CHS 부등식

물리학에서 CHS 부등식은 양자역학에서 얽힘의 특정 결과가 국소 은닉 변수 이론에 의해 재현될 수 없다는 벨의 정리의 증명에 사용될 수 있습니다.불평등이 침해되고 있다는 것에 대한 실험적 검증은 그러한 이론으로는 자연을 설명할 수 없다는 것을 확인하는 것으로 봅니다.CHSH는 존 클라우저(John Clauser), 마이클 혼(Michael Horne), 애브너 시모니(Abner Shimony), 리처드 홀트(Richard Holt)의 약자로, 1969년에 출판된 많은 인용 논문에서 이를 설명했습니다.^[1]그들은 존 스튜어트 벨의 원래 부등식과 마찬가지로 CHSH 부등식을 도출했는데,^[2] 이는 벨 테스트에서 "우연"의 통계적 발생에 대한 제약이며, 이는 근본적인 지역 숨겨진 변수가 존재한다면 반드시 사실이며, 이 가정은 때때로 지역 현실주의라고 불립니다.실제로는 양자역학의 현대적 실험에 의해 불평등이 일상적으로 침해됩니다.^[3]

진술

CHSH 부등식의 일반적인 형태는

$${\displaystyle S \leq 2,}$$

(1)

어디에

$${\displaystyle S=E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b\right)+E\left(a',b'\right).}$$

(2)

a 및 a'는 측면 A의 검출기 설정, 측면 B의 b 및 b'이며, 네 가지 조합은 별도의 하위 실험에서 테스트됩니다.항 E(a, b) 등은 입자 쌍의 양자 상관 관계이며, 여기서 양자 상관 관계는 실험의 "결과"의 곱의 기대 값, 즉 A(a)·B(b)의 통계적 평균으로 정의되며, 여기서 A와 B는 별개의 결과이며, 코딩은 '+' 채널에 +1, '-' 채널에 -1을 사용합니다.Clauser et al. 의 1969년^[1] 유도는 "2채널" 검출기의 사용을 지향했으며, 실제로 일반적으로 사용되는 것은 이들에 대한 것이지만, 이들의 방법 하에서 가능한 유일한 결과는 +1과 -1이었습니다.당시 편광 및 단일 채널 편광기의 사용을 의미하는 실제 상황에 적응하기 위해서는 '-'를 '+' 채널에서의 비검출, 즉 '-' 또는 '-'가 아닌 것으로 해석해야 했습니다.그들은 원래 기사에서 두 채널 불평등이 실제 불완전한 검출기를 사용한 실제 실험에서 어떻게 적용될 수 있는지에 대해 논의하지 않았지만, 불평등 자체는 동일하게 유효하다는 것이 나중에 증명되었습니다^[4].그러나 0의 결과가 발생한다는 것은 실험 데이터로부터 E의 값을 추정하는 방법이 더 이상 명확하지 않다는 것을 의미합니다.

양자역학의 수학적 형식주의는 2보다 큰 2 √2(Tsirlson's bound)의 S에 대한 최대값을 예측하며, 따라서 양자역학 이론에 의해 CHS 위반이 예측됩니다.

실험

1982년 Alain Aspect의 두 번째 실험 이후에 수행된 많은 Bell 검정은 (3)을 사용하여 항을 추정하고 공정한 표본 추출을 가정하여 CHS 부등식을 사용했습니다.몇몇 극적인 불평등 위반 사례들이 보고되었습니다.^[6]

실제로 대부분의 실제 실험은 벨이 원래 염두에 두었던 전자가 아닌 빛을 사용했습니다.가장 잘 알려진 실험에서 관심 있는 속성은 편광 방향이지만 다른 속성을 사용할 수도 있습니다.^[7][8][9]이 다이어그램은 전형적인 광학 실험을 보여줍니다.일치(동시 탐지)가 기록되고 결과는 '++', '+-', '-+' 또는 '--'로 분류되며 해당 카운트가 누적됩니다.

