급진적인 것을 가져오다.

대수학에서 실수 a의 Bring raphic 또는 초음파(초음파)는 다항식의 고유한 실근이다.

${\displaystyle x^{5}+x+a.}$

복합수 a의 Bring radical은 위의 다항식의 5근 중 하나이거나(따라서 다중값이다), 특정근본 중 하나이며, 대개 Bring right가 real a에 대해 real-값되고 real line의 근방에서 분석함수인 것처럼 선택된다.4개의 지점이 존재하기 때문에, Bring right는 전체 복잡한 평면에 걸쳐 연속되는 함수로 정의할 수 없으며, 그 연속성의 영역은 반드시 4개의 지점 절단을 배제해야 한다.

조지 제라드는 일부 5중 방정식은 엘랜드 브레인이 도입했던 레디컬과 브레잉 레디컬을 이용해 폐쇄적인 형태로 풀 수 있다는 것을 보여주었다.

이 글에서 a의 Bring radical은 ${\displaystyle \mathrm{BR}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {BR} (a$)로 표시된다$.$$}}$ ${\displaystyle a}$ 큰 {\displaystyle a$\}$에 대해 점근거동 B ${\displaystyle \mathrm{R}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$~ -${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 5 ${\$ {$BR} (a)\\sim -a^{1/5}}}$을(${\displaystyle 으}$)로 하여 실제 논증하는 것은$$ 이상하고 단조적으로 감소하며 무한하다.

정상형식

5분위 방정식은 가장 일반적인 형태인 5개의 독립 계수를 사용하여 직접 해결책을 구하기 어렵다.

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}}x+a_{0}=0.\,}$

개발된 5중주를 해결하기 위한 다양한 방법은 일반적으로 독립 계수의 수를 줄이기 위해 Tschirnhaus 변환을 사용하여 5중주를 단순화하려고 시도한다.

주 5중형

일반 5분위는 다음과 같은 4분위 및 3분위 항이 제거되면서 주 5분위 형태로 축소될 수 있다.

${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$

일반 5중주와 주 5중주의 뿌리가 2차 치르난하우스 변형에 의해 연관되어 있는 경우

${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\filename x_{k}+\filename \...}$

계수 α와 β는 결과물을 사용하거나 뿌리와 뉴턴의 정체성의 힘의 합계를 이용하여 결정할 수 있다.이는 2차 방정식과 선형 방정식으로 구성된 α와 β의 방정식 시스템으로 이어지며, 두 세트의 용액 중 하나를 사용하여 주 5중형의 해당 계수 3개를 얻을 수 있다.^[1]

이 형태는 펠릭스 클라인의 5중주 용액에 의해 사용된다.^[2]

Bring-Jerrard 정상 형태

Bring-Jerrard 정규 형태를 생성하면서 5중주를 더 단순화하고 2중 항을 제거할 수 있다.

${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.\,}$

결과적인 방정식 체계는 6도 방정식을 낳기 때문에 츠치르나우스가 시도한 것처럼 입방체 변환과 함께 파워섬 공식을 다시 사용하는 것은 효과가 없다.그러나 1796년 Bring은 주요 5중주의 뿌리를 Bring-Jerrard 5중주의 5중주의 5중주의 5중주의 5중주의 뿌리와 연관시키기 위해 4중주체 Tschirnhaus 변환을 사용함으로써 이 문제를 해결할 수 있는 방법을 발견했다.

