세 개의 중앙, 위에서 아래로 세 개의 중앙, 그리고 오른쪽에서 아래로 세 개의 중앙
  • 오른쪽에서 위로 3개의 중앙, 위에서 아래로 3개의 중앙, 왼쪽에서 위에서 위로 3개의 중앙
  • 왼쪽에서 아래로 세 개의 중앙, 아래쪽에서 위로 세 개의 중앙, 오른쪽에서 위에서 아래로 세 개의 중앙
  • 위에서 아래로 3개의 중앙, 아래에서 위로 중간 3개의 중앙, 위에서 아래로 3개의 중앙

이들 4개의 순서 중 s의 순서는 순서의 첫 번째 점과 P의i 이전 점 사이의 거리도 작은 정사각형의 변 길이와 동일하도록 선택된다.순서 c가 첫 번째 포인트일 경우,[3] 이들 4개의 순서 중 첫 번째 순서가 c를 대체하는9개의 센터에 대해 선택됩니다.

Peano 곡선 자체는 무한대로 가는 정사각형 중심들의 시퀀스를 통과하는 곡선의 한계입니다.

변종

중앙선이 지워진 페아노 곡선은 시에르핀스키 카펫을 만듭니다.

Peano 곡선의 정의에서는 각 정사각형 열의 중심이 아닌 3개의 정사각형 행의 중심을 연속적으로 함으로써 일부 또는 모든 단계를 수행할 수 있습니다.이러한 선택은 다양한 종류의 페아노 [3]곡선으로 이어집니다.

이 곡선의 "복수 기수" 변형을 사용하여 다른 방향으로 분할할 수 있으며 임의의 모양의 [4]직사각형을 채울 수 있습니다.

힐베르트 곡선은 정사각형을 9개의 작은 정사각형이 아닌 4개의 작은 정사각형으로 세분화하는 것에 기초한 같은 아이디어의 단순한 변형이다.

레퍼런스

  1. ^ 를 클릭합니다Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane", Mathematische Annalen, 36 (1): 157–160, doi:10.1007/BF01199438.
  2. ^ 를 클릭합니다Gugenheimer, Heinrich Walter (1963), Differential Geometry, Courier Dover Publications, p. 3, ISBN 9780486157207.
  3. ^ a b 를 클릭합니다Bader, Michael (2013), "2.4 Peano curve", Space-Filling Curves, Texts in Computational Science and Engineering, vol. 9, Springer, pp. 25–27, doi:10.1007/978-3-642-31046-1_2, ISBN 9783642310461.
  4. ^ Cole, A. J. (September 1991), "Halftoning without dither or edge enhancement", The Visual Computer, 7 (5): 235–238, doi:10.1007/BF01905689