평균 자유 경로

물리학에서 평균 자유 경로(mean free path)는 움직이는 입자(원자, 분자, 광자 등)가 방향이나 에너지(또는 특정 맥락에서 다른 성질)를 실질적으로 바꾸기 전에 이동하는 평균 거리이며, 일반적으로 다른 입자와 하나 이상의 연속적인 충돌의 결과이다.

산란 이론

대상 슬래브

대상을 관통하는 입자 빔을 상상하고 대상의 극히 얇은 슬래브를 고려합니다(그림 ^[1]참조).빔 입자를 멈출 수 있는 원자(또는 입자)는 빨간색으로 표시됩니다.평균 자유 경로의 크기는 시스템의 특성에 따라 달라집니다.모든 대상 입자가 정지해 있고 빔 입자만 움직이고 있다고 가정하면 평균 자유 경로에 대한 식을 얻을 수 있습니다.

\ell =(\display n)^{-1

여기서 $θ$ 는 평균 자유 경로, $n$ 은 단위 부피당 목표 입자의 수, $θ$ 는 충돌에 대한 유효 단면적이다.

슬래브의 면적은 $L$ 이고² 부피는 L $dx$ 이다².슬래브에서 정지하는 원자의 일반적인 수는 $농도$ n 곱하기 부피, 즉 n $L 2$ $dx$ 이다.해당 슬래브에서 빔 입자가 정지할 확률은 정지 원자의 순 면적을 슬래브의 총 면적으로 나눈 값이다.

{\displaystyle {\text{P}}({\text{Area}_{\text{atoms}}})={\text{Area}}}={\text{slab}}}={dx}{L^{2}}=\sigma},

여기서 $θ$ 는 한 원자의 면적(또는 더 공식적으로 "산란 단면")이다.

빔 강도의 강하는 들어오는 빔 강도에 슬래브 내에서 입자가 정지할 확률을 곱한 값과 같습니다.

({displaystyle dI=-in\sigma},190)

다음은 일반적인 미분 방정식입니다.

({displaystyle {dI} {dx}}= 입력\sigma {text {def} {=}}-{\frac {I} {\ell}})

이 솔루션은 Beer-Lambert 법칙으로 알려져 있으며 I $I=I_{0}e^{-x/\ell }$ $I=I_{0}e^{-x/\ell }$ 0 $I=I_{0}e^{-x/\ell }$ - x / $I=I_{0}e^{-x/\ell }$ { $display style$ I $=$ }의 $I=I_{0}e^{-x/\ell }$ 를 가지고 있습니다. $I_{0}e^{-x/\ell$ $여기$ 서 x는 빔이 타깃을 통해 이동한 거리이며, $나$ 는₀ 빔 강도가 타깃에 진입하기 전의 빔 강도이다. $θ$ 는 빔 입자가 정지하기 전에 이동한 평균 거리와 같기 때문에 평균 자유 경로라고 불린다.이것을 보기 위해, 입자가 $x$ 와x + dx $사이$ 에서 흡수될 확률은 다음과 같습니다.

{\displaystyle d\mathcal {P}}(x)=frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}=flac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }module}.

따라서 $x$ 의 기대치(또는 평균 또는 단순 평균)는 다음과 같습니다.

x\rangle {\text{def}{=}\int _{0}^{\infty}=\int _{0}^{\infty}{\frac {x}{\ell}}}e^{-x/\ell },\ell =.int.ell

슬래브에 의해 정지되지 않는 입자의 비율을 $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$ T $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$ / $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$ 0 $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$ - $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$ / $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$ {\ { $displaystyle$ T $=I/I_{0$ } = $e^{-x/\ell$ 이라고 하며, $여기$ 서 x는 슬래브의 두께와 같다.

기체 운동 이론

기체의 운동 이론에서, 분자와 같은 입자의 평균 자유 경로는 입자가 다른 움직이는 입자와 충돌 사이에 이동하는 평균 거리입니다.위의 유도에서는 대상 입자가 정지되어 있다고 가정하고, 따라서 $\ell =(n\sigma )^{-1}$ 는 δ $\ell =(n\sigma )^{-1}$ ( $\ell =(n\sigma )^{-1}$ of ) $\ell =(n\sigma )^{-1}$ - $\ell =(n\sigma )^{-1}$ {\ $displaystyle \ell$ = ( $n\display )^{-1}$ 공식은 $\ell =(n\sigma )^{-1}$ 임의의 위치에서 동일한 입자의 앙상블의 속도에 상대적인 $고속$ v {\ $display$ v $}$ 의 $v$ 빔 입자를 유지한다.이 경우 타깃 입자의 움직임은 비교적 무시할 수 있으므로 $v_{\rm {rel}}\approx v$ v $r$ $v_{\rm {rel}}\approx v$ l $v_{\rm {rel}}\approx v$ v \ $display v_$ {\ $rm$ {rel $}}$ \ $about$ v $}$ 이다.