검정 통계량 S(2, 위)의$$ 4개 항 $E{\displaystyle }$(${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle E(a,b)}$에 해당하는 4개의 개별 하위 실험이 수행됩니다.일반적으로 a = 0°, a' = 45°, b = 22.5°, b' = 67.5°의 설정은 양자 역학 공식이 부등식을 가장 크게 위반하는 설정입니다.

a 및 b의 선택된 각 값에 대해 각 범주${\displaystyle }${${\displaystyle N{}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$- ,${\displaystyle {}_{}}$N + - , ${\displaystyle {}_{}}$+ +${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ N_{-}\$right\}$가 기록됩니다$$.$그런{\displaystyle }$ 다음 E${\displaystyle }$(${\displaystyle a,b)}$ ${\displaystyle E(a,b)}$에 대한 실험 추정치는 다음과 같이 계산됩니다$$.

$${\displaystyle E= {\frac {N_{++}-N_{+-}-N_{-+}+N_{--}}}+N_{+-}+N_{-}+N_{--}}$$

(3)

모든 E가 추정되면 S(Eq. 2)의 실험적 추정치를 찾을 수 있습니다.수치적으로 2보다 크면 CHSH 부등식을 침해했으며 실험은 양자역학 예측을 지원하고 모든 지역 은닉 변수 이론을 배제한 것으로 선언됩니다.

CHSH 논문은 단순화된 정리와 공식을 도출하기 위해 많은 전제 조건(또는 "합리적이고/또는 추정 가능한 가정")을 나열합니다.예를 들어, 방법이 유효하려면 탐지된 쌍이 방출된 쌍의 공정한 표본이라고 가정해야 합니다.실제 실험에서는 검출기가 100% 효율적이지 않으므로 방출된 쌍의 샘플만 검출됩니다.미묘한 관련 요구 사항은 숨겨진 변수가 실험의 각 암에서 다른 표본으로 이어지는 방식으로 탐지 확률에 영향을 미치거나 결정하지 않는다는 것입니다.

다양한 실험실이 광자 쌍, 베릴륨 이온 쌍, 이터븀 이온 쌍, 루비듐 원자 쌍, 전체 루비듐-원자 구름 쌍, 다이아몬드의 질소 빈 공간, 조셉슨 위상 큐비트와 얽혀 CHS 부등식을 위반했습니다.^[10]

파생

결과가 모두 +1 또는 -1이며 결코 0이 아니라는 가정을 수반하기 때문에 원래의 1969년 파생은 여기서 제공되지 않습니다.벨의 1971년 파생된 것이 더 일반적입니다.그는 클라우저와 혼이 나중에 사용한 "객관적 로컬 이론"을 효과적으로 가정합니다.^[11]디텍터 자체와 관련된 숨겨진 변수는 두 측면에서 독립적이며 처음부터 평균화할 수 있다고 가정합니다.Clauser and Horne의 1974년 논문에는 또 다른 관심 유도가 제시되어 있는데, CH74 부등식에서 출발합니다.

이후 도출된 두 가지 결과를 보면 (검정 통계량 추정 방법과는 달리) 부등식 자체에 실제로 필요한 유일한 가정은 소스의 가능한 상태의 분포가 일정하게 유지되고 양쪽의 검출기가 독립적으로 작용한다는 것입니다.

벨의 1971년 파생어

다음은 Bell's Speakable and Unspeakable 37페이지를 토대로 양자 상관의 ^[4]기대 값에 'P' 대신 기호 'E'를 사용하는 것이 주요 변경 사항입니다.이렇게 하면 양자 상관 관계 자체가 확률이라는 제안을 피할 수 있습니다.

우리는 "숨겨진 변수" λ의 임의의 선택된 값에 대해 개별 확률을 곱하여 결과 쌍의 합동 확률을 얻을 수 있도록 하는 두 변의 독립성에 대한 표준 가정부터 시작합니다. λ는 소스의 가능한 상태의 고정된 분포로부터 도출된다고 가정되며, 소스의 확률은 다음과 같습니다.밀도 함수 ρ(λ)에 의해 제공되는 특정 시도에 대한 상태 λ에서, 완전한 숨겨진 변수 공간에 걸쳐 적분은 1입니다.따라서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다고 가정합니다.

여기서 A와 B는 결과입니다.A와 B의 가능한 값은 -1, 0 및 +1이므로 다음과 같습니다.

