넉넉한 라인 번들

수학에서 대수 기하학의 독특한 특징은 투영적인 다양성의 어떤 선다발은 "양성"으로 간주될 수 있는 반면, 다른 선다발은 "음성"(또는 둘의 혼합물)이라는 것이다.긍정의 가장 중요한 개념은 선다발의 관련 등급이 여러 개 있지만 넉넉한 선다발의 개념이다.대략적으로, 선다발의 긍정성 특성은 많은 글로벌 섹션을 갖는 것과 관련이 있다.주어진 다양한 X에 있는 풍부한 선다발을 이해하는 것은 X를 투사적인 공간에 매핑하는 다양한 방법을 이해하는 것이다.선다발과 디비저의 일치성(코드미션-1 하위분리로 제작)에 비추어 볼 때, 충분한 디비저의 등가 개념이 있다.

좀 더 자세히 설명하면, 선다발은 투사적인 공간에 형태론을 부여하기에 충분한 구간을 가지고 있다면 베이스포인트 프리(basepoint-free)라고 불린다.선다발은 그것의 어떤 긍정적인 힘이 기준점 없는 경우 반-샘플이다; 반-앰플은 일종의 "비부정성"이다.더욱 강하게, X의 선다발은 X의 투사적인 공간에 X의 폐쇄적인 몰입(또는 "임베딩")을 줄 수 있는 충분한 부분을 가지고 있다면 매우 충분하다.약간의 긍정적인 힘이 매우 충분하다면 선다발은 충분하다.

투사성 품종 X에 있는 넉넉한 선다발은 X의 모든 곡선에서 양의 정도를 가진다.그 역은 그다지 사실이 아니지만, 역의 수정판, 나카이-모이셰존, 클레이만(Kleiman)의 증폭 기준 등이 있다.

소개

라인 번들 및 하이퍼플레인 디비저의 풀백

형태론 $f{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$을(를) 고려할$$ 때, Y의 벡터 번들 E(또는 보다 일반적으로 Y의 일관성 있는 피복)는 X, ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$e E$${\$displaystyle f^{*}E}($모듈#Operations의 피복 참조).$$벡터 다발의 풀백은 같은 등급의 벡터 다발이다.특히 선다발의 풀백은 ${\displaystyle {}^{}}$이다.(요컨대 X의 점 X에 있는$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ E ${\displaystyle$ f$^{*}E}$의 섬유는 f(x)에서 E의 섬유다.

이 글에서 설명한 개념은 투영 공간에 대한 형태론의 경우 이 구조와 관련이 있다.

$\displaystyle f\colon X\to \mathb {P} ^{n}}$

E = O(1)를 사용하여 글로벌 섹션이 변수 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에서 도 1의 동종 다항식(즉, 선형 함수)인 투영 공간의 선 번들$.$선다발 O(1)은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 하이퍼플레인과 연결된 선다발이라고도 설명할 수 있다($$O(1) 섹션의 0 세트가 하이퍼플레인이기 때문이다).예를 들어 f가 폐쇄적인 몰입인 경우 풀백 $f{\displaystyle {}^{}}$f ${\displaystyle \mathrm{O}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$^{*}O($1)는 하이퍼플레인 섹션과 연관된 X의 선다발$$($P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이다.$$

기준점 없는 라인 번들

X를 선다발 L로 필드 k(예를 들어 대수적 품종)에 대한 계략이 되게 한다(선다발도 변위 불가능한 칼집이라고도 할 수 있다).${\displaystyle 0_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. .${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) L의 전역 섹션에 있는$$ k-벡터 ${\displaystyle {공간\mathrm{}}^{}}$ $H{\displaystyle {}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}X,}$L )$${\$displaystyle H^{0}(X,$L)의 요소가 되게$$ 한다.각 섹션의 0 세트는 X의 닫힌 부분 집합이다. U는 ${\displaystyle 0_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 중 적어도 하나 이상이 0이 아닌$$ 지점의 열린 부분 집합이 되도록 한다.그리고 이 부분들은 형태론을 정의한다.

