투영 버라이어티

대수 기하학에서 대수학적으로 폐쇄된 필드 k에 대한 투영적 다양성은 k에 계수를 갖는 n + 1 변수의 동종 다항식 일부 유한 계열의 영로쿠스인 k에 대한$$ 일부 투영적 ${\displaystyle {}^{}}$ P ${\$^{$n}}$의 하위 집합이며, 이는 원시 이상, 정의적 이상이다.Riety. 동등하게, 대수적 다양성이 P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 자리스키 폐쇄 하위변수로 포함될 수 있다면 투영적이다$.$

투영 품종은 그 치수가 1이면 투영 곡선이고, 그 치수가 2이면 투영 표면이며, 그 치수가 포함된 투영 공간의 치수보다 1보다 작으면 투영형 과외면이며, 이 경우 단일 동종 다항식의 0 집합이다.

만약 X가 동질적 최상 이상 I에 의해 정의된 투영적 품종이라면, 그 다음은 지수 링이다.

${\displaystyle k[x_{0},\ldots,x_{n}]/I}$

X의 균일한 좌표 링이라고 불린다. 정도와 치수와 같은 X의 기본 불변량은 이 등급의 고리의 힐버트 다항식으로부터 읽을 수 있다.

투영 품종은 여러 가지 방법으로 발생한다. 그것들은 완성되어 있는데, 대략 "누락"한 점이 없다고 말할 수 있다. 그 반전은 일반적으로 사실이 아니지만, 차우의 보조정리에서는 이 두 관념의 밀접한 관계를 기술하고 있다. 다양성이 투영적이라는 것을 보여주는 것은 X에 있는 선다발이나 칸막이를 연구함으로써 이루어진다.

투영적 다양성의 두드러진 특징은 피복 코호몰로지에서의 미세성 제약이다. 부드러운 투영 품종의 경우 세레 이중성을 푸앵카레 이중성의 아날로그로 볼 수 있다. 또한 투영 곡선, 즉 차원 1의 투영 품종에 대한 리만-로치 정리로 이어진다. 투영곡선 이론은 곡선의 속별로 분류하는 등 특히 풍부하다. 고차원 투영품종 분류프로그램은 투영품종 모듈리 구축으로 자연스럽게 이어진다.^[1] Hilbert는 $규정$된 ${\displaystyle {}^{}}$ 다항식의 P n${\displaystyle \$mathb{$P}$ ^{$n}$의 닫힌 부분군을 계획한다$.$ 그라스만인들이 특별한 경우인 힐버트 계획도 그 자체로 투영적인 계획들이다. 기하학적 불변 이론은 또 다른 접근법을 제공한다. 고전적인 접근법에는 테히뮐러 공간과 차우 품종이 포함된다.

고전에 이르는 특히 풍부한 이론은 X를 정의하는 다항식들이 복잡한 계수를 가질 때 복잡한 프로젝트적 다양성에 이용할 수 있다. 대체로 GAGA 원칙은 투사적 복합 분석 공간(또는 다지관)의 기하학이 투사적 복합 변종의 기하학과 동일하다고 말한다. 예를 들어 X에 대한 홀로모르픽 벡터 번들(더 일반적으로 일관성 있는 분석적 조각)의 이론은 대수 벡터 번들의 이론과 일치한다. 초의 정리는 투영 공간의 부분집합이 동종 다항식의 제로 로쿠스일 경우에만 홀로모르픽 함수 계열의 제로 로쿠스라고 말한다. 복잡한 투영 품종에 대한 분석법과 대수법의 조합은 호지 이론과 같은 영역으로 이어진다.

버라이어티 및 구성

버라이어티 구조

k를 대수학적으로 폐쇄된 필드가 되게 하라. 투영 품종 정의의 기본은 투영 ${\displaystyle {}^{}}$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$이며, 이는 서로 다르지만 동등한 방법으로 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle {kn}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ k$^{n+1}$의 원점을 통과하는 모든 선의 집합으로($$$즉{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {kn}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$의 모든 1차원 벡터 서브스페이스$({\$1$\})$
• 튜플 집합$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ 1 ${\$k^{$n+$1$\},$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 ,${\displaystyle {}_{}}$ … , ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 모두 0이 아니라$$$,$ modulo 동등성 관계.
  $${\displaystyle(x_{0},\display,x_{n})\심 \dada(x_{0},\display,x_{n})}$$

  
  모든 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in k}$ ${\displaystyle \{\{0\}}$ ${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$에 대해$.$ 그러한 튜플의 등가 등급은 다음과 같이 표시된다.
  $${\displaystyle [x_{0}:\properties :x_{n}]}$$

  
  이 등가 등급은 투영 공간의 일반적인 지점이다. 숫자 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 점의 균일한 좌표라고 한다$$.

투영적 다양성은 정의상 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 폐쇄된 하위 변종이며$,$ 여기서 closed는 Zariski 위상을 가리킨다.^[2] 일반적으로 자리스키 위상의 폐쇄 하위 집합은 동종 다항 함수의 유한 집합의 공통 제로 로쿠스로 정의된다. ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ [ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle x_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}}}$이$($가)

${\displaystyle f([x_{0}:\properties :x_{n}]=0}$

임의의 다항식에는 이치에 맞지 않지만, f가 동질적일 경우에만, 즉 모든 단항식(합은 f)의 정도가 같다. 이 경우, 의 소멸.