${\display style \left {\underline {A}}\right \leq 1\quad \left {\underline {B}}\right \leq 1}$

(4)

그 다음 a, a', b, b'가 검출기의 대체 설정일 경우,

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\언더라인 {A}}(a,\lambda){\언더라인 {B}(b,\lambda)-{\언더라인 {A}}(a,\lambda){\언더라인 {B}\left(b',\lambda \right)\right]\rho(\lambda)d\lambda \\={{}&\int\left[{\언더라인 {A}}(a,\lambda)-{\언더라인 {A}}(a,\lambda)-{\언더라인 {A}}(a,\lambda)-{\언더라인 {B}},\left(b)\pm{\언더라인 {A}(a,\lambda){\언더라인 {A}(a,\lambda ){\lambda}{\n언더라인 {A}(a,\lambda )}.밑줄 {B}}(b,\lambda ){\밑줄 {A}}\left(a',\lambda \right){\밑줄 {B}\left(b',\lambda \right)\mp{\밑줄 {A}(a,\lambda ){\밑줄 {B}(b,\lambda ){\n\right){\밑줄 {B}\left(a',\lambda \right){\right]\rho (\lambda)\d\lambda \={}&\int{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}(b,\lambda )}\left[]1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho(\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}(a,\lambda ){\underline {B}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}(b,\lambda )\right]\rho(\lambda )d\end{align}}$

양변의 절대값을 취하여 삼각형 부등식을 우변에 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \left E(a,b)-E\left(a,b'\right)\leq \left {\underline {A}(a,\lambda){\underline {B}(b,\lambda)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}\left(b',\lambda \right)\right]\rho(\lambda )d\right +\left \int {\underline {A}(a,\lambda ){\underline {B}(a,\lambda \right)\left[1\pm {\underline {B}]행 {A}}\left(a',\lambda \right){\밑줄 {B}(b,\lambda )\right]\rho(\lambda )d\lambda \right }$

We use the fact that ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$ and ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,$$\lambda$)\$right]\$rho$(\lambda$)}는 둘 다 음이 아닌 값으로, 이 값의 오른쪽을 다음과 같이 바꿉니다.

(4)까지 이 값은 다음 값보다 작거나 같아야 합니다.

ρ(λ)의 적분값이 1이라는 사실을 이용하면 다음과 같습니다.$2{\displaystyle \mathrm{}}$±${\displaystyle }$[ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (a{}^{\text{'},}{}^{}\text{'})}$+ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (a\text{'},}$ ${\displaystyle b)}$] ${\$ b$'\right)]$ +$E\left$$a',b\right)\right]}.$

이것을 왼쪽 측면과 합하면 다음과 같습니다.

즉, 좌변이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle [E}$(${\displaystyle a{}^{\text{'},}{}^{}\text{'})}$+ E ${\displaystyle (a{\text{'},}^{}}$b${\displaystyle )]}$ ${\$$[E\left(a',b'\right)+$$E\left(a',b\right)}$ 및$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle [E(a\text{'},{}^{}\text{'})}$+ ${\displaystyle E(a\text{'},b)]}$ ${\$$E\left(a',b\right)\right]}.$즉,우리가 얻은 것은(다시 삼각 부등식에 의해), 이것은 CHS 부등식입니다.

Clauser and Horne의 1974년 부등식에서 유래함

Clauser와 ^[11]Horne는 1974년 논문에서 CHS 부등식이 CH74로부터 유도될 수 있음을 보여줍니다.그들이 우리에게 말하는 것처럼, 2채널 실험에서 CH74 단일 채널 테스트는 여전히 적용 가능하며 우연의 확률 p를 지배하는 4개의 부등식 집합을 제공합니다.

비균질한 버전의 부등식을 통해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 j와 k는 각각 '+' 또는 '-'로, 어떤 검출기가 고려되는지 나타냅니다.

CHSH 검정 통계량 S (2)를 얻으려면 j와 k가 다른 부등식에 -1을 곱하고 j와 k가 같은 부등식에 이를 더하면 됩니다.