반면 빔 입자가 동일한 입자로 설정된 평형의 일부일 경우 상대 속도의 제곱은 다음과 같습니다.

${mathbf {v} _{\rm {v} } = 오버라인 {({1} - \mathbf {v} _{2} = 오버라인 {{1} + \mathbf {v} _{2} = 오버라인 {2-mathbf {v} {{2} }$

평형상태에서 $({$ 과 $\mathbf{v}_1$ $({$ _ ${2})$ 는 $\mathbf{v}_2$ 랜덤하고 상관관계가 ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0$ ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0$ ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0$ 0({ $displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v}$ _{2} = $0$ 의 상대속도는 다음과 같습니다.

$({displaystyle v_{\rm {rel}}={\rm {rel}}_{{\rm {rel}}}={rm {rf {v}})_{1}^{2}+\mathbf {v}}}}}}=rparamrt {{2}}}.$

즉, 충돌 횟수는 정지된 타겟 횟수의 ${\sqrt {2}}$ 2배({ $displaystyle {2}})$ 입니다 ${\sqrt {2}}$ .따라서 다음 관계가 적용됩니다.^[2]

{{displaystyle\ell=syslogrt {2}},n\syslog}^{-1}

n $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ / $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ / ( $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ T $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ ) { $displaystyle$ n $= N/$ V $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ = $p/(k_{\$ $text$ ${B}}T)}$ (표준 가스 법칙) 및 $\sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}$ $\sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}$ d $\sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}$ { $displaystyle \pi$ ( $2$ )^ $2$ display display style \pi ( 2 r ) \pi ( 2 } \pi ( 2 r )\pi ( 2 } \ $pi$ ( 유효 단면적)를 $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ 합니다 $.$

\displaystyle \ell = flac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}}\pi d^{2}p}},

여기서_B k는 볼츠만 상수, p\ $displaystyle p$ 는 가스의 압력 $,$ T\ $displaystyle$ T는 $T$ 절대 온도입니다.

실제로 가스 분자의 지름은 잘 정의되어 있지 않습니다.사실, 분자의 운동 지름은 평균 자유 경로의 관점에서 정의됩니다.전형적으로 가스 분자는 딱딱한 구처럼 행동하지 않고, 레너드-존스 전위(Lennard-Jones potential)로 설명될 수 있듯이, 더 큰 거리에서 서로를 끌어당기고 더 짧은 거리에서 서로를 밀어냅니다.이러한 "부드러운" 분자를 다루는 한 가지 방법은 지름으로 Lennard-Jones δ 매개변수를 사용하는 것이다.

또 다른 방법은 실제 고려 중인 가스와 점도가 동일한 하드스피어 가스를 가정하는 것입니다.이것은 평균적인 자유 경로로 이어진다.

{\displaystyle\ell = frac {\rho } {\frac {\pi m} {2k_{\text {B}}T}}=frac {p}{\frac {pi k_{\text {B}}T}{2m}}},}

$m$ 서m {\ $displaystyle$ m $}$ 은 $m$ 분자량, $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ / ( $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ T $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ ) { $displaystyle \rho$ = $mp/$ ( k _ { \ $text$ { $B$ } $T$ }}는 $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$ 이상 기체의 밀도, μ는 동적 점도이다.이 표현은 다음과 같은 편리한 형태로 표현할 수 있다.

{\displaystyle\ell = frac {p} {\frac {pi R_{\rm {specific}}T}{2}}},}

( $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ p $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ c $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ $=$ $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ / m { $displaystyle R_{\rm {specific$ }} $=k_{\text{B}}/$ m $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ })이며, 공기의 경우 287J/(kg*K)와 같다.

다음 표에는 상온에서 다양한 압력의 공기에 대한 몇 가지 일반적인 값이 나와 있습니다.분자 직경의 다른 정의와 대기압(100 대 101.3 kPa) 및 실온(293.17 K 대 296.15 K 또는 심지어 300 K)의 값에 대한 다른 가정은 평균 자유 경로의 약간 다른 값으로 이어질 수 있다.

