빈 모듈

수학에서 자유 모듈은 기초가 있는 모듈이다. 즉, 선형 독립 요소로 구성된 생성 집합이다.모든 벡터 공간은 자유 ^[1]모듈이지만 계수의 링이 분할 링(환산 케이스의 필드가 아님)이 아닌 경우에는 비자유 모듈이 존재합니다.

임의의 $집합$ S와 링 $R$ 에 $근거$ S를 갖는 자유 R-모듈이 존재하며, 이를 $S$ 의 $요소$ 의 정식 R-선형 조합 모듈 또는 S의 자유 모듈이라고 한다.

자유 아벨 군은 정확히 정수의 링 Z 위의 자유 모듈입니다.

정의.

$링$ R(\ $displaystyle$ R $)$ 및 $R$ R $(\displaystyle$ R $)$ - $M$ (\ $displaystyle$ M $M$ 의 경우 $E\subseteq M$ E $(\displaystyle$ E $\subseteq M)$ 은 $E\subseteq M$ 다음과 같은 경우 M $(\displaystyle$ M $)$ 의 $M$ 기반이 됩니다.

$(\displaystyle$ E $)$ 는 $E$ M $(\displaystyle$ M $M$ 의 생성 세트입니다. 즉 $,$ M(\ $displaystyle$ M $)$ 의 $M$ 모든 요소는 E $(\displaystyle$ E $)$ 의 요소에 R $(\displaystyle$ R $R$ 의 계수를 곱한 $E$ 유한합입니다.
$({displaystyle$ E $})$ 는 $E$ $E$ ({ $displaystyle$ E $},$ $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ + $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ + $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ + r $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ $0_style$ 의 각 $\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ { e1, $\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ ${1}, e_{2},\ldots, e_{n})$ 에 $\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ 대해 선형 독립적입니다. $0_{M}$ 은 $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ r $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ 2 $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ { $style r$ _ {1} = $r$ _ {2} = \ $cdots$ = $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ r _ { $n } =$ 0 _ { R } ( $여기$ 서 0 M { $displaystyle$ $0_{M}$ 은 $0_{M}$ M $}$ $0_{R}$ 의 $0_{R}$ 0_style 0_R)을 $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ .

프리 모듈은 ^[2]기반이 있는 모듈입니다.

정의 후반부의 직접적인 결과는 전반부의 계수가 M의 각 요소에 대해 고유하다는 것이다.

R $(\displaystyle$ R $)$ 의 $R$ 베이스 번호가 불변인 $경우$ 정의상 두 베이스는 같은 카디널리티는 동일합니다.예를 들어, 0이 아닌 가환환에는 불변 기저 번호가 있습니다.임의의 (따라서 모든) 기준의 $카디널리티$ 는 프리 $M$ 의 랭크(\displaystyle M $M$ 라고 불립니다.이 카디널리티가 유한한 경우 프리 모듈은 유한한 랭크에서 해방되며, $랭크$ 가 n인 경우 $랭크$ 에서 해방됩니다.

예

R을 링으로 하자.

R은 그 자체보다 순위가 1위(좌측 또는 우측 모듈)인 자유 모듈이며, 모든 단위 요소가 기본입니다.
보다 일반적으로 R이 가환인 경우, R의 0이 아닌 이상 I는 발생기를 기준으로 ^[3]하여 비제로디바이저가 생성한 주 이상일 경우에만 자유롭다.
R이 가환인 경우, 부정 X의 다항식 링 $R[X]$ { $displaystyle$ R $[X]}$ 은 $R[X]$ 가능한 기저 1, X², X, ......을 가진 자유 모듈입니다.
A $A[t]$ $]$ { $displaystyle$ A $[t]$ {displaystyle A[t]} {displaystyle 다항식 d}, $B=A[t]/(f)$ $B=A[t]/(f)$ [ $B=A[t]/(f)$ $B=A[t]/(f)$ / ( $)$ { $displaystyle$ B $= A$ [ $t]$ / (f)}, $\xi$ B ξ \ $displaystyle \xi }$ 의 $A[t]$ $B=A[t]/(f)$ $\xi$ 이미지를 갖는 다항식 링이라고 $A[t]$ .다음으로 B는 서브링으로서 A를 포함하고 $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ 가 $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ 1, $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ " $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ - $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ ({ $displaystyle$ 1 $,\xi,\dots,\xi ^{d-1$ 인 A 모듈로서 해방됩니다.
임의의 음이 아닌 정수 $R^{n}=R\times \cdots \times R$ 에 대하여, $R^{n}=R\times \cdots \times R$ n $=$ × $R^{n}=R\times \cdots \times R$ θ × $R^{n}=R\times \cdots \times R$ {\ $displaystyle$ R $^{n$ }= $R\times$ \ $cdots \times$ R $R^{n}=R\times \cdots \times R$ 은 왼쪽 R 모듈로서 R의 n개의 복사본의 데카르트 곱이다.R의 기본값이 불변할 경우 순위는 n입니다.
자유 모듈의 직합은 자유인 반면 자유 모듈의 무한 데카르트 곱은 일반적으로 자유롭지 않다(Baer-Specker 그룹 참조).
카플란스키의 정리는 국소환 위에 투영된 모듈은 자유롭다고 말한다.