${\displaystyle f\colon U\to \mathb {P} _{k}^{n},\x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

자세한 내용: U의 각 지점 x에 대해, L over x의 섬유는 잔류장 k(x) 위에 있는 1차원 벡터 공간이다.이 섬유에 대한 기초를 선택하면 ${\displaystyle 0_{}{}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$ , n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$이(가) 모두 0이 아닌 n+1 숫자 시퀀스로 만들어지고$$ 따라서 투영 공간에 점이 된다.기본 선택을 변경하면 모든 숫자가 동일한 0이 아닌 상수로 척도가 조정되므로 투영 공간의 점은 선택과 무관하다.

더욱이 이 형태론은 L to U의 제한이 풀백 f${\displaystyle {}^{}}f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle f^{*}O($1)에$$이형적이라는 속성을 가지고 있다$.$^[1]

체계 X에 있는 선다발 L의 기본 위치는 L의 모든 전역 섹션의 0 집합의 교차점이다. 선다발 L은 그 기본 거점이 비어 있으면 기준점 없는 것으로 불린다.즉, X의 모든 점 x를 위한 L만약 X는 필드 k에 적절한 것 nonzero인데에 글로벌 섹션, 세계적인 섹션 H0(X, L){\displaystyle H^{0}(X,L) 다음 벡터 공간}유한 차원, 치수를 h0(X, L){\displaystyle h^{0}(X,L)라고 불린다}은 .[2]그래서basepoint-free 라인 다발 나는 데 있다.기rmines a morphism ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$ over k, where ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$, given by choosing a basis for ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$. Without making a choice, this can be described as the morphism

${\displaystyle f\colon X\to \mathb {P}(H^{0}(X,L))}$

X에서 H ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$, L${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$의 하이퍼플레인의 공간으로$,$ 기준점 없는 라인 번들 L과 표준적으로 연관되어 있다.이 형태론은 L이 풀백 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle f^{*}O(1)}$라는 속성을 가지고 있다$.$

반대로, 체계 ${\displaystyle {}^{}}$에서 투영 공간 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ k에 대한 모든 형태론 f의 경우 풀백 라인 번들 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$)$${\$displaystyle$ f$^{*}O$(1)은 기준점이 없다$$$.$실제로 O(1)은$$Pn {\$displaystyle$ \$mathb{P$} ^{$n}}$에 basepoint가 없다$.$ 왜냐하면 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 모든 포인트 y에 대해 y가 포함되지 않은 하이퍼플레인이 있기$$ 때문이다.따라서 X의 모든 포인트 ${\displaystyle {}^{}}$에 대해 P $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 대한 O(1)의 섹션 s가 있으며, s의 풀백은 $($ O${\displaystyle (1}$){\$displaysty f^{*}O$(1$)의$전역 섹션으로, x에 0이 아니다.요컨대, 베이스포인트 프리 라인 번들은 정확히 어떤 형태론에 의해 투사적 공간에 대한 O(1)의 후퇴로 표현될 수 있는 것이다.

Nef, 글로벌 생성, 세미 샘플

k에 대한 적절한 곡선 C에서 선다발 L의 정도는 L의 0이 아닌 합리적 단면 s의 디비저(s)의 정도로 정의된다.이 점수의 계수는 s가 소멸하는 지점에서 양수이고, s가 극을 갖는 지점에서 음수다.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ H ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle C}$, L${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle$ H$^{0}(C,L)\neq 0}$과 같은 곡선 C의 모든 선다발 L은 음의 정도가 아니다$$(합리적인 섹션과는 반대로 L over C의 섹션에는 극이 없기 때문이다.^[3]특히 곡선상의 모든 무점선다발은 음이 아닌 정도를 가진다.결과적으로, 필드 위에 있는 적절한 체계 X에 대한 기준점 없는 선다발 L은 nef이며, 이는 L이 X의 모든 (불확실성) 곡선에서 음의 정도를 가지지 않는다는 것을 의미한다.^[4]

보다 일반적으로, 체계 X의 O ${\displaystyle X_{}}$ ${\$modules의$$ sheaf F는 해당하는 형태론과 같이$$ 글로벌 섹션 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$, F${\displaystyle }$) ${\displaysty s_{i}\in H^{0}(X,F)}$의 set I이 있는 경우 전지구적으로 생성된다고 한다.