${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\filename y_{k}^{3}+\filename y_{k}^{2}+\filename y_{k}+\filename \, \, \, \, \, \, }}$

이 4차 변환의 추가 매개변수는 Bring이 다른 매개변수의 정도를 감소시킬 수 있도록 허용한다.이것은 6개의 미지의 방정식에 5개의 방정식의 시스템으로 이어지며, 그 다음에는 입방정식과 2차 방정식의 해법이 필요하다.이 방법은 1852년 제라드에도 의해 발견되었지만,^[3] 이 지역에서 브라이트의 이전 작품을 몰랐을 가능성이 높다.^{[1](pp92–93)}완전한 변환은 매스매티카나^[4] 메이플과 같은 컴퓨터 대수 패키지를 사용하여 쉽게 이루어질 수 있다.^[5]이러한 변환의 복잡성에서 예상할 수 있듯이, 결과 표현은 엄청날 수 있으며, 특히 기호 계수가 있는 일반 5분위수를 위해 수 메가바이트의 저장 공간을 차지하는 저차 방정식을 위한 활성산소의 해법과 비교할 때 더욱 그러하다.^[4]

대수적 함수로 간주되는, 해결책

${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0\,}$

d와₁ d라는₀ 두 변수를 포함하지만, Bring-Jerrard 형식을 더 줄일 수 있기 때문에 실제로 감소는 한 변수의 대수 함수와 매우 유사하다.예를 들어 우리가 설정한 경우

${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}},}$

그 다음 방정식을 형태대로 줄인다.

${\displaystyle z^{5}-z+a=0\...}$

which involves z as an algebraic function of a single variable ${\displaystyle a}$, where ${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$. This form is required by the Hermite–Kronecker–Brioschi method, Glasser's method, and the Cockle–Harley method of differential resolvents described below.

설정하여 대체 양식을 얻는다.

${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}},}$

하도록

${\displaystyle u^{5}+u+b=0\...}$

여기서 $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 4^{}}$ ${\$ 이 양식을 사용하여 아래에 Bring rightic을 정의한다.

브리오스키 정상형

5중 방정식에 대한 또 다른 1-모수 정규형식이 있는데, 브리오스키 정규형이라고 알려져 있다.

${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$

합리적인 Chchirnhaus 변환을 사용하여 도출될 수 있는

${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}-3}}}}}}$

브리오스키 5중주와 일반 5중주의 뿌리를 연결한다.매개변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\$ 및$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\$의 값은 리만 구체의 다면 함수를 사용하여 도출할 수 있으며$$, 이면 대칭의 객체를 사면 대칭의 5개 객체로 분할하는 것과 관련이 있다.^[6]

이 Chchirnhaus 변환은 주요 5중주를 Bring-Jerrard 형태로 변환하는 데 사용되는 어려운 변환보다 다소 간단하다.이 정상적인 형태는 도일-맥뮬런 반복 방법과 키퍼트 방법에 의해 사용된다.

시리즈 표현

초지압 함수의 측면에서 표현뿐만 아니라 Bring icragic에 대한 Taylor 시리즈는 다음과 같이 도출될 수 있다.$식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$5 +${\displaystyle x}$ +${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ x$^{5}+x+a=0}$은(는${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x}$ 5${\displaystyle }$+ ${\displaystyle x}$= - . ${\displaystyle x^{5}+x=-a$로 다시 쓸 수 있다$$$.$$}}$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 5{}^{}}$+ x${\displaystyle }$, ${\$$displaystyle$ $f(x)=x^{5}+x}$를 설정하여${\displaystyle }원하는{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{솔루션}}$은${\displaystyle }$x $=$ f - 1${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle a}$) =${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}{}^{}}$- 1$($ )$displaysty x=f^{-$1$}(-$$a)=-f^{-1(a$)}($a$$)$가 홀수이기$$ 때문에$$ 원하는 $솔루션$은$$x = ${\displaystyle {}^{}}$ = f - $1$이다.

$그런{\displaystyle {}^{}}$ 다음 f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 대한 시리즈를 f ${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}($단순히 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 Taylor 시리즈를 역전시켜 얻을 수 있다$$.$$

${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}$

여기서 계수의 절대값은 OEIS에서 시퀀스 A002294를 형성한다.시리즈의 수렴 반경은 $4{\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 5}$⋅ 5 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$) ${\displaystyle \mathrm{\approx }}$0${\displaystyle \mathrm{.53499이다.}}$${\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\ 약 0.53499.$$}$

초기하학적 형태로 Bring right는 다음과 같이 쓰여질^[4] 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}$

글래스터의 유도에서 아래에 발생하는 초지압 함수 및 미분 분해제 방법과 비교하는 것이 흥미로울 수 있다.

