저차원 리얼 리알헤브라의 분류

이 수학 관련 목록은 무바라크자노프의 1963년 러시아어로 출판된 저차원 리얼 리알헤브라의 분류를 제공한다.^[1]추상대수영역의 리 대수학 기사를 보완한다.

이 분류에 대한 영어판과 리뷰는 2003년에 포포비치 외 ^[2]에 의해 출판되었다.

무바라크자노프의 분류

진짜 숫자의 발전기로 밭에g n{\displaystyle{\mathfrak{g}}_{n}} n{n\displaystyle}-dimensional 대수학 에 들어간다면 1,…, en{\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}자, n각 대수 g 들어{\displaystyle{\mathfrak{g}}}4{\displaystyle n\leq 4}.[해명 필요한]≤. 우리는 단지 adducenon-z기본 요소 사이의 정류자.

일차원

${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ 아벨리안.

이차원

$2{\mathfrak {g}}_{1}$ $2{\mathfrak {g}}_{1}$ $2{\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ 2 ${\mathfrak{g}_{1},$ 아벨리안 $\mathbb {R} ^{2}$ 2 ${\$ ;
${\$ ${\mathfrak {g}}_{2.1}$ $해결$ 가능한 ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ) ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ = ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ { ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ) ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ : ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ , ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ${\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ${\displaystyle {\mathfrak{af}(1)=\{\\begin{pmatrix}a&b\0&0\end{pmatrix}}\,:a,b\in \}}}},$ \}}}, \}},

[e_{1},e_{2}]=e_{1}.

입체

$3{\mathfrak {g}}_{1}$ $3{\mathfrak {g}}_{1}$ $3{\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ 아벨리안, 비안치 1세;
${\$ $1}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ 분해할 수 있는 분해능, 비안치 III;
${\$ ${\mathfrak {g}}_{3.1}$ $하이젠베르크$ –웨일 대수학, 닐포텐트, 비안치 2세,

[e_{2},e_{3}]=e_{1};

${\$ ${\mathfrak {g}}_{3.2}$ { $해결$ 가능한 비안치 4세,

[e_{1},e_{3}]=e_{1},\res[e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};

${\$ $3$ 해결 가능, 비안치 V,

[e_{1},e_{3}]=e_{1},\res[e_{2},e_{3}]=e_{2};

${\$ $\alpha =-1$ ${\mathfrak {g}}_{3.4}$ 해결 가능, 비안치 6세, 푸앵카레 대수 ${\mathfrak {p}}(1,1)$ ( ${\mathfrak {p}}(1,1)$ , ${\mathfrak {p}}(1,1)$ ) ${\displaystyle {p}(1,$ 1) $α$ $\alpha =-1$ = $\alpha =-1$ - $\alpha =-1$ $\alpha =-1$ 일 ${\mathfrak {p}}(1,1)$ 때 $\alpha =-1$

[e_{1},e_{3}]=e_{1},\display[e_{2},e_{3}]=\display e_{2},\display -1\leq \news <1,\dism \neq 0;

${\$ $5$ 해결 가능, 비안치 7세,

[e_{1},e_{3}]=\filename e_{1}-e_{2},\filename [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\filename e_{2},\filename \geq 0;

${\$ $6$ 단순함, 비안치 8세, ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),$ l ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),$ ( ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),$ R ) ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),$ , ${\mathfrak{sl}}(2,\mathb {R}),$

[e_{1},e_{2}]=e_{1},\message [e_{2},e_{3}]=e_{3}},\message [e_{1},e_}]=2e_{2};

${\mathfrak {g}}_{3.7}$ ${\mathfrak {g}}_{3.7}$ ${\$ 단순함, 비안치 $IX$ , ${\mathfrak {so}}(3),$ o ${\mathfrak {so}}(3),$ ( ${\mathfrak {so}}(3),$ ), ${\mathfrak {so}}(3),$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak {so}(3),}$

[e_{2},e_{3}]=e_{1},\message [e_{3},e_{1}]=e_{2}]=e_{3}.