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

한 포기의 껍질은 절망적이다.^[5]라인 번들은 기본 지점이 없는 경우에만 전역적으로 생성된다.

예를 들어, 부속문서에 있는 모든 준 일관성 있는 피복은 전세계적으로 생성된다.^[6]이와 유사하게, 복잡한 기하학에서, Cartan의 정리 A는 스타인 다지관의 모든 일관성 있는 피복이 전세계적으로 생성된다고 말한다.

필드 위에 적절한 구조상의 선다발 L은 텐서 파워 ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ r${\$ r$}$이(가) 베이스 포인트가 없는 양의 정수 r이 있는 경우 반샘플이다.세미-샘플 라인 번들은 nef이다(베이스포인트 프리 라인 번들에 대한 해당 사실에 의해).^[7]

매우 넉넉한 라인 번들

필드 k 위에 적절한 체계 X에 있는 선다발 L은 베이스 포인트가 없고 관련 형태론일 경우 매우 충분하다고 한다.

${\displaystyle f\colon X\to \mathb {P} _{k}^{n}}}$

밀폐된 몰입이다.${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$, L${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1$ 동등하게 L이 선다발 O(1)에서 X까지의 제한인 방법으로 k 이상의 어떤 차원의 투영 공간에 X를 삽입할 수 있다면 L은 매우 충분하다.^[8]후자의 정의는 어떤 교환 링 위에 있는 적절한 구조에서 선다발에 대한 매우 증폭성을 정의하는 데 사용된다.^[9]

1961년 알렉산더 그로텐디크에 의해 "매우 풍족함"이라는 이름이 소개되었다.^[10]여러 가지 명칭은 분기의 선형 시스템 맥락에서 일찍이 사용되었었다.

관련 형태론 f가 있는 필드 위에 적절한 체계 X에 대한 매우 충분한 선다발 L의 경우, X의 곡선 C의 L $정도$는 P ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{P}$ ^{$n}}$의 곡선으로서 f(C)의 정도가 된다$.$ 따라서 L은 X의 모든 곡선에 대해 플러스 정도를 가진다(투영 공간의 모든 하위 변이 양도를 가지기 때문이다).^[11]

정의들

정류 링 R 위에 있는 적절한 체계 X에 있는 선다발 L은 텐서 $파워{\displaystyle {}^{}}$ L${\displaystyle r^{}}$ r${\$ r$}}$이 매우 넉넉할$$ 정도로 양의 정수 r이 있으면 충분하다고 한다.^[12]특히, R에 대한 적절한 계획은 그것이 R에 대해 투영될 경우에만 충분한 선다발을 가지고 있다.필드 위에 있는 적절한 체계 X의 충분한 선다발은 X의 모든 곡선에서 매우 선다발에 대한 해당 문장으로 양의 정도를 가진다.

필드 k에 대한 적절한 체계 X에 대한 카르티어 디비저는 해당 선다발 O(D)가 충분할 경우 충분하다고 한다.(예를 들어 X가 k에 대해 매끄러울 경우 카르티어 디비저는 정수 계수를 갖는 X의 폐쇄 코드 1 하위 변수의 유한 선형 조합으로 식별할 수 있다.)

On an arbitrary scheme X, Grothendieck defined a line bundle L to be ample if X is quasi-compact and for every point x in X there is a positive integer r and a section ${\displaystyle s\in H^{0}(X,L^{\otimes r})}$ such that s is nonzero at x and the open subscheme ${\displaystyle \{s\neq 0\}\su$$bset X}$은(는) 아핀이다.^[13]예를 들어 X가 준선인 경우에만 사소한 선다발 $O{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$이(가)^[14] 충분하다$$.이 글의 나머지 부분은 한 분야에 걸친 적절한 계획에 초점을 맞출 것이다.