일반 5중주 용액

다항식의 뿌리

${\displaystyle x^{5}+display+q\,}$

로서 급진적이라 할 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{p}\p}\operatorname {BR} \좌측(p^{-{\frac {5}{4}}q\우측)}$

그리고 그것의 네 개의 결합체.^{[citation needed]}문제는 이제 해결 가능한 다항식이라는 관점에서 Bring-Jerrard 형태로 축소되고, 뿌리에 다항식 식을 포함하는 변환을 4도까지만 사용하는데, 이는 급진기에서 해결할 수 있는 다항식의 뿌리를 발견함으로써 변환을 역전시킬 수 있다는 것을 의미한다.이 절차는 외부적인 해결책을 주지만, 정확한 해결책을 수학적 수단으로 발견했을 때, 5중주의 뿌리는 사각근, 입방근, 그리고 Bring right의 관점에서 쓰여질 수 있는데, 이것은 따라서 단일 변수의 대수적 함수(Bring accids 포함)의 측면에서 대수적 해결책이다.일반 5중주의 대수적 해법

기타 특성화

Bring right의 많은 다른 특성화들이 개발되었는데, 그 중 첫 번째는 찰스 헤르미테가 1858년에 개발한 (타원 및 모듈형 함수와 관련된) "엘리틱 초월체"라는 용어에 관한 것이며, 이후 다른 수학자들에 의해 더 많은 방법들이 개발되었다.

에르미테-크로네커-브리오스키의 특징

1858년 샤를 에르미테는^[7] "엘리틱 초월체"라는 관점에서 일반 5중 방정식에 대해 알려진 최초의 해결책을 발표했고, 비슷한 시기에 프란체스코 브리오스키와^[8] 레오폴드 크로네커는^[9] 동등한 해결책을 생각해냈다.헤르미트는 삼각함수의 관점에서 입방정식에 대한 잘 알려진 해결책을 일반화함으로써 이 해법에 도달했고, Bring-Jerrard 형태의 5진법에 대한 해답을 찾는다.

${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$

표시된 바와 같이 5중방 방정식을 Chchirnhaus 변환을 통해 줄일 수 있다.그는 타원 함수가 입방체에서 삼각함수와 마찬가지로 Bring-Jerrard 5중주 용액에서 수행할 유사한 역할을 가지고 있음을 관찰했다.$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 및$$ $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle$ K$',}$의 경우:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\quad }$ (the complete elliptic integral of the first kind)

${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{0}^{\frac {\pi }{2}}:{\frac {d\barphi }{1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$

다음 두 가지 "엘리틱 초월체"를 정의하십시오.^{[note 1]}

${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\\inflt }\tanh {\frac {(1-2j)\pi i\tau }{2}},\quad \operatorname {Im}\tau >0}$

무한 시리즈로 동등하게 정의할 수 있다.

${\displaystyle \varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle \psi (\tau )={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$

n이 소수인 경우 다음과 같이 u {\$displaystyle$$$ $u}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 값을 $정의$할 수 있다.

$u=\varphi (n\tau )}$

그리고

${\displaystyle v=\varphi(\tau )}$

언제는 얼마인가?이상한 전성기, 매개 변수{\displaystyle u}그리고 v{\displaystyle v}정도 n+1의 너{\displaystyle u}에Ω n(u, v),[주 2] 방정식)0{\displaystyle \Omega_{n}(u,v)=0}의 n+너{\displaystyle u}에 1뿌리[10]-LSB- 편지에 의하여 모듈화 방정식으로 알려진로 연결되어 있u. 3]

$u=\varphi (n\tau )}$

그리고

${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left\\frac {\tau +16m}{n}\오른쪽)}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle }$($){\displaystyle \var렙실론 (n)}$은 2가 2차 잔류물 모듈로 n인지 여부에 따라 각각 1 또는 -1이고$$,^{[note 4]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }${${\displaystyle 0,1}$, ${\displaystyle \dots ,}$ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystym m\in \{0,1,\ldots,n-1$n = 5에 대해 다음과 같은 모듈 방정식을 갖는다.^[11]

${\displaystyle \Oomega_{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4}=0}$

위와 같이$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 6개의 뿌리를 두고 있다.