형식 선형 조합

$세트$ E와 $링$ R이 주어지면, E를 $기본$ 으로 하는 프리 R모듈이 있습니다.즉, E에 의해 색인화된 R의 복사본의 직접 합계입니다.

R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R

(

R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R

)

R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R

R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R

R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R

( \

displaystyle

R^ { ( E ) } = \

bigoplus

_ {

e

\

in

E

}R

。

명시적으로 0이 아닌 컴포넌트가 완전히 많은 요소로 구성된 데카르트 곱의 서브모듈 ${\textstyle \prod _{E}R}$ ${\textstyle \prod _{E}R}$ R ${\textstyle \prod _{E}R}$ \ $textstyle$ \ $prod$ _ { $E }$ R ${\textstyle \prod _{E}R}$ (R은 왼쪽 모듈로 간주됩니다)입니다.e번째 성분이 1(R의 유니티)이고 다른 성분이 모두 0인 R의 $요소 (E)$ e를 식별함으로써 E를 서브셋으로 $R$ 에^(E) 포함시킬 수 있다.그러면 R의 $각 (E)$ 요소는 다음과 같이 고유하게 작성될 수 있습니다.

\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}

여기서 0이 아닌 $c_{e}$ (\ $displaystyle c_{$ e $c_{e}$ })만 확실히 존재합니다.이것은 $E$ 의 원소들의 형식적인 선형 결합이라고 불립니다.

유사한 인수는 모든 자유좌(resp. right) R-모듈이 왼쪽(resp. right) 모듈로서 R의 복사본의 직합과 동일하다는 것을 보여준다.

다른 구성

자유 $모듈 (E)$ R은 다음과 같은 방법으로 구성될 수도 있다.

링 R과 세트 E가 주어진다면, 먼저 세트로서

R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0(완전히 많은 }}x\in E\}에 대하여

왼쪽 모듈의 구조를 갖추어 추가는 다음과 같이 정의됩니다.

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

및 스칼라 곱셈(R의 r과 E의 x의 경우)

\displaystyle(표준)(x)=r(f(x))}

이제 E의 R 값 함수로서 $R^{(E)}$ ( E $R^{(E)}$ ) {\ $displaystyle$ R $^{(E)}}$ 내의 $R^{(E)}$ f는 다음과 같이 고유하게 기술할 수 있습니다.

\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}

$c_{e}$ 서 c e $(\$ 는 $c_{e}$ R로, 이들 중 0이 아닌 것만이 $\delta _{e}$ 으로 표시되며, § $\delta _{e}$ (\ $displaystyle \delta$ _ ${e})$ 는 $\delta _{e}$ 다음과 같이 표시됩니다.