'매우 넉넉하다'는 개념을 '샘플'로 약화시키면 다양한 특성화를 가진 유연한 개념을 갖게 된다.첫 번째 요점은 어떤 일관성이 있는 피와 함께 풍성한 선다발의 높은 힘을 억눌러 주는 것은 많은 세계적인 부분을 가진 피자를 준다는 것이다.More precisely, a line bundle L on a proper scheme X over a field (or more generally over a Noetherian ring) is ample if and only if for every coherent sheaf F on X, there is an integer s such that the sheaf ${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$ is globally generated for all ${\displaystyle r\geq s}$. Here s mayF에 ^[15][16]의존하다

카탄-세레-그로텐디크 정리라고 알려진 증폭성의 또 다른 특성은 일관성 있는 피복 코호몰로지 측면에서 볼 수 있다.즉, 적절한 체계 X에 있는 선다발 L은 필드(또는 일반적으로 노메트리안 링 위에 있는) 위에 충분한 경우 또는 X에 있는 모든 일관성 있는 sheaf F에 대해 다음과 같은 정수 s가 있다.

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r}=0})$

모든 > ${\displaystyle$ i$>0}$ 및 모든 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r\geq$ s$}$에 대해$.$^[17][16] 특히 풍부한 선다발의 높은 힘은 코호몰리를 양성으로 죽인다.이 함축적 의미는 장 피에르 세레가 1955년 논문 파이소 알제브리크의 공동학위를 통해 입증한 세레 소실 정리라고 불린다.

예/예외

• 양성 차원의 투영 버라이어티 X에 있는$$ 사소한 라인 번들 $O{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 베이스 포인트가 없지만 넉넉하지는 않다.More generally, for any morphism f from a projective variety X to some projective space ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ over a field, the pullback line bundle ${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$ is always basepoint-free, whereas L is ample if and only if the morphism f is finite (that is, all fibers of f have치수 0 또는 비어 있음).^[18]
• 정수 d의 경우, P ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 선다발 O(d) 섹션의 공간은 변수 x,y에서 d의 동종 다항식의 복합 벡터 공간이다$$.특히 이 공간은 d < 0의 경우 0이다.${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle d\geq$ 0$}$의 경우$,$ O(d)가 제공한 투사적 공간에 대한 형태론은

${\daystyle \mathb {P} ^{1}\to \mathb {P} ^{d}}}$

에 의해

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots,y^{d}]}$

This is a closed immersion for ${\displaystyle d\geq 1}$, with image a rational normal curve of degree d in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$. Therefore, O(d) is basepoint-free if and only if ${\displaystyle d\geq 0}$, and very ample if and only if ${\displaystyle d\geq 1}$. It follows that O(d)$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\geq$ 1$\}$인 경우에만 충분하다.

• 예를 들어, "샘플"과 "매우 풍족"이 다른 경우, X는 C 위에 있는 속 1(타원 곡선)의 부드러운 투영 곡선이 되게 하고, p는 X의 복잡한 점이 되게 한다.O(p)를 X의 도 1의 관련 선다발이 되게 한다.그러면 O(p)의 글로벌 섹션의 복잡한 벡터 공간은 p에서 사라지는 섹션에 의해 확장되는 치수 1을 가진다.^[19]그래서 O(p)의 기초 위치는 p와 같다.반면 O(2p)는 베이스 포인트가 없고, O(dp)는 d${\displaystyle 3}$ 3$${\$displaystyle$ d$\geq$3}($$${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle \mathb{p}$^{$d-1})$에 도 d의 타원형 곡선으로 X를 내장하는 것이 매우 충분하다.따라서 O(p)는 넉넉하지만 그리 넉넉하지는 않다.또한 O(2p)는 넉넉하고 기준점이 없지만 그리 넉넉하지 않다; 투영 공간과 연관된 형태론은 래미티드 $더블{\displaystyle }$ 커버 X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$
• 상위 속 곡선의 경우, 모든 글로벌 섹션이 0인 충분한 선다발 L이 있다. (그러나 L의 높은 배수는 정의상 많은 섹션을 가지고 있다.)예를 들어 X는 부드러운 평면 4중곡선($P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$2}}:$C의 정도 4가 되도록 하고 p와 q는 X의 구별되는 복잡한 점이 되도록 한다.$그러면{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$= O${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ -${\displaystyle q}$) ${\displaystyle L=O (2p-q)}$은(는) $충분$하지만 H${\displaystyle {}^{}{0\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle L}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaysty H^{0}(X,L)=0}$이(가)가 된다$.$^[20]

