퍼스텐베르크 경계

응용수학 내의 학문인 잠재적 이론에서 퍼스텐베르크 경계는 집단과 연관된 경계 개념이다.1963년(반실행 리 그룹의 경우)부터 연재한 논문에서 소개한 해리 퍼스텐버그의 이름을 따서 지은 것이다.푸르스텐베르크 경계는 대략적으로 말해서 포아송 적분을 위한 보편적인 모듈리 공간으로서, 경계값의 측면에서 그룹상의 조화 함수를 표현한다.

동기

퍼스텐버그 경계의 모델은 쌍곡 디스크 ={ z: < ${\displaystyle D=\{z:$ z $<1\}}$ 입니다디스크의 경계 고조파 함수에 대한 고전적인 포아송 공식은 형식을 가지고 있다.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }{{f}}{\f}(e^{i\theta })P(z, e^{i\ta })\,d\ta }$

여기서 P는 포아송 커널이다.디스크의 함수 f는 F(g) = f(g)를 설정하여 디스크의 뫼비우스 변환 그룹에서 기능을 결정한다.그러면 포아송 공식은 형태를 가진다.

${\displaystyle F(g)=\int _{z =1}{\hat {f}(gz)\,dm(z)}$

여기서 m은 경계선의 하르 측정값이다.이 함수는 디스크의 일반적인 르베그 측정에서 유도된 뫼비우스 그룹에 대한 조치와 관련하여, 적절히 정규화된 평균값 속성을 만족한다는 점에서 조화롭다.경계에서 경계 고조파 함수와 (본질적으로) 경계 함수의 연관성은 일대일이다.

반단순군 시공

일반적으로 G를 반단순 리 그룹으로 하고 절대적으로 연속적인 G에 대한 확률 측정치를 μ로 한다.G의 함수 f는 측정 μ에 대해 평균값 속성을 만족하는 경우 μ-함수이다.

${\displaystyle f(g)=\int _{G}f(g')\,d\mu(g')}$

그 다음에는 G 작용과 ν을 갖는 콤팩트한 공간 is이 있는데, G의 모든 경계 고조파 함수가 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f(g)=\int _{\Pi }{\hat {f}(gp)\,d\nu(p)}$

π의$$ 일부 경계 함수 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$

공간 π과 측정 ν은 측정 μ(그러므로 정확히 어떤 것이 조화 함수를 구성하는지)에 따라 달라진다.그러나 ν(항상 진실로 μ에 의존하는 것)에 대해서는 여러 가지 가능성이 있지만, π(최대 이소모르퍼시즘)의 공간은 한정되어 있을 뿐: 이것들은 일부 포물선 부분군에 의해 G의 몫인 G의 균질한 공간으로서, 뿌리 데이터와 주어진 이와사와의 관점에서 완전히 설명할 수 있다.부패시키다게다가 그러한 공간에는 최대치가 있는데, 다른 모든 공간까지 지도가 내려가는 것을 푸르스텐베르크 경계라고 한다.

참조

• Borel, Armand; Ji, Lizhen, Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces (PDF)
• Furstenberg, Harry (1963), "A Poisson Formula for Semi-Simple Lie Groups", Annals of Mathematics, 77 (2): 335–386, doi:10.2307/1970220, JSTOR 1970220
• Furstenberg, Harry (1973), Calvin Moore (ed.), "Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 26: 193–232, doi:10.1090/pspum/026/0352328, ISBN 9780821814260