${\displaystyle f(\displayda x_{0},\displayda x_{n},\displayda x_{n}=\displayda ^{}f(x_{0},\display,x_{n}})}$

$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda \neq$ 0$}$의 선택과 무관함$.$

따라서, 투영적 다양성은${\displaystyle }k{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle x_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$의 동질적 프라임 이상 I에서 발생한다. $[\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n$ 설정.

${\displaystyle X=\왼쪽\{[x_{0}}:\dots :x_{n}]\in \mathb {P}^{n}},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{{{}}=0}}=0\}}}.}$

더욱이 투영 버라이어티 X는 대수적 품종으로, 개방적 아편하분리(open appine subvarieties)로 덮여 분리 공리를 만족한다는 뜻이다. 따라서 X(예: 특이점)에 대한 국지적 연구는 아핀 다양성으로 감소한다. 명시적 구조는 다음과 같다. 투영 ${\displaystyle {}^{}}$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은(는) 표준 오픈 아핀 차트에서 다룬다$$.

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n},x_{i}\neq 0\}}$

그 자체가 좌표 링과 n-disine을 붙이는 것이다.

${\displaystyle k\왼쪽[y_{1}^{(i)},\message ,y_{n}^{{n}^{n3}\right],\message y_{j}^{{}}}}=x_x_{i}.}$

공칭적 단순성을 위해 i = 0이라고 말하고 위첨자(0)를 삭제한다. Then ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ is a closed subvariety of ${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ defined by the ideal of ${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$ generated by

${\displaystyle f(1,y_{1},\properties,y_{n}}$

내 모든 F에 대해서 따라서 X는 (n+1) 오픈 아핀 $차트{\displaystyle }$ X ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에서 다루는 대수적 품종이다$.$

Note that X is the closure of the affine variety ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Conversely, starting from some closed (affine) variety ${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$, the closure of V in ${\displaystyle \math$$bb{P} ^{n}}$는 V의 투사 완료라고 하는 투사성 품종이다. $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle k}$[ y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]$가 V를 정의하는$$ 경우, 이 폐쇄의 정의 이상은 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, , , x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaysty k[x_{0},\dots ,x_{n}}}}}}}}}}}}}$의 균일한 이상이다^[3].

${\displaystyle x_{0}^{\pair(f)}f(x_{1}/x_{0}},\pair,x_{n}/x_{0}}}}}}$

내 모든 F에 대해서

For example, if V is an affine curve given by, say, ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ in the affine plane, then its projective completion in the projective plane is given by ${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.$$}$

투영적 계획

다양한 용도의 경우 투사적 품종, 즉 투사적 계획보다 일반적인 알헤브로-기하학적 객체를 더 많이 고려할 필요가 있다. 투사적 계획을 위한 첫 번째 단계는 계획 구조로 투사적 공간을 제공하는 것이다. 즉, 위의 투사적 공간에 대한 설명을 대수적 다양성으로 정제하는 방식으로, 즉, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}k}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathb {P}^{n}(k)$는 부속 n-공간 k의ⁿ (n + 1) 복사본의 결합인 계획이다. 더 일반적으로,^[4] 고리 A 위에 투영된 공간은 아핀 체계의 결합이다.

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec}A[x_{1}/x_{i},\dots,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

그런 식으로 그 변수들이 예상대로 일치한다. 대수적으로 닫힌 필드 k에$$대한 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 닫힌 점 집합은 일반적인 의미에서$$ 투영 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \mathb {P} ^{n}(k)$이다.

등가지만 능률적인 구조는 프로즈 건설에 의해 주어지는데, 이는 링의 스펙트럼을 비유한 것으로서, 애프라인 구조를 정의하는 "Spec"으로 나타낸다.^[5] 예를 들어 A가 반지라면

${\displaystyle \mathb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj}A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

R이 동질적인 이상 I에 의한$$ $k{\displaystyle }$[ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}}}$의 지수인 경우, 표준적인 추측은 폐쇄적인 몰입을 유도한다.

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathb {P} _{k}^{n}.}$

투영적인 품종에 비해 내가 최고의 이상이라는 조건이 떨어졌다. 이것은 훨씬 더 유연한 개념으로 이어진다: 한편으로 위상학적 $공간{\displaystyle }$X = ${\displaystyle \mathrm{Proj}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}${\$displaystyle$ X$=\operatorname {Proj} R}$은(는) 여러 개의 되돌릴 수 없는 구성요소를 가질 수 있다$$. 게다가, X에는 영점 함수가 있을 수 있다.

Closed subschemes of ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ correspond bijectively to the homogeneous ideals I of ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ that are saturated; i.e., ${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})$$=I.}$ 이 사실은$$^[6] 투영적인 Nullstellensatz의 정제된 버전으로 간주될 수 있다.

우리는 위와 같은 좌표가 없는 아날로그를 제공할 수 있다. 즉, k에 대한 유한차원 벡터 공간 V를 주어, 우리는 그렇게 했다.