The modular equation with n = 5 may be related to the Bring–Jerrard quintic by the following function of the six roots of the modular equation (In Hermite's Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré, the first factor is incorrectly given as ${\displaystyle [\varphi ($$5\tau )+\varphi(\tau /5)]}:$^[12]

${\displaystyle \Phi(\tau )=\왼쪽[-\barphi (5\tau )-\varphi \좌측({\frac {}}{5}\}\오른쪽)\좌측[\barphi \좌측({\frac {\tau +16}{5}}}{5}{5}}{5})}{5}{5}{5}{5}}}}}{5}{5}}})}}\오른쪽)-\varphi \left\frac {\tau +64}{5}\right]\왼쪽[\varphi \left\frace\\\\tau}{5}\5}\right]-\varphi \lefcai \frac{5}}}}$

또는^[13] 공식

${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$

is useful for numerical evaluation of ${\displaystyle \Phi (\tau )}$. According to Hermite, the coefficient of ${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$ in the expansion is zero for every ${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$.^[14]

The five quantities ${\displaystyle \Phi (\tau )}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$ are the roots of a quintic equation with coefficients rational in $$${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle \varphi (\tau )}$^[15]:

${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$

대체에 의해 Bring-Jerrard 형식으로 쉽게 변환될 수 있다.

${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi(\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$

Bring-Jerrard 5중주곡으로 이어지는:

${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$

어디에

${\displaystyle a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{4}{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\cH00\cHB*}$

그러면 Hermite-Kronecker-Brioschi 방법은 ${\displaystyle a$의 값에 해당하는$$ $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$}에 대한 값을 찾은 다음 해당 모듈 방정식의 루트를 얻기 위해$$ $value{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$}의 값을 사용하는 것이다.루트 찾기 알고리즘을 사용하여 방정식$({\displaystyle }$ ${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle(*)}($즉, ${\displaystyle a}$의 부분 역행 계산)에서$$ $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$을(를) 찾을 수 있다.$$

Bring-Jerrard 5중주의 뿌리는 다음으로 주어진다.

${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi(\tau +16r)}}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\reason ^{4}(\tau )}}}}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,\dots ,}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle r=0,\ldots,4}$의 경우$.$

대안적인 "통합적" 접근법은 다음과 같다.

$x$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x}$+ a${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$을(를) 고려하십시오. 여기서$$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus }${$\mathb {C} \setminus \{0\}}}$$$ 그러면

${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}}$

의 해결책이다

${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )}{{4}{5^{5}}\varphi ^{2}(\tau )\{4}}}}}}$

어디에

${\displaystyle s={\begin}-\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a=0\\\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} } a&{}{{} } } } \operatorname {re} \neq 0,\case{case}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,\quad(***)}$

${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}{2}}.}$

방정식의 루트${\displaystyle (\ast }$ $){\displaystyle (***)}$는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle k=\frac {\frac {\pi}{4},\frac {\frac {\pi +2\pi }{4},\frac {3\pi -\pi }{4}},\pan {3\pi -\pi -\}}}}{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \sin \alpha }$= ${\displaystyle 4}$/ ${\displaystyle A{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$^[13]참고: 일부 중요한 참조자료에서 ${\displaystyle \sin \alpha }$= ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}).$^[6][7]이러한 뿌리 중 하나를 타원형 계량 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$로 사용할 수 있다$.$

Bring-Jerrard 5중주의 뿌리는 다음으로 주어진다.