일반 양자 상태에 의한 최적 위반

실험실에서 두 입자는 이상적인 EPR 쌍이 아닙니다.2큐비트 밀도 행렬$$ρ {\displaystyle $\$rho}가 식 2에서 정의된 최대 도달 가능 다항식 S로 표현되는 CHS 부등식을 위반하기 위한 필요충분조건이 있습니다.이는 비밀 키율이 측정 상관 관계의 정도에 따라 달라지는 얽힘 기반 양자 키 분배에서 중요합니다.^[13]

Let us introduce a 3×3 real matrix ${\displaystyle T_{\rho }}$ with elements ${\displaystyle t_{ij}=\operatorname {Tr} [\rho \cdot (\sigma _{i}\otimes \sigma _{j})]}$, where ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ are the Pauli matrices.그러면 실제 대칭행렬 $U$ ρ $$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ρ T$$ρ {\displaystyle U_{\$rho$}=T_{\rho}^{\text{$T}}, T_{\rho$

여기서 인덱스는${\displaystyle {}_{}}$λ 1$$≥ λ 2 ≥ λ 3 ${\displaystyle$ \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}. 그런 다음 최대 CHSH 다항식은 두 최대 고유값에 의해 결정됩니다.

최적측정기준

적어도 하나의 자유 매개변수를 사용하여 S를 산출하는 주어진$$ρ {\displaystyle$$\rho}에 대해 측정 기저 a, a', b, b'의 최적 구성이 있습니다.

두 직교 ${\displaystyle 상태}$ ${\displaystyle \alpha {}^{}}$⟩,$$$α$$$⊥ ⟩ ${\displaystyle$ \$rangle,$ \$alpha$^{\perp }\rangle }에 대해 각각 +1 또는 -1을 산출하는 투영 측정은 연산자 A = α ⟩ ⟨ α - α ⊥ ⟩ ⟨ α ⊥ {\displaystyle \mathrm {A} = \alpha \rangle \lang \alpha - \alpha ^{\perp }\rangle \alpha ^{\perp } lang. 선택 사항이 측정 기저는 실제 단위 ${\displaystyle 벡터}$ $a$ ∈ $R$ 3, a = 1 {\$displaystyle$ {\$boldsymbol$$${a$}}\$in \mathbb {R}^{3$},$ {\boldsymbol {a} =1} 및 파울리 벡터 σ {\displaystyle {\boldsymbol {A} = {\boldsymbol {a} = {\cdot {\boldsymbol {\sigma }을(를) 표현하여 매개 변수화할 수 있습니다. 그러면 예상 상관 관계는염기 a, b의 이온

기본 벡터의 수치 값이 발견되면 투영 측정의 구성으로 직접 변환할 수 있습니다.^[15]

U$$ρ$${\displaystyle U_{\rho}}의 최대 ${\displaystyle {\mathrm{고유값}}_{}}$λ 1, 2 ${\displaystyle \$lambda _{1,2}와 $해당{\displaystyle {\mathrm{고유}}_{}}$벡터 e 1, 2 ${\displaystyle {$${\displaystyle e_{}}$$}$_${$1,2}의 U ρ $\{\backslash$displaystyle U_{\rho}}를 취하고 보조 단위 벡터를 찾음으로써 상태 ρ {\displaystyle $\$rho}에 대한 최적의 기본 집합을 찾습니다.

여기서$$φ ${\displaystyle$\varphi}은(는) 자유 매개 변수입니다.우리는 또한 예각을 계산합니다.등식 2를 최대로 하는 기저를 구하려면,

얽힘 기반 양자 키 분배에서는 비밀 키를 전달하는 데 사용되는 다른 측정 기반이 있습니다(앨리스가 A면을 사용한다고 가정할$$ ${\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$기본$$ a ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b\mathit{}}$ ${\$}, ${\boldsymbol {b}}$은(는) 서로 다른 측정 결과를 얻을 확률인 양자 비트 오류율 Q를 최소화해야 합니다.^[13]그에 상응하는 기저는^[15]

CHSH 다항식 S도 최대화해야 하며, 위의 기저들과 함께 제약 조건 φ =$$π / 4 ${\$displaystyle \varphi =\pi /4}이(가) 생성됩니다.