${\displaystyle \mathb {P}(V)=\operatorname {Proj}k[V]}$

여기서 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{Sym}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym}(V^{*})$은 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ V$^{*}$의 대칭 대수다$.$^[7] 즉, V의 투영이다. 위에서 설명한 차트를 사용하여 정의한 표준 추체 지도 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{V}}$ ${\displaystyle \setminus }${ 0 ${\displaystyle \}}$→ ${\displaystyle P}$( V${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathb {P}(V)}$이 있다$.$^[8] 이 구조의 중요한 용도 중 하나는 다음과 같다(cf, § 듀얼리티 및 선형 시스템). 투영 버라이어티 X의 Divisor D는 선다발 L에 해당한다. 하나, 셋트

${\displaystyle D}$= ${\displaystyle P\mathbb{}}$( ${\displaystyle \gamma }$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$, ${\displaystyle L}$)${\$디스플레이 $스타일$D$=\mathb {P}(\Gamma (X,L$

그것은 D의 완전한 선형 체계라고 불린다.

어떤 계획 S에 대한 투영 공간은 계획의 섬유 생산물로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \mathb {P}_{S}^{n}=\mathb {P} _{\mathb {Z}^{n}\time _{\operatorname {Spec}\mathb {Z}}}S.}$

If ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ is the twisting sheaf of Serre on ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$, we let ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ denote the pullback of ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ to ${\displaystyle \mathbb {P$$} _{S}^{n}}$; that is, ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$ for the canonical map ${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.$$}$

계략 X → S가 폐쇄적 몰입으로 요인할 경우 S에 대한 투영이라고 한다.

${\displaystyle X\to \mathb {P} _{S}^{n}}}$

그 다음에 S로 투영한다.

X over S에 대한 scheme$$ X에 라인 번들(또는 회전 불능 톱니바퀴) $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 몰입이 있을 경우 S에 비해 매우 풍족하다고 한다(즉, 개방된 몰입 뒤에 닫힌 몰입)

${\displaystyle i:X\to \mathb {P} _{S}^{n}}}$

$일부{\displaystyle \mathcal{}}$ n (${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(1)$$L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 풀백$.$ 그러면 S-scheme X는 만약 적절하고 S에 비해 X에 매우 충분한 피복이 존재한다면 투영된다. 실제로 X가 적절하다면 매우 넉넉한 선다발에 해당하는 몰입은 반드시 닫힌다. 반대로 X가 투영적이라면 $투영적{\displaystyle \mathcal{}}$ 공간에 X가 밀폐되어 있는 O${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ $){\displaystyle {\mathcal{O}(1$)의$$풀백은 매우 풍부하다. "투영적"은 "적재적"을 내포하고 있는데, 바로 제거 이론의 주요 정리인 것이다.

완전품종과의 관계

정의에 따르면, k보다 적절하다면, 다양성은 완전하다. 적정성에 대한 가치 평가 기준은 적절한 다양성에서는 "누락"이 없다는 직관을 나타낸다.

완전한 품종과 투영적인 품종 사이에는 밀접한 관계가 있다: 한편으로 투영적인 공간과 따라서 어떤 투영적인 품종도 완성된다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다. 그러나:

• 부드러운 곡선 C는 그것이 완전한 경우에만 투영된다. 이것은 기능 필드 k(C)의 k에 대한 이산 평가 링 집합으로 C를 식별함으로써 증명된다. 이 세트에는 자리스키-리만 공간이라는 자연 자리스키 위상이 있다.
• 차우의 보조정리에는 어떤 완전한 버라이어티 X에 대해서도 투영적인 버라이어티 Z와 생식 형태론 Z → X가 있다고 되어 있다.(^[9]더 나아가 정상화를 통해 이 투영적인 버라이어티가 정상이라고 가정할 수 있다.)

투영적인 다양성의 일부 특성은 완전성에서 따온 것이다. 예를 들어,

${\displaystyle \Gamma(X, {\mathcal {O}_{X}}=k}$

모든 투영 버라이어티 X over k.^[10] 이 사실은 리우빌의 정리(연결된 콤팩트 콤플렉스 다지관의 모든 홀로모르프 함수는 일정하다)의 대수적 아날로그다. 실제로 복잡한 투영품종에 대한 복합해석 기하학과 대수 기하학의 유사성은 아래에서 설명한 바와 같이 이것보다 훨씬 더 진전된다.

준투영 품종은, 정의상 투영 품종의 개방된 하위 변종이다. 이 품종의 품종은 아핀 품종을 포함한다. 아핀 품종은 거의 완전하지 않다. 사실, 아핀 변종의 투영적 하위 변종은 치수 0을 가져야 한다. 왜냐하면 상수만이 투영적인 다양성에 대한 전지구적으로 규칙적인 함수들이기 때문이다.

예제 및 기본 불변제

정의에 따르면, 다항식 링의 모든 동질적 이상은 투영적인 계획(다양성을 주기 위해 가장 이상적인 것이어야 함)을 산출한다. 이런 의미에서 투영품종의 예는 얼마든지 있다. 다음 목록에는 다양한 종류의 투영 품종이 언급되어 있는데, 이 품종은 특히 집중적으로 연구되었기 때문에 주목할 만하다. 복잡한 투영 품종의 중요한 등급, 즉 $사례{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$은$($는) 아래에서 더 자세히 논의된다.

두 개의 투영 공간의 산물은 투영적이다. 사실 명시적인 몰입(세그르 임베딩이라고 함)이 있다.