라인 번들의 증폭 기준

교차로이론

투영 버라이어티 X에 주어진 선다발이 충분한지 판단하기 위해서는 (교차로 번호 측면에서) 다음의 수치 기준이 가장 유용한 경우가 많다.X의 Cartier divisor D가 넉넉할 때 묻는 것과 같은 것으로, 관련 라인 번들 O(D)가 넉넉하다는 뜻이다.교차로 번호 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D\cdot C}$은 C로 제한된 선다발 O(D)의 정도로 정의할 수 있다$$.다른 방향에서, 투영 버라이어티의 선다발 L에 대해, 첫 번째 체르노 등급 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle L}$ ) ${\displaystyle c_{1}(L)}$은 L의 0이 아닌 이성적 부분의 구분인 관련 카르티어 구분자(선형 동등성까지 정의됨)를 의미한다$$.

대수적으로 닫힌 필드 k에 대한 부드러운 투영 곡선 X에서, 선다발 L은 ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ $0{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$, L ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle O}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$-${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}}$h ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle }$X , ${\displaystyle L}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ h$^{0}(X,$ L$\otimes O(-x-y))$인 경우에만 매우 풍만하다.$=h^{0}(X,L)-2}$ 모든$$ k-rational 포인트 x,^[21]y in X.g를 X의 속(속)으로 하자.리만-로치 정리에서는 최소 2g+1도 정도의 모든 선다발이 이 조건을 만족하므로 매우 넉넉하다.결과적으로, 곡선의 선다발은 양도가 있는 경우에만 충분하다.^[22]

예를 들어, 원곡선 X의$$ 표준 $번들{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ X$${\$displaystyle K_{X}$는 2g - 2를 $가지므로{\displaystyle }$ g${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle g\geq$ 2$}$일 경우에만 충분하다$.$충분한 표준 번들을 가진 곡선은 중요한 클래스를 형성한다. 예를 들어 복잡한 숫자에 걸쳐, 이것들은 음의 곡률의 지표를 가진 곡선들이다.표준 묶음은 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g\geq$ 2$}$과 곡선이 과대 선전하지 않는 경우에만 매우 넉넉하다.^[23]

그 Nakai–Moishezon 기준(요시카즈 도쿄대 나카이(1963년에서 이름)과 보리스 Moishezon(1964년))주, 만약∫ Yc1(L)한(Y)을은 나는 방과후 적절한 계획 X에 선을 다발 밭에 충분하다;0{\displaystyle \int_{Y}(L)^{{\text{희미한}}(Y)}>0}일 경우를 위해(기약)문을 닫X의 아변종 Y(Y이 전부가 아니다.t부족한 금액o가 요점이 되다.^[24]칸티저 D는 X의 모든 (비0차원) 하위변수 Y에 대해 ) > ${\displaystyle D^{\dim}(Y)}\cdot$ Y$>0}$인 경우에만 충분하다.X의 경우, 이것은 분할자가 양수일 경우에만 충분하다고 말한다.X 표면의 경우, 분절기 D ${\$ D$^{2}}$의 자가 절개 번호 $D2{\displaystyle {}^{}}${\displaystyle D^{2}}가 양이고$$ X의 모든 곡선 C가 > ${\displaystyle D\cdot C>0}$을 갖는 경우에만 D가 충분하다고 기준은 명시한다

클레이만의 기준

클레이만의 기준(1966년)을 진술하려면, X를 한 분야에 걸쳐 투영적인 계획이 되게 하라.Let ${\displaystyle N_{1}(X)}$ be the real vector space of 1-cycles (real linear combinations of curves in X) modulo numerical equivalence, meaning that two 1-cycles A and B are equal in ${\displaystyle N_{1}(X)}$ if and only if every line bundle has the same degree on A and on B.네론-세베리 정리에 의해 실제 벡터 공간 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle N_{1}(X)}$은 유한 치수를 갖는다$$.클레이만의 기준은 $N{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle N_{1}(X)}$에서 곡선 NE(X)의 원뿔 닫힘의 0이 아닌 모든 원소 C에 양도가 있는 경우에만 X의 선다발 L이 충분하다고 명시하고 있다$($L이 모든 곡선에 양도가 있다고 말하는 것보다 약간 강하다).마찬가지로 선다발은 이중 벡터 공간 N ${\displaystyle 1{}^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle N^{1}(X)}$의 클래스가 네프콘 내부에 있는 경우에만$$ 충분하다.^[25]

