볼루프

수학 및 추상 대수학에서 볼루프는 집단의 개념을 일반화하는 대수적 구조다.볼프 루프는 (볼 1937년)에 그들을 소개한 네덜란드 수학자 게리트 볼의 이름을 따서 명명되었다.

루프 L은 정체성을 만족하면 좌볼루프라고 한다.

${\displaystyle a}$( ${\displaystyle b}$(${\displaystyle a}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( b ${\displaystyle a}$) = (${\displaystyle b}$ a )${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a(b(ac)=(a(ba)c$ L의 모든 a,b,c)에 대해,

반면에 L은 그것이 만족한다면 오른쪽 볼루프라고 한다.

${\displaystyle (}$( (${\displaystyle c}$a ) ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$a =${\displaystyle c}$( ${\displaystyle b}$)$$) {\$displaystyle$(($ca)b)a=c(ab)a)},$L의 모든 a,b,c에 대해.

이러한 정체성은 약화된 형태의 연관성, 또는 강화된 형태의 (좌우 또는 우) 교대성으로 볼 수 있다.

루프는 Moufang 루프일 경우에만 왼쪽 볼과 오른쪽 볼이다.또는, 오른쪽이나 왼쪽 볼루프는 유연한 정체성을 만족하는 경우에만 무우팡이다. 다른 저자들은 볼루프 또는 오른쪽 볼루프를 지칭하기 위해 볼루프라는 용어를 사용한다.

특성.

왼쪽(오른쪽) 볼 아이덴티티는 b를 아이덴티티로 설정함으로써 알 수 있듯이 왼쪽(오른쪽) 대체 속성을 직접적으로 암시한다.

또한 b를 a의 왼쪽(오른쪽) 역순으로 설정하고 루프 분할을 사용하여 a의 불필요한 인자를 취소함으로써 알 수 있듯이 왼쪽(오른쪽) 역 속성을 내포하고 있다.그 결과, 볼프 루프는 양면 인버스를 가지고 있다.

볼록한 고리도 권력과 관련이 있다.

브루크 루프

앞에서 언급한 양면 역행성이 자동 역행성을 만족시키는 볼루프, (ab)⁻¹ = L에서 a,b 모든 a,b에 대한 b는⁻¹⁻¹ (왼쪽 또는 오른쪽) 브루크 루프 또는 K-루프(미국 수학자 리처드 브루크의 이름)로 알려져 있다.다음 섹션의 예는 Bruck 루프 입니다.

브루크 루프는 특수 상대성 이론에 응용된다. Ungar(2002년)를 참조한다.왼쪽 브루크 루프는 두 구조가 다르게 정의되어 있음에도 불구하고 언가(2002)의 자이로커트 자이로그룹과 동등하다.

예

L은 복잡한 숫자에 대한 은둔자의 행렬의 집합인 n x n 양의 명확한 행렬을 나타내도록 하자.일반적으로 L의 행렬 A, B의 행렬 제품 AB가 긍정적일 뿐 아니라 에르미트어라는 것은 사실이 아니다.그러나 L에는 AB = PU와 같은 고유한 단일 행렬 U와 고유한 P가 존재한다. 이것이 AB의 극 분해다.L에서 * by A * B = P의 이진 연산 정의.그러면 (L, *)은 왼쪽 브룩 루프다.*에 대한 명시적 공식은 A * B = (A B A²)로 제공되며,^1/2 여기서 위첨자 1/2은 고유한 양의 한정된 제곱근을 나타낸다.

볼 대수

A (왼쪽) 볼 대수는 이진 연산${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$+${\displaystyle }$[ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [a,b]+[b,a]=0}$과 3차 연산${\displaystyle }${ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c\}}$ ${\displaystyle \{a,b,c\}$이 있는 벡터 공간이다.^[1]

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,a,c\}=0}$

그리고

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c,a,b\}=0}$

그리고

${\displaystyle [\{a,b,c\}-[{a,b,d\}}-[a,b]\}-\{a,b,[d]\}+[a,b],[c,d]=0}$

그리고

${\displaystyle \{a,b,\{c,d,e\}\}-\{\{a,b,c\},d,e\}-\{c,\{a,b,d\},e\}-\{c,d,\{a,b,e\}\}=0}$.

{,.}은(는) 리 트리플 시스템 역할을 한다는 점에 유의하십시오.If A is a left or right alternative algebra then it has an associated Bol algebra A^b, where ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$ is the commutator and ${\displaystyle \{a,b,c\}=\langle b,c,a\rangle }$ is the Jordan associator.

참조

• Bol, G. (1937), "Gewebe und gruppen", Mathematische Annalen, 114 (1): 414–431, doi:10.1007/BF01594185, ISSN 0025-5831, JFM 63.1157.04, MR 1513147, Zbl 0016.22603
• Kiechle, H. (2002). Theory of K-Loops. Springer. ISBN 978-3-540-43262-3.
• Pflugfelder, H.O. (1990). Quasigroups and Loops: Introduction. Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8. 6장은 볼프 루프에 관한 것이다.
• Robinson, D.A. (1966). "Bol loops". Trans. Amer. Math. Soc. 123 (2): 341–354. doi:10.1090/s0002-9947-1966-0194545-4. JSTOR 1994661.
• Ungar, A.A. (2002). Beyond the Einstein Addition Law and Its Gyroscopic Thomas Precession: The Theory of Gyrogroups and Gyrovector Spaces. Kluwer. ISBN 978-0-7923-6909-7.