${\displaystyle {\begin}\mathb {P}^{n}\time \mathb {P}\m}\m}^{{n+1)-1}-1}\(x_{i_{j}\mapsto x_{i}y_{j}}}:{case}end}}}$

그 결과, k보다 투영적인 품종의 산물은 다시 투영적이다. 플뤼커는 투사적인 품종으로서 그라스만족을 전시하고 있다. 일반 선형군 $G{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$( k${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)$ module로$$ 상위 삼각형 행렬의 지수와 같은 국기 품종도 투사성이 있는데, 이는 대수군 이론에서 중요한 사실이다.^[11]

균질 좌표 링 및 힐버트 다항식

투사적 다양성 X를 정의하는 Primary 이상형이 동질적이므로, 동질 좌표 링

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots,x_{n}]/P}$

등급이 매겨진 반지, 즉 등급이 매겨진 구성 요소의 직접 합으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathb {N} }R_{n}.}$

모든 충분히 큰 n에 대해$$ ${\displaystyle \mathrm{희미}}$한 dim${\displaystyle R_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle P}$ (${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$과 같은 다항식 P가 존재한다. 이를 X의 힐버트 다항식이라고 한다. 그것은 X의 일부 외적 기하학적 기하학을 인코딩하는 숫자 불변성이다. P의 정도는 X의 치수 r이고, 그 선행 계수 시간 r!은 품종 X의 치수다. X의 산술 속은 X가 매끄러울 때 (-1) ^r(P(0) - 1)이다.

For example, the homogeneous coordinate ring of ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ is ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ and its Hilbert polynomial is ${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$; its arithmetic genus is zero.

균일한 좌표 링 R이 통합적으로 닫힌 영역이라면 투영 버라이어티 X는 투영적으로 정상이라고 한다. 참고, 정규성과 달리 투사 정규성은 투사 공간에 X를 내장하는 R에 의존한다. 투사적 다양성의 정상화는 투사적이다; 사실, 그것은 X의 동종 좌표 링의 일체형 폐쇄의 Proj이다.

정도

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 투영적인 품종이 되게 하라$$. 내장과 관련된 X의 정도를 정의하는 최소한 두 가지 동등한 방법이 있다. 첫 번째 방법은 유한 집합의 카디널리티로 정의하는 것이다.

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d}}}}$

여기서 d는 "일반 위치"에 있는 X와_i H의 치수다. 이 정의는 학위의 직관적인 발상에 해당한다. 실제로 X가 초대면이라면 X의 정도는 X를 정의하는 동종 다항식의 정도라고 할 수 있다. "일반적인 위치"는 예를 들어 교차로 이론에 의해 정밀하게 만들어질 수 있다. 교차로들은 적절하고 불가해한 요소들의 곱은 모두 하나일 것을 요구한다.

앞의 절에서 언급된 다른 정의는 X의 정도가 X번의 힐버트 다항식(dim X!)의 선도계수라는 것이다. 기하학적으로, 이 정의는 X의 정도가 X에 대한 아핀 원뿔의 정점의 다중성임을 의미한다.^[12]

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$V ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$을(를) 적절하게 교차하는 순수한 차원의 폐쇄 하위 세트가 되도록$$ 한다(일반 위치에 있음). m이_i 교차로에서 불분명한 성분 Z의_i 다중성(즉, 교차로 다중성)을 나타내는 경우, Bézout의 정리를 일반화하면 다음과 같다.^[13]

${\displaystyle \sum \{1}^{1}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}}}}$

교차로 곱셈 m은_i ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle \mathb{P}$^{$N}$의 차우 링에서$$ 교차로 $제품{\displaystyle {}_{}}$ V 1${\displaystyle {}_{}\cdot }$ ${\displaystyle \cdot }$ ⋅ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$에 있는 Z의_i 계수로 정의할 수 있다$.$

특히 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이(가) X가 포함되지 않은 하이퍼러면인 경우

${\displaystyle \sum _{1}^{1}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

여기서 Z는_i 다중성(로컬 링의 길이) m을_i 갖는 X와 H의 계획-이론성 교차점의 불가해한 구성요소다.

복잡한 투영 다양성은 콤팩트한 복합 다지관으로 볼 수 있다; 그 다음 (내장에 상대적인) 다양성의 정도는 주변 복합 투영 공간으로부터 물려받은 메트릭과 관련하여 다지관으로서의 부피가 된다. 복잡한 투사적 다양성은 (의미적으로) 볼륨의 최소화제로 특징지어질 수 있다.

단면 링

X는 투사적인 품종이 되고 L은 그 위에 선다발이 되게 하라. 그러면 등급이 매겨진 반지

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infit }H^{0}(X,L^{\otimes n})}}$

L 부분의 링이라고 불린다. 만약 L이 충분하다면, 이 링의 프로즈는 X이다. Moreover, if X is normal and L is very ample, then ${\displaystyle R(X,L)}$ is the integral closure of the homogeneous coordinate ring of X determined by L; i.e., ${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$ so that ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$ p다시 L로 돌아오다.^[14]

어플리케이션의 경우, 단순히 라인 번들만이 아니라 디비저($또는{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$ -divisors$$)를 허용하는 것이 유용하다. X가 정상이라고 가정하면 결과 링을 섹션의 일반화 링이라고 부른다. $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$이(가) X에 표준 단위인 경우$$, 섹션의 일반화된 링

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

X의 정식 링이라고 불린다. 만약 정식 링이 미세하게 생성된다면, 그 링의 Proj를 X의 정식 모델이라고 부른다. 그런 다음 표준 링 또는 모델을 사용하여 X의 고다이라 치수를 정의할 수 있다.