${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi(\tau +16r)}}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\reason ^{4}(\tau )}}}}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,\dots ,}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle r=0,\ldots,4}$의 경우$.$

이 과정은 다음과 같이 표현될 수 있는 n번째 루트의 일반화를 사용한다고 볼 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}=\exp \leftleft{\frac{1}{n}\ln x}\오른쪽)}$

로서 또는 더 요점까지.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}=\exp \left\frac {1}{n}\int _{1}^{1}{dt}}\right)=\expleft\preput\{1}x\right).}$

The Hermite–Kronecker–Brioschi method essentially replaces the exponential by an "elliptic transcendent", and the integral ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ (or the inverse of ${\displaystyle \exp }$ on the real line) by an elliptic integral (or by a partial inverse of an "elliptic transcendent").크로네커는 이 일반화가 더 일반적인 정리의 특별한 경우라고 생각했고, 이것은 임의적으로 높은 수준의 방정식에 적용할 수 있을 것이라고 생각했다.토마이의 공식으로 알려진 이 정리는 1984년 우메무라^[16] 히로시에 의해 충분히 표현되었는데, 그는 기하급수적/엘리프틱 초월체 대신 시겔 모듈형 형식을 사용했고, 그 적분을 과대망상적 적분으로 대체했다.

글래스터의 유래

M. L. Glasser에^[17] 의한 이러한 파생은 이 글에서 앞부분에서 제시한 시리즈 방법을 일반화하여 다음과 같은 형태의 삼원 방정식에 대한 해결책을 찾는다.

${\displaystyle x^{N}-x+t=0\,\!}$

특히 위와 같이 치르누스 변환을 사용함으로써 5중 방정식을 이 형태로 줄일 수 있다.$let{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ -${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{N}}{}}^{}}$ -${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$1 {\$displaystyle$x=\$zeta ^{-{\frac$ {$1}{N-1$ 일반적인 양식은 다음과 같다.

$\\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\pi(\zeta )\,\!}$

어디에

${\displaystyle \phi(\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}\,\!}$

라그랑주로 인한 공식은 위의$$$states{\displaystyle }$ ${\$ 측면에서 변환된 일반 방정식의 루트 부근에$$있는 분석 함수 $f{\displaystyle }$ ${\$ f$\,}$에 대해 무한 시리즈로 표현될 수 있다고 명시하고 있다.

${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi {\mathrm{i}}}}}+\sum _{n=1}^{\frac{t^{n}{n}{n!}}{\frac{d^{n-1}{da^{n-1}}}[f] \phi(a) ^{n}_{a=e^{2\pi{\mathrm{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 이}$ 공식에서$$ $f{\displaystyle (=}$ ) =${\displaystyle {\frac{n}{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}{\frac{}{}}^{}}$N - 1 {\$displaystyle f$(\zeta )=\$zeta$^{-{\$frac$ {1$}{N-1}\},}$을(를) 놓아두면 다음과 같은 근원을 생각해 낼 수 있다.

${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi {\rm {i}}}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi {\rm {i}}}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$

${\displaystyle k=1,2,3,\dots,N-1\,}$

가우스 곱셈 정리의 사용으로 위의 무한 계열은 유한 계열의 초기하 함수로 분해될 수 있다.

${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$

${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$

${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi {\rm {i}}}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$

그리고 형태의 삼원형에는 뿌리가 있다.

${\displaystyle {}_{ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod{2}}\\,\!}$