\displaystyle _{e}(x)=begin{case}1_{R}\quad {mbox{if}}x=e\0_{R}\quad {mbox{if}x\neq e\end{case}}}

(이것은 크로네커 델타의 변형입니다). $R^{(E)}$ 의 의미는 R $R^{(E)}$ ( E $R^{(E)}$ ) \ $displaystyle$ R^ { ( $E$ ) } 의 $R^{(E)}$ $R^{(E)}$ $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ e $}$ { $displaystyle$ \ { $\ delta$ _ { $e$ } \ mid e \ $in$ E $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ \ }} 가 $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ $R^{(E)}$ ( E ) \ $displaystyle$ R $R^{(E)}$ { $（ E$ } 의 $R^{(E)}$ 을 의미합니다. $매핑$ $e는$ E와 $e\mapsto \delta _{e}$ 이 기준 $사이$ 의 바이젝션입니다 $.$ 이 분사를 통해 R $R^{(E)}$ ( $R^{(E)}$ ) ( \ $displaystyle$ R $^{$ ( $E$ ) } )는 $R^{(E)}$ 기본이 E인 자유 모듈이 됩니다.

보편적 재산

$\iota :E\to R^{(E)}$ 매핑 mapping : $\iota :E\to R^{(E)}$ $\iota :E\to R^{(E)}$ ( $\iota :E\to R^{(E)}$ E $\iota :E\to R^{(E)}$ ) \ $displaystyle \iota :$ $위$ 에서 정의한 E $\to$ R $^{(E)}$ 는 $\iota :E\to R^{(E)}$ 다음과 같은 의미에서 보편적이다. $f:E\to N$ 의 $f:E\to N$ f : E $f:E\to N$ {\ $displaystyle$ f $:$ $세트$ E에서 좌측 R $모듈N$ 까지 E $\to$ N에는 $f:E\to N$ ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ 한 모듈 ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ f ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ : ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ R ( ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ ) ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ {\ $displaystyle {f}$ : $R^{(E)}\to$ N으로 ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ $f={\overline {f}}\circ \iota$ $f={\overline {f}}\circ \iota$ $f={\overline {f}}\circ \iota$ $¯$ { $displaystyle$ f = $foverline {f}\display$ \ $iota$ 즉 ${\overline {f}}$ $¯$ { $displaystyle$ { f $}$ 는 다음 ${\overline {f}}$ $공식$ 으로 정의됩니다.

{f}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\오른쪽)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)

${\overline {f}}$ 와 ${\overline {f}}$ $f$ 는 선형으로 f를 $f$ $확장$ 하여 얻을 수 있습니다 $.$ 고유성은 각 R-선형 $R^{(E)}\to N$ R ( $R^{(E)}\to N$ ) $R^{(E)}\to N$ {\ $displaystyle$ R $^{(E)}\to$ N $}$ 이 $R^{(E)}\to N$ (가) E에 대한 제한에 의해 고유하게 결정된다는 것을 의미한다.

보편적 성질에 대해 통상적으로, 이것은 R을 표준 동형사상까지 $정의$ 한다^(E). $\iota :E\to R^{(E)}$ $\iota :E\to R^{(E)}$ : $\iota :E\to R^{(E)}$ $\iota :E\to R^{(E)}$ ( $\iota :E\to R^{(E)}$ E $\iota :E\to R^{(E)}$ ) \ $displaystyle \iota :$ $E\to$ R $^{(E)}:$ 각 $\iota :E\to R^{(E)}$ 세트E에 대해 펑터를 결정한다.

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

(

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

-

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

) :

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

-

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

d ,

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

R (

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

) : {

display style

R^ { ( - ) } : \

textbf

{

Set

} \

to

R - { \

mathsf

{

Mod

} , , , , E \

mapsto R

^ {

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

( E )

R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}

} , .

세트의 범주에서 왼쪽 R-모듈의 범주까지.자유함수라고 불리며, 각 집합 E와 왼쪽 모듈 N에 대해 자연스러운 관계를 충족합니다.

\operatorname {Hom}_{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom}_{R}(R^{(E)},N), f\mapto {f

$U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ 서 $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ U : $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ - $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ d $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ { $displaystyle$ U : R - { \ $mathsf$ { $Mod$ } \ $to$ { $textbf$ { $Set$ }}은 $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ 건망증 펑터이며 $R^{(-)}$ $R^{(-)}$ ( - $R^{(-)}$ ) $R^{(-)}$ { $displaystyle$ R $^$ { ( - )}은 $R^{(-)}$ 건망증 펑터의 왼쪽 인접입니다.