투영 곡선

1차원의 투영적인 계획을 투영 곡선이라고 한다. 투사 곡선 이론의 대부분은 부드러운 투사 곡선에 관한 것인데, 곡선의 특이점은 정규 함수의 링의 일체형 폐쇄를 국소적으로 취하는 것으로 구성되는 정상화에 의해 해결될 수 있기 때문이다. 부드러운 투영 곡선은 함수 필드가 이형인 경우에만 이형이다. 유한확장에 관한 연구

${\displaystyle \mathb {F} _{p}(t),}$

또는 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 걸쳐 균등하게 매끄러운 투영곡선은 대수적 수 이론에서 중요한 분기다$$.^[15]

제1의 매끄러운 투영곡선을 타원곡선이라고 한다. 리만-로치 정리의 결과, 그러한 곡선은 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$2}}$에 폐쇄적인 하위변수로 내장될 수 있다$.$ 일반적으로 (매끄러운) 투영곡선은 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 3 ${\$증거의 경우, secant varietrigets#Examplements)를 참조). 반대로, 3도의$$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 매끄러운 닫힘 곡선은 속 공식에 의해 1개의 속(속)을 가지며, 따라서 타원곡선이 된다.

2도보다 크거나 같은 속들의 매끄러운 완전곡선을 $형태론{\displaystyle }$C → ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 1$${\$displaystyle$ C\$to \mathb{P}{$1}$$|{1}, º2의$$ 유한한 형태론 C → P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ {\displaystyle $C\$to \to \mathb {$P}{1$}가 있으면 과급곡선이라고 한다.^[16]

투사형 과급기

코드인장 1의$$ P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$의 모든 수정 불가능한 닫힌 부분집합은 초대면이다. 즉, 균일한 수정 불가능한 다항식의 0 집합이다.^[17]

아벨 품종

투영 버라이어티 X의 또 다른 중요한 불변물은 X의 ${\displaystyle \mathrm{Pic}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$이며, X의 라인 번들의 이형성 등급 집합이다. $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal{O}_{X}^{*})$에 대해 이형성이므로 본질적인 개념(내장과는 무관함)이 있다. 예를 들어 P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 Picard 그룹은 정도 지도를 통해$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 이형성이 있다$$. ${\displaystyle \mathrm{deg}}$의 낟알${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{Pic}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$은 추상적인 아벨 그룹일$$ 뿐만 아니라, 이 그룹과 포인트가 같은 X, Jac(X)라는 종류가 있다. 곡선의 자코비안은 곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 예를 들어 타원 곡선 E의 자코비안은 E 그 자체다. 속 g의 원곡선 X의 경우, Jac(X)에는 치수 g가 있다.

닐스 아벨을 기리기 위해 완전하고 그룹 구조를 가진 자코비안 품종과 같은 품종을 아벨 품종으로 부른다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle GL_{n}(k)}$과 같은 아핀 대수 그룹과는 현저한 대조적으로$,$ 그러한 그룹은 항상 상호 호칭적이다. 게다가, 그들은 풍부한 선다발을 인정하고 따라서 투영적이다. 반면에 아벨의 계획은 투영적이지 않을 수도 있다. 아벨 품종의 예로는 타원곡선, 자코바 품종, K3 표면 등이 있다.

투영

Let ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}}$ be a linear subspace; i.e., ${\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}}$ for some linearly independent linear functionals s_i. 그렇다면 E로부터의 투영은 (잘 정의된) 형태론이다.

${\displaystyle {\begin}\pi :\mathb {P} ^{n}-E\to \mathb {P} ^{r}\x\mapsto[s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)\case{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

이 지도에 대한 기하학적 설명은 다음과 같다.^[18]

• $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 보고 E와 분리되도록 한다$$. 그런 다음 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in \mathb {P} ^{n}\setminus$ E$}$에 대해$,$
  $$[\displaystyle \phi(x)=W_{x}\cap \mathb {P} ^{r}}$$

  
  여기서 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 E와 x를 포함하는 최소 선형 공간(E와 x의 결합이라고 함)을$$ 의미한다.
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},}$ where ${\displaystyle y_{i}}$ are the homogeneous coordinates on ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}.$$}$
• 닫힌 하위 체임 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$ E로부터 분리되는$$ 경우, 제한 ${\displaystyle \varphi }$: Z${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$r}}}}}}}}$은 유한 형태론이다.^[19]

투영법은 투영적인 다양성이 내재된 치수를 유한한 형태론까지 줄이는 데 사용될 수 있다. 일부 투영 버라이어티 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle X\subset \mathb {P} ^{n}.$$}$> ${\displaystyle$ n$>\dim X}$에 없는 지점에서 투영하면${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1.${\displaystyle \pi :X\to \mathb {P} ^{n-1}}}$ 더구나$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystysty \pi}$은 이미지에 유한한 지도다$$. 따라서 절차를 반복하면 유한한 지도가 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle X\to \mathb {P}^{d},\quad d=\dim X.}$

이 결과는 노에더의 정상화 보조정리라는 투영적인 유사점이다. (사실상 정상화 보조정리라는 기하학적 증거를 산출한다.)

동일한 절차를 사용하여 다음과 같은 약간 더 정밀한 결과를 나타낼 수 있다:완벽한 분야에 걸친 투영적인 다양성 X의 경우, P ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$. ${\daystyle \mathb {P} ^{d+1}.}$의 X에서 초외면 H에 이르는 유한한 혼성 형태론이 있다${\displaystyle {}^{}}$$$^[20] 특히 X가 정상이라면 H의 정상화다.