대수 ${\mathfrak {g}}_{3.3}$ 3 ${\mathfrak {g}}_{3.3}$ ${\$ $3}}}$ 은 g ${\mathfrak {g}}_{3.5}$ .5 ${\$ 의 극단적인 경우로 볼 수 있다 ${\mathfrak {g}}_{3.3}$ $.$ $5}}}$ $\beta \rightarrow \infty$ → $∞{\displaystyle \beta \rightarrow \inforty$ 일 때, Lie 대수형의 수축이 형성된다.

필드 ${\mathbb {C} }$ ${\$ ${$ $C}}}}$ 알제브라스 ${\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {g}}_{3.5}$ . ${\mathfrak {g}}_{3.5}$ ${\$ . $5$ ${\mathfrak {g}}_{3.7}$ ${\mathfrak {g}}_{3.7}$ ${\$ 은(는 $)$ ${\mathfrak {g}}_{3.4}$ ${\mathfrak {g}}_{3.4}$ . ${\$ 에 ${\mathfrak {g}}_{3.7}$ 대한 이형성이다. $4.},$ ${\mathfrak {g}}_{3.6}$ ${\mathfrak {g}}_{3.6}$ ${\$ $6$ 각각.

4차원

$4{\mathfrak {g}}_{1}$ $4{\mathfrak {g}}_{1}$ $4{\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ 4 ${\mathfrak{g}_{1},$ 아벨리안;
${\$ $1}\oplus 2{\mathfrak{g}_{1$ 분해할 수 있는 분해능,

[e_{1},e_{2}]=e_{1};

${\$ $분해$ 할 수 있는 $2{\mathfrak {g}}_{2.1}$ 분해할 수 있는,

[e_{1},e_{2}]=e_{1}\properties [e_{3},e_{4}]=e_{3};

${\$ $1}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ 분해 가능한 nilpotent,

[e_{2},e_{3}]=e_{1};

${\$ ${}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ 분해능이 가능한 $분해능$ ,

[e_{1},e_{3}]=e_{1},\res[e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};

${\$ $3}\oplus {\mathfrak{g}_{1},$ 분해능이 가능한 분해능 ${\mathfrak {g}}_{3.3}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$

[e_{1},e_{3}]=e_{1},\res[e_{2},e_{3}]=e_{2};

${\$ $4}\oplus {\mathfrak{g}_{1},$ 분해능이 가능한 분해능 ${\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$

[e_{1},e_{3}]=e_{1},\display[e_{2},e_{3}]=\display e_{2},\display -1\leq \news <1,\dism \neq 0;

${\$ $5}\oplus {\mathfrak{g}_{1},$ 분해능이 가능한 분해능 ${\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$

[e_{1},e_{3}]=\filename e_{1}-e_{2},\filename [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\filename e_{2},\filename \geq 0;

${\$ $6}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ 확인할 수 없음,

[e_{1},e_{2}]=e_{1},\message [e_{2},e_{3}]=e_{3}},\message [e_{1},e_}]=2e_{2};

${\$ $}}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ 확인할 수 없음,

[e_{1},e_{2}]=e_{3}},\message [e_{2},e_{3}]=e_{1},\message [e_{3},e_{1}]=e_{2};},

${\$ ${\mathfrak {g}}_{4.1}$ 외설적인 $영감$ ,

[e_{2},e_{4}]=e_{1},\res[e_{3},e_{4}]=e_{2};

${\$ ${\mathfrak {g}}_{4.2}$ 외설적인 해결이 $가능$ 하며,

[e_{1},e_{4}]=\message [e_{2},e_{4}]=e_{2}, e_{4}]=e_{2}+e_{3},\message \neq 0;

${\$ $3$ 외설적인 해결이 가능,

[e_{1},e_{4}]=e_{1},\res[e_{3},e_{4}]=e_{2};

${\$ $4$ 외설적인 해결이 가능,

[e_{1}, e_{4}]=e_{1}, e_{2}, e_{4}]=e_{1}+e_{2},\cHB[e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3]=e_{3}};

