베르누이 계획

수학에서 베르누이 계략이나 베르누이 교대조는 베르누이 과정을 세 가지 이상의 가능한 결과로 일반화한 것이다.^[1][2]베르누이 계획은 상징적인 역학에서 자연스럽게 나타나며, 따라서 역동적인 시스템을 연구하는 데 중요하다.많은 중요한 역학 시스템(Axiom A 시스템 등)은 칸토어 세트의 산물인 리피터와 매끄러운 다지관을 보이며, 칸토어 세트의 역학은 베르누이 시프트와 이형성이 있다.^[3]이것은 본질적으로 마르코프 파티션이다.시프트라는 용어는 시프트 운영자를 지칭하는 것으로, 베르누이 계획을 연구하는 데 사용될 수 있다.올슈타인 이소모르피즘 정리는^[4][5] 베르누이 교대조의 엔트로피가 같을 때 이소모픽임을 보여준다.

정의

베르누이 체계는 각 독립 랜덤 변수가 N으로 구별되는 가능한 값 중 하나를 차지할 수 있는 이산 시간 확률 과정이다. 결과 i는 확률 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ i = 1, ..., N 및

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}p_{i}=1.}$

표본 공간은 보통 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle X=\{1,\ldots,N\}^{\mathb {Z}}}}}}}}$

의 속기로서.

${\displaystyle X=\{x=(\ldots,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots }:x_{k}\in \{1,\ldots,N\}\;\forall k\in \mathb {Z}\}}}.}$

이와 관련된 조치를 베르누이 조치라고^[6] 한다.

${\displaystyle \mu =\{p_{1},\ldots,p_{N}\}^{\mathb {Z}}}}}}}}}$

X에 있는 --algebra $A{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal{A}}$는 제품 시그마 대수, 즉 유한 집합 {1, ..., N}의 al-알게브라의 (카운트 가능) 직접 산물이다. 따라서 3중첩은

${\displaystyle(X, {\mathcal {A},\mu )}$

측정 공간이다.$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 기본은 실린더 세트 입니다$$.실린더 세트${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]$을(를) 지정하면 측정값은 다음과 같다$.$

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}]\right)=\prod _{i=0}^{n}p_{x_{i}}}}}}}}}}$

확률론의 표기법을 사용한 등가식 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{n1},\ldots ,x_{n}\right)=\mathrm {Pr}(X_{0}=x_{0},X_{1},\ldots,X_{n}=x_{n}}},{n},{n}}}}}}}}}, {n}}}}}}}}}}}}}, {n}}}}}$

임의 변수${\displaystyle }${${\displaystyle {Xk}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{X_{k}\}}$에 대해

베르누이 체계는, 어떤 확률적 과정으로서, 다음과 같이 교대조 운영자 T에게 부여함으로써 역동적인 시스템으로 볼 수 있다.

${\displaystyle T(x_{k}=x_{k+1}.$

결과는 독립적이기 때문에, 이동은 측정치를 보존하며, 따라서 T는 측정치 보존 변환이다.사중팔구

${\displaystyle(X,{\mathcal {A},\mu,T)}$

측정치 보존 역동적인 시스템이며, 베르누이 계략 또는 베르누이 교대조라고 불린다.그것은 흔히 에 의해 표시된다.

${\displaystyle BS(p)=BS(p_{1},\ldots ,p_{N}).}$

N = 2 베르누이 계획은 베르누이 과정이라고 불린다.베르누이 시프트는 인접 행렬의 모든 항목이 하나인 마르코프 시프트의 특별한 경우로서, 해당 그래프는 따라서 클라이크(cl 이해할 수 있다.

일치 및 측정 기준

해밍 거리는 베르누이 계획에서 자연적인 지표를 제공한다.또 다른 중요한 측정기준은 $소위{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f${\${\$overline{f}$ 메트릭으로$$, 문자열 매치에 대한 우월성을 통해 정의된다.^[7]

$Let{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= a ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $B$ = ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}${\$displaystyle B=b_${1}$b_{2}\cdots b_{n}}}}$는 기호의 두 문자열이다$$.일치는 문자열로 인덱스$({\displaystyle i_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$, j $){\displaystyle (i_{k},j_{k}})$의 쌍(즉, ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ k${\displaystyle {{}_{}}_{}}$= b ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$, ${\displaysty a_{i_}}=b_{j_{k}}}}}}},}}$이(가)의$$ 순서 M이다.즉 각 개별 결과(나는 k){\displaystyle(i_{k})}과(jkm그리고 4.9초 만){\displaystyle(j_{k})}:1≤ 나는 1개체 명령을 받았다;나는 2개체, ⋯<> 거야. i_{2}<, \cdots <≤ m{\displaystyle 1\leq i_{1}&lt이었고 넌 결코 모르네;i_{r}\leq m}과 마찬가지로 1≤ j1<>j2<⋯<>j r≤ n.{\displaystyle 1\l 있다.eq j_{1}<, j_{2}<, \cdots <, j_{$r}\leq n.}$

$f{\displaystyle }$${\$ - A ${\displaystyle A}$과(와) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 사이의 거리는$$$$

${\displaystyle {\overline{f}(A,B)=1-{\frac {2\supp M }{m+n}}}}$

$여기$서 우월감은 A$${\$displaystyle$A$$}과$$B {\$displaystyle$B$$} 사이의 $모든{\displaystyle }$ 일치$$M {\$displaystyle$M}을(를) 인수한다$.$${\displaystyle }이것$은 ${\displaystyle m}$= n$,$ {\$displaystym$m=$n,}$이(가) 있을 때만 삼각형 불평등을 만족시키므로$$, 이는 그다지 참된 메트릭이 아니다. 그럼에도 불구하고 일반적으로 문헌에서 "거리"라고 불린다.