이중성과 선형계

투영적인 $n-space{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) 아핀 n-space의 선들을 매개변수화하는$$ 반면, 이중은 투영 공간의 하이퍼플레인을 다음과 같이 파라메트리한다. 필드 k를 수정하십시오. $P{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbb{}}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ n ${\$에 의해 우리는 투영적인 n-space를 의미한다.

${\displaystyle {\breve {\mathb {P}}}}^{n}=\operatorname {Proj}(k[u_{0},\dots,u_{n}])}$

구조 장비:

${\displaystyle f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}}$, a hyperplane on ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$

where ${\displaystyle f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ is an L-point of ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ for a field extension L of k and ${\displaystyle \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.}$

For each L, the construction is a bijection between the set of L-points of ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ and the set of hyperplanes on ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$. Because of this, the dual projective space ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P}$$}}}}{k}^{n}}}$은(는) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\$에 있는 하이퍼플레인의 모듈리 공간이라고 한다$$$.$

A line in ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ is called a pencil: it is a family of hyperplanes on ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ parametrized by ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$.

If V is a finite-dimensional vector space over k, then, for the same reason as above, ${\displaystyle \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))}$ is the space of hyperplanes on ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$. An important case is when V consists of sections o선다발을 만들다 즉, X를 대수적 품종으로 하고, L을 $X$와 V ${\displaystyle \mathrm{line}}$ bundle${\displaystyle \subset }$ (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle L}$)의 선다발 L을 유한 양차원의 벡터 서브공간인$\감마(X,L)}$로 한다. 그 다음 지도가 있다.^[21]

${\displaystyle {\begin}\varpi _{V:X\setminus B\to \mathb {P}(V^{*})\x\mapsto H_{x}=\s\in V(x)=0\case{case}}}}}}}}}}}$

선형 시스템 V에 의해 결정되며, 여기서 B는 베이스 로쿠스라고 불리는, V에서 0이 아닌 부분의 디비저의 교차점이다(지도의 구성을 위해 선형 시스템으로 결정된 디비저의 선형 시스템#A 지도 참조).

정합성층 공동호몰로지

X를 들판 위에 투영적인 (또는 더 일반적으로 노에테리아 링 A 위에) 두자. X의 일관성$$ 있는 셰이브 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 코호몰리학은 세레로 인한 다음과 같은 중요한 이론들을 만족시킨다.

1. ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$( ${\displaystyle X\mathcal{}}$, F${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F})}$은 모든 p에 대한 유한 차원 k-벡터 공간이다$$.
2. ($F{\displaystyle \mathcal{}}$ {\displaystyle {\$mathcal$ ${F}$에 따라 달라짐$;$ Castelnuovo-Mumford 정규성 참조) 다음과 같은 정수 n ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ n_{$0}$이 있다.$$
   $${\displaystyle H^{p}(X, {\mathcal {F}(n)=0}$$

   
   for all ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ and p > 0, where ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)}$ is the twisting with a power of a very ample line bundle ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).$$}$

이러한 결과는 사례 $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$까지 이형성을 사용하여 감소하는$$ 것으로 입증된다.

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F})=H^{p}(\mathb {P} ^{r},{\mathcal {F}),p\geq 0}$

여기서 $오른쪽{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\${\$mathcal{F}}$은(는) 0만큼 확장하여 투영 공간에 있는 피복으로 간주된다$$.^[22] 그 다음 $F{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{F}={\mathcal{O}_{\mathb{P}}}}{{R})(n),$ $임의$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 직접 계산이 큰 어려움 없이 이 경우로 줄어든다$$.^[23]

위의 1.에 대한 관상으로서 f가 노메트리안 계략에서 노메트리안 링에 이르는 투영적 형태론이라면, 보다 높은 직접 이미지 R $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$ ${\$}f_${*}{\mathcal{F}}}}$는 일관성이 있다$$. 같은 결과가 적절한 형태변환 f에 대해 유지되는데, 이는 차우의 보조정리 보조로 알 수 있다.

Shheaf cohomology(시프 코호몰로지) 그룹 H는ⁱ 노메테리아 위상학적 우주에서 사라진다. 나는 우주의 치수보다 훨씬 크다. $따라서{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$의 오일러 특성이라고 불리는 수량$,$

${\displaystyle \chi({\mathcal{F}}}=\sum _{i=0}^{\infit }-1)^{i}\dim H^{i}(X, {\mathcal {F})}}}}$

잘 정의된 정수(X 투영용) 그런 다음 합리적인 숫자에 대해 일부 다항식$$ P에 대해 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle F}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$= P${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \chi({\mathcal{F}(n)=P(n)})$를 표시할 수 있다.^[24] 이 절차를 Sheaf $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ 구조에 적용하면 X의 Hilbert 다항식을 복구한다$.$ 특히 X가 불가해하고 치수 r이 있으면 X의 산술 속은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle(-1)^{r}(\chi({\mathcal {O}_{X}-1),}$

내재된 것과 무관하게 내재된 것 입니다.

The arithmetic genus of a hypersurface of degree d is ${\displaystyle {\binom {d-1}{n}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. In particular, a smooth curve of degree d in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ has arithmetic genus ${\displaystyle (d-1)(d-2)/$$2.$ 이것은 속 공식이다$.$

부드러운 투영 품종

X는 수정 불가능한 모든 구성요소가 차원 n을 갖는 매끄러운 투영 품종이 되도록 한다. 이러한 상황에서 상위도(즉 대수학 n-forms)의 케흘러 미분(Kahler differential sheaf)의_X sheaf로 정의되는 정격 sheaf Ω은 선다발이다.