진공 범위	압력(hPa)(mbar)	압력(mmHg)(Torr)	수밀도(분자/cm³)	수밀도(분자/m³)	평균 자유 경로
주변 압력	1013	759.8	2.7 × 10¹⁹	2.7 × 10²⁵	64 ~ 68^[5] nm
저진공	300 – 1	220 – 8 × 10⁻¹	10¹⁹ ~ 10¹⁶	10²⁵ ~ 10²²	0.1 ~ 100 μm
중진공	1~10⁻³	8×10⁻¹~8×10⁻⁴	10¹⁶ ~ 10¹³	10²² ~ 10¹⁹	0.1 ~ 100 mm
고진공	10⁻³ ~ 10⁻⁷	8×10⁻⁴~8×10⁻⁸	10¹³ ~ 10⁹	10¹⁹ ~ 10¹⁵	10 cm – 1 km
초고진공	10⁻⁷ ~ 10⁻¹²	8×10⁻⁸~8×10⁻¹³	10⁹ ~ 10⁴	10¹⁵ ~ 10¹⁰	1km⁵ ~ 10km
초고진공	10 미만⁻¹²	8×10⁻¹³ 미만	10 미만⁴	10 미만¹⁰	10km 이상⁵

기타 분야

방사선 촬영

Z = 1 ~ ^[6]100인 원소의 경우 1 keV ~ 20 MeV 범위의 광자에 대한 평균 자유 경로.이러한 중단은 가스 원소의 밀도가 낮기 때문입니다.6개의 대역은 6개의 희가스 지역에 해당합니다.흡수 에지의 위치도 표시됩니다.

감마선 방사선 촬영에서 단일 에너지 광자의 연필 빔의 평균 자유 경로는 대상 물질의 원자와의 충돌 사이에 광자가 이동하는 평균 거리이다.광자의 물질과 에너지에 따라 달라집니다.

\displaystyle \ell =\mu^{-1}=(\mu /\rho)^{-1}

여기서 μ는 선형 감쇠계수, μ/matrix는 질량 감쇠계수, θ는 재료의 밀도이다.질량 감쇠 계수는 NIST(^[7]^[8]National Institute of Standards and Technology) 데이터베이스를 사용하여 모든 재료 및 에너지 조합에 대해 조회 또는 계산할 수 있다.

X선 방사선 촬영에서 평균 자유 경로의 계산은 더 복잡하다. 왜냐하면 광자는 단일 에너지가 아니라 스펙트럼이라고 불리는 에너지의 분포를 가지고 있기 때문이다.광자는 대상 물질을 통과하면서 에너지에 따라 확률로 감쇠되며, 그 결과 스펙트럼 경화라고 불리는 과정에서 분포가 변화한다.스펙트럼 경화 때문에 X선 스펙트럼의 평균 자유 경로는 거리에 따라 변화한다.

때때로 평균 자유 경로의 개수에 있는 재료의 두께를 측정합니다.하나의 평균 자유 경로 두께를 가진 물질은 광자의 37%(1/e)까지 감쇠한다.이 개념은 반값층(HVL)과 밀접하게 관련되어 있습니다. 즉, 두께가 1 HVL인 물질은 광자의 50%를 감쇠시킵니다.표준 X선 이미지는 전송 이미지이며, 명암에 대한 음의 로그가 있는 이미지를 평균 자유 경로 이미지 수라고 부르기도 합니다.

일렉트로닉스

거시적 전하 전송에서 금속 $\ell$ 전하 캐리어의 평균 자유 경로는 전기 전도도와 직접 관련된 값인 전기 $\mu$ 도 $\mu$ μ {\ $displaystyle \mu$ 에 $\ell$ 비례합니다. 즉, 다음과 같습니다.

\mu = flac {q\flac } {m} = flac {q\ell} {m^{*} v_{\rm {F}}}

여기서 q는 전하, $\tau$ { $displaystyle \tau}$ 는 $\tau$ 평균 빈 시간, m은^* 유효 질량, v는_F 전하 캐리어의 페르미 속도입니다.페르미 속도는 비상대론적 운동 에너지 방정식을 통해 페르미 에너지로부터 쉽게 도출될 수 있다.그러나 박막에서는 막 두께가 예측 평균 자유로보다 작을 수 있으므로 표면 산란이 훨씬 두드러져 효과적으로 저항률을 높일 수 있습니다.

전자의 평균 자유 경로보다 작은 크기의 매체를 통한 전자 이동은 탄도 전도 또는 탄도 운송을 통해 발생합니다.이러한 시나리오에서 전자는 도체 벽과의 충돌 시에만 움직임을 변화시킨다.