CHSH 게임

CHSH 게임은 (빛의 속도로 고전적인 통신을 배제할 수 있을 정도로 충분히 멀리) 먼 거리에서 분리된 두 당사자를 포함하는 사고 실험이며, 각 당사자는 얽힌 두 큐비트 쌍의 절반에 액세스할 수 있습니다.이 게임의 분석은 어떤 고전적인 국소 은닉 변수 이론도 얽힘으로 인해 발생할 수 있는 상관 관계를 설명할 수 없다는 것을 보여줍니다.이 게임은 실제로 물리적으로 실현 가능하기 때문에, 이것은 고전 물리학이 적어도 "국소적"인 방식으로 특정 양자 현상을 설명할 수 없다는 강력한 증거를 제공합니다.

CHSH 게임에는 앨리스와 밥, 그리고 찰리라는 두 명의 협력 선수가 있습니다.이러한 에이전트는 각각$$ $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B,C}$로 축약됩니다.찰리는 게임을 시작할 때 비트 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ∈${\displaystyle }${0$,$ 1} ${\displaystyle x,y\in$\{0,1\}을(를) 균일하게 선택한 $후$, x ${\displaystyle$ x}를 $앨리스$에게$,$ y${\displaystyle$ y}를 밥에게 보냅니다.그런 다음 앨리스와 밥은 찰리에게 각각 비트 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ∈ ${\displaystyle \{}$0$,$ 1 } ${\displaystyle a,b\$in \{0,1\}로 응답해야 합니다.이제 앨리스와 밥이 찰리에게 답장을 보내면 ${\displaystyle \mathrm{찰리}}$는 ⊕ ${\displaystyle b}$ = x ∧ y ${\displaystyle a\oplus$ b = x\land y}를 테스트합니다. 이 동등성이 유지되면 앨리스와 밥이 이기고 그렇지 않으면 깁니다.

또한 앨리스와 밥의 반응은 그들이 보는 비트에만 의존할 수 있어야 합니다. $따라서{\displaystyle }$앨리스의 $반응$ {\$displaystyle$ a$}$은(는$)$ x {\$displaystyle$ x$}$에만 의존합니다$.$이것은 앨리스와 밥이 찰리가 보낸 비트의 가치에 대해 서로 직접적으로 소통하는 것이 금지되어 있다는 것을 의미합니다.하지만 앨리스와 밥은 게임이 시작하기 전에 공통적인 전략을 정할 수 있습니다.

다음 절에서는 앨리스와 밥이 지역 정보(및 잠재적으로 임의 동전 던지기)와 관련된 고전적인 전략만 사용할 경우 75% 이상의 확률로 승리하는 것은 불가능하다는 것을 보여줍니다.그러나 앨리스와 밥이 얽힌 큐빗 쌍 하나를 공유하도록 허용하면 앨리스와 밥이 ~85%의 확률로 성공할 수 있는 전략이 존재합니다.

최적의 고전적 전략

우리는 먼저 모든 결정론적 고전 전략이 최대 75%의 성공 확률을 가지고 있다는 것을 확립합니다($여기$서 확률은 Charlie의 $,y$ {\$displaystyle$x,$y}$의 균일한 무작위 선택에 의해 결정됩니다).$$결정론적 전략에 의해, 우리는 한 쌍의 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ :${\displaystyle }${${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ↦${\displaystyle }${0$,$ 1 } {\$displaystyle f_{$A}, $f_{B}:\{0$,1$\}\maps to$0,1\}, ${\displaystyle {여기}_{}}$서$$f A {\$displaystyle$f_{A}는 찰리로부터 받은 메시지의 함수로서 앨리스의 응답을 결정하는 함수입니다.${\displaystyle {그리고}_{}}$ f B ${\$는 Bob이 받는 것을 기준으로 그의 반응을 결정하는 함수입니다.결정론적 전략이 최소 25% 이상 실패한다는 것을 증명하려면 앨리스와 밥의 가능한 모든 전략 쌍을 간단히 고려할 수 있으며, 그 중 최대 8개입니다(각 당사자에 대해 4개의 ${\displaystyle \mathrm{함수}}${${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$}${\displaystyle }$↦${\displaystyle }${0$,$ 1} ${\displaystyle$\{0,1$\}\mapsto$\{0,1\}).이 8개의 전략 각각에 대해 가능한 입력 쌍 ${\displaystyle \mathrm{4개}}({\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$∈ {${\displaystyle 0^{}}$, 1 } $2$ ${\displaystyle($x,$y)\in$ \{0$,$1\}^{2}} 중 적어도 하나가 항상 존재하므로 전략이 실패한다는 것을 확인할 수 있습니다.예를 들어, 두 플레이어가 항상 0이라고 대답하는 전략에서는 $x$ = ${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle x = y = 1}인 경우를 제외하고는 앨리스와 밥이 모든 경우에 승리하므로 이 전략을 사용하면 승리 확률은 정확히 75%입니다.