세레 이중성

Serre 이중성은 X의 로컬 무료 $피복{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$F}$에 대해

${\displaystyle H^{i}(X, {\mathcal {F})\simeq H^{n-i}(X, {\mathcal {F}^{\ve }\otimes \omega _{X})}}}}}$

여기서 위첨자 prime은 이중공간을 가리키며 $F{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ $∨{\${\$f}^{\$f}{\$ve}}$은 F$${\$displaystyle {\mathcal{F}}}$의 이중층이다$.$ 투영에 대한 일반화지만 반드시 부드러운 계획은 Verdier duality로 알려져 있다.

리만-로치 정리

(매끄러운) 곡선 X, H² 및 그 이상의 곡선은 치수상의 이유로 사라지며 구조물의 전지구 섹션의 공간은 1차원이다. 따라서 X의 산술 속은 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ H$^{1}(X,{\mathcal{O}_{X})$의 치수$.$ 정의상 X의 기하학적 속은 H⁰(X, Ω_X)의 치수다. 따라서 세레 이중성은 산술 속과 기하 속은 일치한다는 것을 암시한다. 그것들은 단순히 X의 속이라고 불릴 것이다.

세레 이중성은 리만-로치 정리 증명의 핵심 성분이기도 하다. X는 매끈하기 때문에 집단의 이형성이 있다.

${\displaystyle {\begin}\operatorname {Cl}(X)\operatorname {Pic}(X)\\D\mapsto {\mathcal {O}(D)\case}}}}}$

(Weil) divisor modulo principle divisors 그룹부터 라인 번들의 이형성 분류 그룹까지. Ω에_X 해당하는 divisor를 정식 divisor라고 하며 K에 의해 표기된다. l(D)를 H $0{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X\mathcal{}}$, O (${\displaystyle D}$)${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}(D)}$의 치수가 되게 하라$.$ 리만-로치 정리는 다음과 같이 기술한다: 만약 g가 X의 속이라면,

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

모든 디비저 D에 대해 X에 표시해야 한다. 세레 이중성에 의해 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \chi({\mathcal {O}(D)}=\deg D+1-g,}$

그것은 쉽게 증명될 수 있다.^[25] 리만-로치 정리가 보다 높은 차원으로 일반화되는 것은 히르제브루흐-리만-로치 정리와 더불어 멀리까지 도달하는 그로텐디크-리만-로치 정리가 있다.

힐버트 계획

Hilbert는 H의 점들이 X의 닫힌 부분군과 일치한다는 의미에서 투영 체계 X의 모든 폐쇄된 하위 분리를 파라메트리제로 삼는다. 이와 같이 힐버트 체계는 모듈리 공간의 예로서, 즉 점들이 다른 기하학적 물체를 파라메트리하는 기하학적 물체를 말한다. 좀 더 정확히 말하면, 힐버트 체계는 힐버트 다항식이 규정된 다항식 P와 동일한 하위항목을 폐쇄한다.^[26] k에 대해$$ 어떤 k-scheme T에 대해서도 편향(bijection)이 있을 정도로 scheme $H_{X}^{P$}}의^[27] scheme H에 대한 scheme H_{X}^{P$}}}$가 있다는 것은 그로텐디크의 깊은 정리다.

${\displaystyle \{\text{morphism }}{{X}^{P}\}\\\\long leftrightarrow \\\{{\text}}}}}}}}{{{k}text}}}}가 \}P 위에 평평하게 놓였다.\}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ H_{$X}^{P}}$에 해당하는 폐쇄형 서브체임 $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ X ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ H ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$P}}}}}{$P}}}}}}}$는 범용가족이라고 불린다$$.

For ${\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}}$, the Hilbert scheme ${\displaystyle H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}}$ is called the Grassmannian of r-planes in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ and, if X is a projective scheme, ${\displaystyle H_{X}^{P}}$ is X에 있는 r-플레인의 Fano scheme이라 불린다.^[28]

복잡한 투영 품종

이 절에서 모든 대수 품종은 복잡한 대수 품종이다. 복잡한 투영 품종 이론의 주요 특징은 대수법과 분석법의 결합이다. 이러한 이론들 사이의 전환은 다음과 같은 링크에 의해 제공된다: 어떤 복잡한 다항식도 또한 홀모픽 함수이기 때문에, 어떤 복잡한 다양성 X는 X${\displaystyle }$( C $){\displaystyle$ X $(\mathbb {C}}}}}}$로 $표시$된 복잡한 분석 공간을 산출한다$.$ 더욱이 X의 기하학적 $특성$은${\displaystyle }$X (${\displaystyle C\mathbb{}}$ )$${\$displaystyle$ X (\$ma$)의 X)에 의해 반영된다.$thbb {C$ 예를 들어, 후자는 X가 매끄러운 경우에만 복잡한 다지관이며, $X$가 C ${\$에 대해 적절한 경우에만 콤팩트하다$.$

복잡한 Kahler 다지관과의 관계

복잡한 투영 공간은 Kahler 다지관이다. 이는 모든 투영 대수적 품종 X에 대해 $X{\displaystyle }$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle X(\mathb {C} )$가 소형$$ Kahler 다지관임을 의미한다. 그 역은 일반적으로 사실이 아니지만, 고다이라 임베딩 정리는 케흘러 다지관이 투영될 수 있는 기준을 제시한다.