일반화

베르누이 체계의 대부분의 특성은 유한한 기저공간에서가 아니라 계수 가능한 직접생산에서 따온 것이다.따라서 기준 공간은 어떤 표준 확률 ${\displaystyle \mathrm{공간}}({\displaystyle Y\mathcal{},}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle )}$ )이$$될 수 있고($Y,{\mathcal{B},\nu$ $)\},$ $그리고$ 베르누이 체계는 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle (X,{\mathcal {A},\mu )=(Y,{\mathcal {B},\nu )^{\mathb {Z}}}}}}}}$

이것은 표준 확률 공간의 계수 가능한 직접 산출물이 다시 표준 확률 공간이기 때문에 작용한다.

$추가{\displaystyle \mathbb{}}$ 일반화로 Z ${\$를) 카운트 가능한 이산형 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$로 대체할 수 있다$.$

${\displaystyle(X,{\mathcal {A},\mu )=(Y,{\mathcal {B},\nu )^{G}}$

이 마지막 경우, 교대조 운영자는 그룹 작업으로 대체된다.

${\displaystyle gx(f)=x(g^{-1}f)}$

for group elements ${\displaystyle f,g\in G}$ and ${\displaystyle x\in Y^{G}}$ understood as a function ${\displaystyle x:G\to Y}$ (any direct product ${\displaystyle Y^{G}}$ can be understood to be the set of functions ${\displaystyle [G\to Y]}$, as this is the exponential 물체).측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 그룹 액션에 따라 불변하는 Har 측정값으로 취해진다$$.

$\displaystyle\mu(gx)=\mu(x)\,}$

이러한 일반화는 여전히 대부분의 속성을 유한한 사례와 공유하기 때문에 흔히 베르누이 계획이라고도 불린다.

특성.

그래. 시나이도 베르누이 계략의 콜모고로프 엔트로피가 주어지는^[8][9] 것을 증명했다.

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{{N}p_{i}\log p_{i}.}$

이는 확률 공간의 데카르트 산물의 엔트로피에 대한 일반적인 정의에서 기인한다고 볼 수 있으며, 이는 점증적 장비 특성에서 나타난다.일반 기본 공간$({\displaystyle Y\mathcal{}}$, B ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle (Y,{\mathcal{B},\nu )}($즉, 계산할 수 없는 기본 공간)의 경우, 일반적으로 상대 엔트로피를 고려한다.따라서 예를 들어, $\nu {\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$Y'\$subset$ Y$}$과 같은 기본 Y의$$ 계산 가능한 파티션 $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $Y'\$$nu (Y')$가 있는 경우 엔트로피를 다음과 같이 정의할 수 있다$.$

$\displaystyle H_{Y'}=-\sum _{y'\in y'}\nu(y')\log \nu(y')}$

일반적으로 이러한 엔트로피는 칸막이에 따라 달라지지만, 많은 다이너믹 시스템의 경우, 상징적 역학이 칸막이에 독립되어 있는 경우(또는 오히려 다른 칸막이의 상징적 역학을 연결하여 측정을 불변하게 하는 이소모형이 존재한다)로, 그러한 시스템은 잘 정의된 엔트로피 인데펜을 가질 수 있다.칸막이의 움푹 들어간 부분

오렌슈타인 이소모르피즘 정리

오렌슈타인 이소모르프주의 정리는 같은 엔트로피를 가진 두 개의 베르누이 계략이 이소모르프라고 명시하고 있다.^[4]결과는 날카로우며,^[10] 콜모고로프 자동화와 같은 매우 유사한 비계획 시스템에는 이러한 특성이 없다.

오렌슈타인 이형성 정리는 사실 훨씬 더 깊다: 그것은 많은 다른 측정-보존적 역동적 시스템이 베르누이 계획에 이형성으로 판정될 수 있는 간단한 기준을 제공한다.이전에 무관하다고 믿었던 많은 시스템들이 이형성인 것으로 증명되었기 때문에 결과는 놀라웠다.여기에는 모든 유한^{[clarification needed]} 정지 확률적 과정, 유한형의 하위 변형, 유한 마코프 체인, 아노소프 흐름, 시나이의 당구 등이 포함된다: 모두 베르누이 계략에 이형화된 것이다.

일반화된 사례의 경우, G군이 헤아릴 수 없을 정도로 무한한 어메니블 그룹이라면 오렌슈타인 이형성 정리는 여전히 유지된다.^[11][12]

베르누이 오토모르페시즘

표준 확률 공간(레베그 공간)의 변형이 버누이 교대조에 이형적인 경우 버누이 오토모르프라고 한다.^[13]

느슨한 베르누이

시스템은 카쿠타니와 버누이의 교대조에 해당하는 경우 "느긋한 베르누이"라고 불리고, 제로 엔트로피의 경우, 카쿠타니와 같은 것이 원의 비합리적인 회전에 해당하는 경우에는 "느슨한 베르누이"라고 불린다.

참고 항목

• 유한형 이동
• 마르코프 체인
• 히든 베르누이 모델

참조