${\displaystyle {}_{x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt}{\n-1}{{\frac{c}{b}}\{N-1}:{N-1}{{{{N-2}}:{\be-1}{be{nmatrix}{n+1}:{2}{{n1}:{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{n+1}N},{\frac {N+3}{2}N},\cdots,{\frac {N-2}{N},{\frac {N-1}{N},{\frac {N+1}{N},{\frac {N+2},{\frac {3N-3}{2}, {\frac {N-3},{N}},{N}},{},},},},},2}N},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}{\rm {i}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N},\cdots,{\frac {N-4}{2}N},{\frac {N-2}{2}N},{\frac {N+2}{2}N},{\frac {N+4}{2}N},\cdots,{\frac {2N-3}{2}{2}N},{\frac {2N-1}{2}{2}N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle {}_{x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt}{\n-1}{{\frac {c}{b}\오른쪽)^{{{N-1}{{{{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{N+1}{{n1}{{{n+1}{{{{{n1}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{n+1}}}}}}}}}N},{\frac {N+3}{2}N},\cdots,{\frac {N-2}{N},{\frac {N-1}{N},{\frac {N+1}{N},{\frac {N+2},{\frac {3N-3}{2}, {\frac {N-3},{N}},{N}},{},},},},},2}N},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}{\rm {i}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N},\cdots,{\frac {N-4}{2}N},{\frac {N-2}{2}N},{\frac {N+2}{2}N},{\frac {N+4}{2}N},\cdots,{\frac {2N-3}{2}{2}N},{\frac {2N-1}{2}{2}N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle {}_{x_{n}=-e^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac{1}{N},-{\frac {1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}}+{\frac{2}{N},\cdots ,-{\frac {1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}+{\frac{1}{N},{\frac{N-5}{2N},-{\frac {1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}}+{\frac{N-3}{2N},-{\frac {1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}}{\frac {N+1}{2}N},-{\frac {1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}}{\frac {N+3}{2}N},\cdots,-{\frac {1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+}}$

${\displaystyle {}_{+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi {\rm {i}}}}{q!}{}}_{{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\좌(N-2\우)}},{\frac {Nq-1}{N\좌(N-2\우)}},{\frac {N-2\우)}}+{\frac{1}{N},{\frac {Nq-1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}}+{\frac {2}{N},\cdots,{\frac {Nq-1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}}{\frac {N-3}{2}N},{\frac {Nq-1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}}{\frac {N+1}{2}N},\cdots,{\frac {Nq-1}{N\왼쪽(N-2\오른쪽)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2}}$

따라서 방정식의 루트는 최대 N - 1 초기하 함수의 합으로 표현할 수 있다.이 방법을 Bring-Jerrard 5중주에 적용하여 다음과 같은 기능을 정의한다.

${\displaystyle {\reasoned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$

위의 열 공식에 나타나는 초기하 함수를 말한다.따라서 5중주의 뿌리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[8pt]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}}F_{3}(t)&#{\frac {5}{32}}t^{3}}F_{4}(t)\\[8pt]x_{3}}&=&F_{1}(t)+&{\frac {1}{1}{4}{4}tF_{2}(t)&-{5}{32}t^{2}}}F_{3}(t)&#{\frac {5}{32}}t^{3}}F_{4}(t)\\[8pt]x_{4}&={}-iF_{1}-iF_{1}(t)+&{\frac {1}{1}{4}}{4}tF_{2}(t)&-{\frac {5}{32}}it^{2}{2}}}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}}F_{4}(t)\\[8pt]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac{1}{1}{4}tF_{2}(t)&#{5}{32}}}{32}}}it^{2}}}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}}F_{4}(t)\end{array}}}$

이것은 본질적으로 다음과 같은 방법으로 얻은 결과와 동일하다.

미분해결제의 방법

제임스 코클과^[18] 로버트 할리는^[19] 1860년에 미분 방정식을 이용하여 5중주를 푸는 방법을 개발했다.이들은 뿌리를 계수의 함수로 간주하고, 이러한 방정식을 바탕으로 미분 분해능을 계산한다.Bring-Jerrard 5중주는 함수로 표현된다.

${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a\,}$

${\displaystyle \mathrm{함수}}$ such ( )${\$은(는) 다음과 같이 결정된다$$.

${\displaystyle f[\phi(a)]=0\,}$

함수 ${\displaystyle \varphi }$ ${\$도 다음 네 가지 미분 방정식을 충족해야 한다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$

이러한 요소를 확장하고 결합하면 다음과 같은 차등 해결책이 나온다.