저차원에서는 다음과 같은 결과가 있다.

• (리만) 콤팩트한 리만 표면(즉, 차원 1의 콤팩트한 복합 다지관)은 투영적인 품종이다. 토렐리 정리에 의해 그 자코비안(Jacobian)에 의해 독특하게 결정된다.
• (쵸우코다이라) 두 개의 대수적으로 독립적인 메로모르픽 함수를 가진 차원 2의 콤팩트한 복합 다지관은 투영적인 품종이다.^[29]

가가와 초의 정리

차우의 정리는 분석적 기하학에서 대수적 기하학으로 다른 길을 가는 놀라운 방법을 제공한다. 복잡한 투영 공간의 모든 분석적 하위변수는 대수학이라고 기술하고 있다. 그 정리는 특정한 성장 조건을 만족하는 홀로모르픽 함수가 반드시 대수학이라고 말하는 것으로 해석될 수 있다: "투영적"은 이러한 성장 조건을 제공한다. 정리로부터 다음과 같이 추론할 수 있다.

• 복잡한 투영공간의 메로모르픽 기능은 합리적이다.
• 대수적 품종 사이의 대수적 지도가 분석적 이형성이라면 (알지브라질) 이형성이다. (이 부분은 복잡한 분석에서 기본적인 사실이다.) 특히 초의 정리는 투사 품종 사이의 홀로모픽 지도가 대수라는 것을 암시한다. (이러한 지도의 그래프를 표시한다.
• 투영적 다양성의 모든 홀로모픽 벡터 번들은 독특한 대수적 벡터 번들에 의해 유도된다.^[30]
• 투영 품종의 모든 홀모형 선다발은 칸막이의 선다발이다.^[31]

차우의 정리는 세레의 GAGA 원리를 통해 알 수 있다. 그것의 주요 정리는 다음과 같다.

X를 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 투영적인 계획이 되게 하라$.$ 그러면 X의 일관성 있는 피복과 해당 복합 분석 공간 X의^an 일관성 있는 피복과 연관시키는 펑터가 범주의 동등하다. 게다가 자연지도는

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F})\to H^{i}(X^{\text{an},{\mathcal {F})}}$

모든 i에 대한 등형성 및 모든 일관성 있는 sheaves $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) X에$$ 저장한다.^[32]

콤플렉스 토리 vs 콤플렉스 아벨리안 품종

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 위에 있는 아벨리아 품종 A와 연관된 복합 다지관은 콤팩트 복합 Lie 그룹이다. 이것들은 형태라고 보여질 수 있다.

${\displaystyle \mathb {C} ^{g}/L}$

그리고 복잡한 토리라고도 불린다. 여기서 g는 토러스 치수, L은 격자(주기 격자라고도 한다)이다.

위에서 이미 언급한 통일화 정리에 따르면 차원 1의 어떤 토러스도 차원 1의 아벨리안 다양성, 즉 타원곡선에서 발생한다. 실제로 L에 부착된$$ Weierstrass의 타원 함수 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \wp }$은(는) 특정 미분 방정식을 만족하며, 그 결과 다음과 같이 폐쇄적인 몰입을 정의한다.^[33]

${\displaystyle {\begin{case}\mathb {C} /L\to \mathb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z)\case}}}$

p-adic 아날로그, p-adic 균일화 정리가 있다.

더 높은 차원을 위해, 복잡한 아벨리아 품종과 복잡한 토리의 개념은 다르다: 오직 양극화된 복잡한 토리만이 아벨리아 품종에서 나온다.

고다이라 소멸

근본적인 고다이라 소멸 정리에는 특징 0의 영역에 걸쳐 부드러운 투사 품종 X에 대한$$ 풍성한 선다발 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대해,

${\displaystyle H^{i}(X, {\mathcal {L}\otimes \omega_{X}=0})$

i > 0의 경우, 또는 serre 이중성$$ ${\displaystyle \mathrm{H}}$ $i{\displaystyle {}^{}{\mathrm{X}}^{}}$, ${\displaystyle L^{}{}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal{L}^{-1}=0})$로 동등하게 i < n.^[34] 이 정리의 첫 번째 증명은 케흘러 기하학의 분석 방법을 사용했지만, 나중에 순수하게 대수학적 증명이 발견되었다. 일반적으로 고다이라 소멸은 긍정적인 특성에서 부드러운 투영적 다양성에 실패한다. 고다이라의 정리는 여러 가지 소멸 이론 중 하나로, 높은 층의 코호몰로지들이 소멸할 수 있는 기준을 제시한다. 피복(위 참조)의 오일러 특성은 종종 개별 코호몰로지 그룹보다 관리가 용이하기 때문에, 이것은 종종 투영 품종의 기하학에 중요한 결과를 가져온다.^[35]

관련 개념

• 다중 투영 버라이어티
• 가중 투영 다양성, 가중 투영 공간의^[36] 폐쇄 하위 변수

참고 항목

• 투영공간의 대수적 기하학적 기하학
• 힐버트 계획
• 렙셰츠 하이퍼플레인 정리
• 미니멀 모델 프로그램

메모들

참조

외부 링크

• Charles Sigel의 Hilbert Scheme - 블로그 게시물
• 투영품종 1장