이제 앨리스와 밥이 상관된 난수에 접근할 수 있는 무작위 고전 전략의 경우를 생각해 보십시오.게임이 시작되기 전에 여러 번 동전을 공동으로 뒤집어서 제작할 수 있으며 앨리스와 밥은 여전히 의사소통이 가능합니다.각 라운드에서 그들이 주는 출력은 찰리의 메시지와 해당하는 코인 플립의 결과 모두의 함수가 됩니다.이러한 전략은 결정론적 전략에 대한 확률 분포로 볼 수 있으며, 따라서 이 전략의 성공 확률은 결정론적 전략의 성공 확률에 대한 가중합입니다.그러나 모든 결정론적 전략에는 최대 75%의 성공 확률이 있기 때문에 이 가중합도 75%를 초과할 수 없습니다.

최적양자전략

이제, 앨리스와 밥이 두 큐비트 얽힌 상태를 공유한다고 상상해보세요:$$φ$\frac{}{}$⟩ = 12$$($00$ ⟩ + ⟩) {\textstyle \phi \rangle = {\frac {1}{\sqrt {2}}(00\rangle + 11\rangle )}, 흔히 EPR 쌍이라고 합니다.앨리스와 밥은 다음과 같이 얽힌 이 한 쌍을 전략에 사용할 것입니다.다음으로 이 전략의 최적성은 치렐슨의 한계를 따릅니다.

Upon receiving the bit ${\displaystyle x}$ from Charlie, Alice will measure her qubit in the basis ${\displaystyle \{ 0\rangle , 1\rangle \}}$ or in the basis ${\displaystyle \{ +\rangle , -\rangle \}}$, conditionally on whether ${\displaystyle x=0}$ or ${\displaystyle x=1}$, respectively.그런 다음, 측정 기준에서 첫 번째 상태가 관찰되는 경우 각 측정 선택의 결과로 발생할 수 있는 두 가지 $출력$을 =${\displaystyle 0}$ ${\$displaystyle a=0}, 그렇지 않은 경우 = 1 {\displaystyle a=1}로 레이블을 지정합니다.

Bob also uses the bit ${\displaystyle y}$ received from Charlie to decide which measurement to perform: if ${\displaystyle y=0}$ he measures in the basis ${\displaystyle \{ a_{0}\rangle , a_{1}\rangle \}}$, while if ${\displaystyle y=1}$ he measures in the basis ${\displaystyle \{ b_{0}\rangle , b_{1}\rangl$$e$ $\backslash \}\},$ 어디에

θ =${\displaystyle }$π /$$8 {\displaystyle \theta =\pi /8}을(를) 사용합니다.

성공 확률을 분석하려면 4개의 가능한 입력$({\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y)}$ ${\displaystyle(x,y)}$ 각각에 대해 승리 값 쌍을 출력한$$다음 평균을 취할 확률을 분석하면 됩니다.$여기$서 x = ${\displaystyle y}$ = 0 {\$displaystyle$ x = y = 0}인 경우를 분석합니다.In this case the winning response pairs are ${\displaystyle a=b=0}$ and ${\displaystyle a=b=1}$. On input ${\displaystyle x=y=0}$, we know that Alice will measure in the basis ${\displaystyle 0\rangle , 1\rangle }$, and Bob will measure in the basis ${\displaystyle a_{0}\rangle , a_{1}\rangle }$. Then the probability that they both output 0 is the same as the probability that their measurements yield ${\displaystyle 0\rangle , a_{0}\rangle }$ respectively, so precisely ${\textstyle (\langle 0 \otimes \langle a_{0} ) \Phi \rangle ^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$.마찬가지로, 둘 다 1을 출력할 확률은 정확히 $($⟨ $1_{}$ ⊗ ⟨ a 1) φ ⟩ 2$$= 1 2 $cos$ 2$$⁡ (π $8$) {\textstyle (\$times \$langle a_{1}) \Phi \rangle ^{2}= {\frac {1}}\cos ^{2}\left ({\frac {\pi }{8}\right)}입니다. 따라서 이 두 가지 성공적인 결과가 일어날 확률은 cos 2 ⁡ (π 8) {\textstyle \cos ^{2}\left ({\frac {$\backslash$$pi }{8}}\right)}.$