광학

직경 d의 비흡광 입자와 체적 비율 δ의 현탁액을 취하면 광자의 평균 자유 경로는 다음과 같다.^[9]

{\displaystyle \ell = specfrac {2d}{3\Phi Q_{\text{s}}}},

여기서_s Q는 산란 효율 계수입니다.Q는_s Mie 이론을 사용하여 구형 입자에 대해 수치적으로 평가할 수 있습니다.

음향학

그렇지 않으면 비어 있는 공동에서 벽에서 튕겨 나오는 단일 입자의 평균 자유 경로는 다음과 같습니다.

\displaystyle \ell = flac {FV}{S}}

여기서 V는 캐비티의 부피, S는 캐비티의 총 내부 표면적, F는 캐비티의 모양과 관련된 상수입니다.대부분의 단순한 캐비티 형상의 경우 F는 ^[10]약 4입니다.

이 관계는 소리 ^[11]전파의 기하학적 근사치를 사용하여 음향학에서 사빈 방정식의 도출에 사용됩니다.

원자핵 및 입자 물리학

입자 물리학에서 평균 자유 경로의 개념은 일반적으로 사용되지 않으며, 감쇠 길이의 유사한 개념으로 대체된다.특히 전자-양자 쌍 생산에 의해 대부분 상호작용하는 고에너지 광자의 경우 방사선 길이는 방사선 촬영의 평균 자유 경로와 매우 유사하다.

핵물리학의 독립입자 모델은 핵자가 다른 ^[12]핵자와 상호작용하기 전에 핵자 내에서 방해받지 않는 궤도를 선회해야 한다.

핵물질에서 핵자의 유효 평균 자유경로는 독립 입자 모델을 사용할 수 있도록 핵 치수보다 다소 커야 한다.이 요구는 이론의 가정과 모순되는 것으로 보인다...우리는 아직 해결되지 않은 핵구조물리학의 근본적인 문제 중 하나에 직면해 있다.
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「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

Gas Dynamics Toolbox: VHS 모델을 사용하여 혼합 가스의 평균 자유 경로 계산

[1] Chen, Frank F. (1984). Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion (1st ed.). Plenum Press. p. 156. ISBN 0-306-41332-9.

[2] S. 채프먼과 T. G. 카울링, 불균일한 가스의 수학적 이론, 제3판, 케임브리지 대학 출판부, 1990, ISBN 0-521-40844-X, 페이지 88.

[3] "Mean Free Path, Molecular Collisions". Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Retrieved 2011-11-08.

[4] Vincenti, W. G. and Kruger, C. H. (1965). Introduction to physical gas dynamics. Krieger Publishing Company. p. 414.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[5] Jennings, S (1988). "The mean free path in air". Journal of Aerosol Science. 19 (2): 159. Bibcode:1988JAerS..19..159J. doi:10.1016/0021-8502(88)90219-4.

[6] 데이터 베이스

[NIST1-7] Hubbell, J. H.; Seltzer, S. M. "Tables of X-Ray Mass Attenuation Coefficients and Mass Energy-Absorption Coefficients". National Institute of Standards and Technology. Retrieved 19 September 2007.

[NIST2-8] Berger, M. J.; Hubbell, J. H.; Seltzer, S. M.; Chang, J.; Coursey, J. S.; Sukumar, R.; Zucker, D. S. "XCOM: Photon Cross Sections Database". National Institute of Standards and Technology (NIST). Retrieved 19 September 2007.

[9] Mengual, O.; Meunier, G.; Cayré, I.; Puech, K.; Snabre, P. (1999). "TURBISCAN MA 2000: multiple light scattering measurement for concentrated emulsion and suspension instability analysis". Talanta. 50 (2): 445–56. doi:10.1016/S0039-9140(99)00129-0. PMID 18967735.

[YoungRW-10] Young, Robert W. (July 1959). "Sabine Reverberation Equation and Sound Power Calculations". The Journal of the Acoustical Society of America. 31 (7): 918. Bibcode:1959ASAJ...31..912Y. doi:10.1121/1.1907816.

[11] 데이비스, D. 및 파트로니스, E. "사운드 시스템 엔지니어링"(1997) 포컬 프레스, ISBN 0-240-80305-1 페이지 173.

[12] Cook, Norman D. (2010). "The Mean Free Path of Nucleons in Nuclei". Models of the Atomic Nucleus (2 ed.). Heidelberg: Springer. p. 324. ISBN 978-3-642-14736-4.

[13] Blatt, John M.; Weisskopf, Victor F. (1979). Theoretical Nuclear Physics. doi:10.1007/978-1-4612-9959-2. ISBN 978-1-4612-9961-5.

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