${\$ $5$ 외설적인 해결이 가능하며,

[e_{1},e_{4}]=\message [e_{2},e_{4}]=\message [e_{3},e_{4}]=\message [e_{3}]=\message \message \new \neq 0;

${\$ $6$ 외설적인 해결이 가능,

[e_{1}, e_{4}]=\message [e_{2}-e_{4}]=\message [e_{3}-e_{4}}}}\message [e_{2}]=e_{2}+\message \message >0;

${\mathfrak {g}}_{4.7}$ ${\mathfrak {g}}_{4.7}$ ${\$ 외설적인 해결 가능 ${\mathfrak {g}}_{4.7}$

[e_{2},e_{3}]=e_{1},\filename [e_{1},e_{4}]=2e_{1},\filename [e_{2},e_{4}]=e_{4}}, e_{2}+e_{3], }};

${\$ $8$ 외설적인 해결이 가능,

[e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=(1+\beta )e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\beta e_{3},\quad -1\leq \beta \leq 1;

${\$ $9$ 외설적인 해결이 가능하고,

[e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\alpha e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\alpha e_{3},\quad \alpha \geq 0;

${\mathfrak {g}}_{4.10}$ . ${\mathfrak {g}}_{4.10}$ ${\$ 외설적인 해결 가능,

[e_{1},e_{3}]=e_{1},\message [e_{2},e_{3}]=e_{2},\message [e_{1}, e_{4}]=-e_{4}}}, e_{1}.

대수 ${\mathfrak {g}}_{4.3}$ 4 ${\mathfrak {g}}_{4.3}$ ${\$ $3}}}$ 은 g ${\$ }의 극단적인 경우라고 볼 수 있다 ${\mathfrak {g}}_{4.3}$ $.$ $\beta \rightarrow 0$ → $\beta \rightarrow 0$ 이 $($ 가) 있을 때 ${\mathfrak {g}}_{4.2}$ Lie 대수학의 수축을 형성한다 $\beta \rightarrow 0$

필드 ${\mathbb {C} }$ ${\$ ${$ $C}}}}$ 알제브라스 ${\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ . ${\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ g ${\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ . $5}\oplus {\mathfrak {g}_{1$ ${\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ 7 ${\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ 7 $}}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ ${\mathfrak {g}}_{4.6}$ 4 ${\mathfrak {g}}_{4.6}$ ${\$ $6$ ${\mathfrak {g}}_{4.9}$ ${\mathfrak {g}}_{4.9}$ ${\$ $9$ ${\mathfrak {g}}_{4.10}$ 4. ${\mathfrak {g}}_{4.10}$ ${\$ 은 $($ 는) ${\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ 3.4 ${\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ 1 ${\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak {g}_{3$ 에 대한 이형성이다 ${\mathfrak {g}}_{4.10}$ . $4}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ ${\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ 6 ${\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ 1 ${\$ $6}\oplus {\mathfrak{g}_{1$ ${\mathfrak {g}}_{4.5}$ ${\mathfrak {g}}_{4.5}$ ${\$ $5$ ${\mathfrak {g}}_{4.8}$ ${\mathfrak {g}}_{4.8}$ . ${\$ $8$ ${2{\mathfrak {g}}}_{2.1}$ 2.1 ${\$ $각각$ ${2{\mathfrak {g}}}_{2.1}$

메모들

^ 무바라크자노프 1963
^ 포포비치 2003

참조

Mubarakzyanov, G.M. (1963). "On solvable Lie algebras". Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika (in Russian). 1 (32): 114–123. MR 0153714. Zbl 0166.04104.
Popovych, R.O.; Boyko, V.M.; Nesterenko, M.O.; Lutfullin, M.W.; et al. (2003). "Realizations of real low-dimensional Lie algebras". J. Phys. A: Math. Gen. 36 (26): 7337–7360. arXiv:math-ph/0301029. Bibcode:2003JPhA...36.7337P. doi:10.1088/0305-4470/36/26/309. S2CID 9800361.

[1] 무바라크자노프 1963

[2] 포포비치 2003

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