3개의 다른 가능한 입력 쌍의 경우, 본질적으로 동일한 분석은 앨리스와 밥이 ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ (π$$8) {\displaystyle $\cos ^{2}\left({\frac$ $\{\backslash$pi}{8}}\right)}의 승 확률이 같으므로, 무작위로 ${선택}^{}$된$입력$의 평균 승 $\frac{\mathrm{확률}}{}$은$$cos 2 ⁡ (π 8) {\$textstyle \cos$ ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\ri$ght)}.$${\cos }^{}$ $\frac{2}{}$$⁡$$($$π$ 8)는 85% ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac$ {\$pi}{$8$\}\}\backslash$right)\약 85\%를 $≈$하므로, 이는 고전적인 경우에서 가능했던 것보다 엄밀하게 더 나은 것입니다.

일반 양자 전략 모델링

CHSH 게임에 대한 임의의 양자 전략은 트리플 ${\displaystyle {}_{}}$= (ψ ⟩, $0$, A 1 ), (B 0, B 1 ) {\displaystyle {\mathcal {S}}=\left( \rangle, (A_{0}, A_{1}), (B_{0}, B_{1})\right)}(여기서

• ${\displaystyle \psi }$ ⟩ ∈${\displaystyle {}^{}}$⊗ $C$ ${\$displaystyle \$psi$ \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}는 일부 {\displaystyle d}에 대한 초당체 상태입니다.
• ${\displaystyle 0_{}}$ {\$displaystyle A_{0}}$$$및 A 1 ${\displaystyle A_{1}$은 심판으로${\displaystyle {부}_{}}$터 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \{}$0$,$ 1} {\$displaystyle x\in$\{0, 1\}을(를) 받은 것에 해당하는 앨리스의 관측 자료이며,
• ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ 및 ${\displaystyle B_{}}$ 1 ${\displaystyle B_{1}$은 각각 ${\displaystyle \mathrm{심판}}$으로부터 $y$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \{}$0$,$ 1} {\$displaystyle y\in$\{0, 1\}을(를) 받은 것에 해당하는 Bob의 관측 자료입니다.

The optimal quantum strategy described above can be recast in this notation as follows: ${\displaystyle \psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$ is the EPR pair ${\textstyle \psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}( 00\rangle + 11\rangle )}$, the observable ${\displaystyle A_{0}=Z}$ (corresponding to Alice measuring in the ${\displaystyle \{ 0\rangle , 1\rangle \}}$ basis), the observable ${\displaystyle A_{1}=X}$ (corresponding to Alice measuring in the ${\displaystyle \{ +\rangle , -\rangle \}}$ basis), where ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Z}$ are Pauli matrices.관측치 $B$ $0_{}$ = $\frac{\sqrt{12}}{}$(X$+$ Z$)$ ${\textstyle B_{$0}={\$frac {$1}{\$sqrt {2}}(X$ + Z$)}$ 및 B 1 = 12 (Z - X) {\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}(Z - X)}(Bob의 측정 기준 선택 각각에 해당)입니다.${\displaystyle CHSH}$게임에서 전략 $S$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}$의 성공 확률을 ∗ CHSH ω($S) {\displaystyle${\omega_{\text{C$HSH}}^{*}({\mathcal {S}})}$이며$,$ 전략 $S$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}$의 편의를 ${\displaystyle {\text{β}}_{}^{}}$ ${\displaystyle CHSH}$$∗$${\displaystyle (}$S ) : $=$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$$ω$ CHSH $∗$(S$$) - $1 {\displaystyle$ \$beta$ _{\text{C$HSH}}}^{*}({\mathcal {S}):=2\omega_{\text{C$$HSH}}^{*}({\mathcal {S}})-1$ $이$는$$S {\$displaystyle${\$mathcal {$S}}의 승패 확률 차이입니다$.$

특히 저희가.