일반화

링 위의 일반 모듈에서는 잘못된 프리 모듈에 대한 많은 문장이 여전히 프리 모듈의 특정 일반화에 적용됩니다.투영 모듈은 자유 모듈의 직접적인 총량이기 때문에 자유 모듈에 대한 주입을 선택하고 이 기본을 사용하여 투영 모듈에 대한 무언가를 증명할 수 있습니다.더욱 약한 일반화는 플랫 모듈이며, 텐셔닝을 통해 정확한 시퀀스를 유지하는 특성이 여전히 있습니다.또한 비틀림이 없는 모듈도 있습니다.링에 특별한 특성이 있는 경우, 이 계층은 붕괴될 수 있습니다. 예를 들어 완벽한 국소 데데킨드 링의 경우 모든 비틀림 없는 모듈은 평평하고 투영적이며 자유롭습니다.가환 PID의 꼬임 없는 모듈을 자유자재로 한다.완전히 생성된 Z모듈은 평평한 경우에만 무료입니다.

로컬 링, 퍼펙트 링, 데데킨드 링을 참조하십시오.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Keown (1975). An Introduction to Group Representation Theory. p. 24.
^ Hazewinkel (1989). Encyclopaedia of Mathematics, Volume 4. p. 110.
^ 증명:기본 $I$ $\{x_{j}|j\}$ { $\{x_{j}|j\}$ $\{x_{j}|j\}$ $}$ { $displaystyle$ \ { x $_$ { $j$ } $\{x_{j}|j\}$ } { $displaystyle$ $j\neq k$ j \ $neq$ k $j\neq k$ 의 경우 $x_{j}x_{k}$ j $x_{j}$ { $x_{j}x_{k}$ $display style$ x _ { $j$ } $x$ _ { $k$ $x_{k}$ } 와 $x_{j}x_{k}$ x $style$ x $_$ $x_{k}$ { k $}$ 의 $x_{j}$ $x_{j}$ 한 선형 조합을 $x_{k}$ $합니다$ .h는 사실이 아닙니다. $따라서 I$ 는 $I\neq 0$ 이므로 비제로디바이저여야 하는 기본 요소는 1개뿐입니다.그 반대는 분명하다. $◻$

레퍼런스

이 문서에는 Creative Commons Attribution/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath 세트에 자유 벡터 공간의 자료가 포함되어 있습니다.

Adamson, Iain T. (1972). Elementary Rings and Modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993.
Keown, R. (1975). An Introduction to Group Representation Theory. Mathematics in science and engineering. Vol. 116. Academic Press. ISBN 978-0-12-404250-6. MR 0387387.
를 클릭합니다Govorov, V. E. (2001) [1994], "Free module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

[1] Keown (1975). An Introduction to Group Representation Theory. p. 24.

[2] Hazewinkel (1989). Encyclopaedia of Mathematics, Volume 4. p. 110.

[3] 증명:기본 $I$ $\{x_{j}|j\}$ { $\{x_{j}|j\}$ $\{x_{j}|j\}$ $}$ { $displaystyle$ \ { x $_$ { $j$ } $\{x_{j}|j\}$ } { $displaystyle$ $j\neq k$ j \ $neq$ k $j\neq k$ 의 경우 $x_{j}x_{k}$ j $x_{j}$ { $x_{j}x_{k}$ $display style$ x _ { $j$ } $x$ _ { $k$ $x_{k}$ } 와 $x_{j}x_{k}$ x $style$ x $_$ $x_{k}$ { k $}$ 의 $x_{j}$ $x_{j}$ 한 선형 조합을 $x_{k}$ $합니다$ .h는 사실이 아닙니다. $따라서 I$ 는 $I\neq 0$ 이므로 비제로디바이저여야 하는 기본 요소는 1개뿐입니다.그 반대는 분명하다. $◻$

[1]

[2]

[3]

v t 치수
치수 공간	벡터 공간 유클리드 공간 아핀 공간 투영 공간 빈 모듈 다지관 대수적 다양성 시공간
기타 치수	쿠루루 르베그 피복 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
폴리토프 및 모양	하이퍼플레인 하이퍼서페이스 하이퍼큐브 초직각 데미하이퍼큐브 하이퍼스피어 교차 폴리토프 심플렉스 고피라미드
번호별 치수	영 하나. 두명 세개 네개 다섯개 여섯개 일곱개 8 아홉개 n차원
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