${\displaystyle {\frac {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}-{\frac {6250a^{3}}}{{231}:{d^{3}\phi }{da^{3}}-{\frac {4875a^{2}}:{77}}{\frac {d^{2}\phi}{77}}{77}}{da+pi}}}}{da+pi =}}$

제4차 일반 미분방정식인 미분방정식의 해법은 원래 5분위를 만족시키기 위해 4개의 통합 상수에 의존한다.이것은 초기하학 유형의 푸치안 통상 미분 방정식인데,^[20] 그 해법은 위 글래스터의 파생에서 발생한 일련의 초기하학 함수와 동일한 것으로 판명된다.^[5]

이 방법은 또한 일부 미분 방정식인 미분 분해효과는 여러 변수의 초계함수를 포함하는 임의의 고차 방정식으로 일반화할 수 있다.^[21][22]임의의 일변량 다항식의 미분해결제에 대한 일반적인 공식은 나하이의 파워섬 공식에 의해 주어진다.^[23][24]

도일-맥뮬런 반복

1989년, 피터 도일과 커트 맥뮬런은 브리오스키 정상 형태의 5중주를 해결하는 반복 방법을^[25] 도출했다.

${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.\,}$

반복 알고리즘은 다음과 같이 진행된다.

1. $Z{\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1728}$ ${\displaystyle C}$ 설정$(\$ 스타일 $Z=1-1728C\,})$

2.합리적 함수를 계산

${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}}},}$

여기서 $g{\displaystyle (Z}$, w${\displaystyle }$) ${\$은(는) 아래에 주어진 다항식 함수이며, $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ $displaystyle$ $g$$'\,}$은 $w{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\$ $w$$\,}$에 대한$$ g (${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle w}$) ${\$ g($Z,w)\)$의 파생어이다$$.

3. $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$[ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z_{}}$( w${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\$를 반복한다.$[T_{Z}(w)]\,}$이(가) 수렴될 때까지 무작위 시작 추측으로$$.${\displaystyle {제한\mathrm{}}_{}}$ 지점 $w{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle w_{1}\,}$을(를) 호출하고$$ $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z_{}{w\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\$으로 설정하십시오.$T_{Z}(w_{1})\,}$.

4. 계산

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i}}}}}}},}$

여기서 $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle Z}$, w${\displaystyle }$) ${\$은(는) 아래에 주어진 다항식 함수다$$.${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 1 $displaystyle$ w_{$1}\,}$ 및$$w 2$$ = ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$Z(${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ) ${\$ w_{$2}= 모두에$대해 이 작업을 수행하십시오.$T_{Z}(w_{1})\,}$.

5. 마지막으로 계산

${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt{i}}}}}{15}}\mu_{i}+(9-{\sqrt{15}}}}{3-i}}{90}}}}}}}}}}}$

i = 1, 2.이것은 브리오스키 5중주의 뿌리다.

두 다항식 함수 $g{\displaystyle (Z}$, ${\displaystyle w}$) ${\$ $h$(Z , ${\displaystyle w}$) ${\$은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(Z,w)={}&, 91125Z^{6}\\&,{}(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&,{}(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&,{}(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&,{}(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&,{}(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&,{}[8pt]h(Z,w)={}&,(1215w-648)Z^{4}\\&,{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w 이상)Z^{3}\\&}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3}Z^{2}\\\\&}{}}(36w^{7}-168w^{6})Z\&{}+w^{9}}}\end{정렬}}}$

이 반복법은 5중주의 두 뿌리를 생산한다.나머지 세 근은 합성분할을 사용하여 두 근을 나누어 입방정식을 생성하면 얻을 수 있다.반복이 공식화되는 방식 때문에 이 방법은 모든 5분위계수가 실제이고 시작추정이 실제일 때도 항상 5분위의 복잡한 결합근 2개를 찾아내는 것 같다.이 반복 방법은 이코사면체의 대칭에서 파생된 것으로 펠릭스 클라인이 그의 저서에서 서술한 방법과 밀접한 관련이 있다.^[2]

참고 항목

• 방정식 이론

참조

메모들

기타

원천

외부 링크

• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Tschirnhausen transformation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Bring–Jerrard Quintic Form". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Bring Quintic Form". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Ultraradical". MathWorld.