위에서 설명한 양자 전략의 편의는 $\frac{\sqrt{12\mathrm{}}}{}$ ${\$입니다$.$

Tsirlson의 부등식 및 CHSH 강성

1980년 보리스 치렐슨에 의해 발견된 치렐슨의 부등식은 CHSH 게임에 대한 임의의 양자 $전략$ S$${\$displaystyle {\mathcal {S}}$에 대하여 편향 $\beta$ ${\text{CHSH}}_{}^{}$ ∗ ($\frac{\sqrt{S}}{}$) $≤$ $12$ {\$textstyle$ \$beta$_{\text{C$HSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}.$이와 동일하게 성공 확률을 명시합니다.

CHSH 게임을 위한$$ 임의의 양자 전략 $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$특히, 이는 CHSH 게임에 대해 위에서 설명한 양자 전략의 최적성을 의미합니다.

Tsirelsen의 부등식은 어떤 양자 전략의 최대 성공 확률이 ${\cos }^{}$ $2^{}$ ⁡ (π 8$) {\textstyle \cos$^{$2}\$left$({\frac {\$pi$$}{8}}\right)}임을 확립하며, 우리는 이 최대 성공 확률이 위에서 설명한 양자 전략에 의해 달성됨을 알 수 있었습니다.사실, 이 최대 성공 확률을 달성하는 모든 양자 전략은 위에 설명된 표준 양자 전략과 동형(정확한 의미에서)이어야 합니다. 이 속성은 CHSH 게임의 강성이라고 불리며, 처음에는 서머스와 베르너에 기인합니다.^[17]좀 더 형식적으로는 다음과 같은 결과가 있습니다.

비공식적으로 위의 정리는 CHSH 게임에 대한 임의의 최적 전략이 주어지면 앨리스와 밥에 대한 로컬 기반 변경(등방체 $V{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,W}$에 의해 주어진$)$이 존재하여 공유 상태가 EPR 쌍 φ$$⟩ {\$displaystyle \pi$ \rangle$$}의 $텐서$에 {\displaystyle \rangle }개의 인자를 ψ ⟩합니다.ditional auxiliary state ${\displaystyle \phi \rangle }$. Furthermore, Alice and Bob's observables ${\displaystyle (A_{0},A_{1})}$ and ${\displaystyle (B_{0},B_{1})}$ behave, up to unitary transformations, like the ${\displaystyle Z}$ and ${\displaystyle X}$ observables on their respective qubits from the EPR pair.$CHS$ ($S^{}$ = cos 2 ⁡ (π 8 ) -$$ϵ ${\textstyle$ \omega _{\$text{$C}}를 ω하는 양자 전략 S {\$displaystyle$ ${\$mathcal {$S}}$를 가진 경우$$CHS 강성의 근사 또는 정량 버전을 McKague 등에 의해 구했습니다.$HSH}}({\mathcal {$S})$=$\$cos$ ^{$2}\left ({$$\$$frac${\pi}{$8}\right)-\$epsilon $일부$$ϵ$에 $$0$displaystyle$ \epsilon>0}, $전략 S$${\displaystyle \{\backslash mathcal}$ ${\displaystyle \{}$S$}}$가 O($ϵ$) ${\displaystyle$O({\sqrt {\epsilon}}-정규 양자 전략에 $가깝다는$ 등식이 존재합니다.대략적인 강성에 대한 표현 이론적 증명도 알려져 있습니다.^[19]

적용들

CHSH 게임은 양자 얽힘과 양자 측정에 대한 테스트로 볼 수 있으며 CHS 게임의 강성으로 인해 특정 얽힘은 물론 특정 양자 측정을 테스트할 수 있습니다.이를 활용하여 전체 양자 계산을 테스트하거나 검증할 수 있습니다. 특히 CHSH 게임의 강성을 활용하여 검증 가능한 양자 위임,^[20][21] 인증 가능한 무작위성 확장 ^[22]및 장치 독립 암호화를 위한 프로토콜을 구성했습니다.^[23]

참고 항목

• 상관관계가 인과관계를 의미하는 것은 아닙니다.
• 레게트-가르그 부등식
• 양자 게임 이론

참고문헌