클레이만의 기준은 일반적으로 한 분야에 걸쳐 적절한(투영적이 아닌) 계획 X에 대해 실패하지만, X가 부드러운지 또는 보다 일반적인 Q-요인인지에 대해서는 유지된다.^[26]

투영 품종의 선다발은 곡선마다 양도가 있으면 엄격히 nef라고 한다.나가타(1959년)와 데이비드 뭄포드는 완전히 네프지만 넉넉하지는 않은 부드러운 투사면에 선다발을 만들었다.이는 조건 ( L) > 0 $(\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$을(를) 나카이-모이스헤존 기준에서 생략할 수 없으며, 클레이만의 기준에서 NE(X)가 아닌 NE(X)의 폐쇄를 사용할 필요가 있음을 보여준다.^[27] 표면의 모든 nef 라인 번들은 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}L{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ≥ 0 ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$을(를$)$ 가지고 있으며, 나가타와 뭄포드의 예는 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( L${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle c_{1$}(L$)^{2$}=0$}$을(을(${\displaystyle 으}$)하고 있다$.$

C. S. Seshadri는 대수적으로 닫힌 영역에 대한 적절한 계략에 있는 선다발 L이 X의 모든 (불가역) 곡선 C에 대해 dg(L ) ≥m(C) εm(C)이 있는 경우에만 충분하다는 것을 보여주었다. 여기서 m(C)은 C 지점에서의 승수의 최대치였다.^[28]

몇 가지 증폭 특성화는 필드 k 위에 있는 적절한 대수적 공간의 선다발에서 더 일반적으로 유지된다.특히 나카이-모이스헤존 기준은 그 일반성에 유효하다.^[29]카르탄-세레-그로텐디크 기준은 노메테리아 링 R에 대한 적절한 대수적 공간을 위해 훨씬 더 일반적으로 유지된다(R에 대한 적절한 대수적 공간이 충분한 선다발을 가지고 있다면, 그것은 사실 R에 대한 투영적인 계획이다). 클레이만의 기준은 X가 매끄러워도 한 분야에 걸친 적절한 대수적 공간 X에 대해서는 실패한다.^[30][31]

증폭 개방성

On a projective scheme X over a field, Kleiman's criterion implies that ampleness is an open condition on the class of an R-divisor (an R-linear combination of Cartier divisors) in ${\displaystyle N^{1}(X)}$, with its topology based on the topology of the real numbers. (An R-divisor is defined to be ample if it can be written as넉넉한 카티어 디비저의 양의 선형 조합)^[32]기본적인 특별한 경우는 다음과 같다: 풍성한 분할자 H와 분할자 ${\displaystyle E}$의 경우, $H{\displaystyle }$+ E ${\displaystyle H+aE}$이(가) b보다 작은 절대값의 모든 실제 번호에 대해 충분할 정도로 양의 실수 b가 있다.정수 계수(또는 선다발)를 가진 칸막이들의 관점에서, 이것은 nH + E가 모든 충분히 큰 양의 정수 n에 충분하다는 것을 의미한다.

증폭도 역시 대수학 계열에서 품종이나 선다발이 변화할 때 전혀 다른 의미로 열린 조건이다.즉, ${\displaystyle f}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$을(를) 적절한 체계 형태론이며$$, L을 X에 선다발이 되게 한다.그런 다음, $섬유{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ y$${\$displaystyle X_{y}$에 L이 넉넉한 Y의 점 집합이 열린다$$(Zariski 토폴로지에서).더 강하게, 만약 L이 하나의 섬유 ${\displaystyle X_{}}$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 풍족하다면$,$ L이 U보다 ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1$(U$ ){\$displaystyle$ f^{-1$}(U)$에 풍족하게 y의 열린 근린 U가 있다.^[33]

클레이만의 다른 증폭 특성

클레이먼은 또한 증폭의 정의와 수치 기준 사이의 중간 단계로 볼 수 있는 증폭의 다음과 같은 특성화를 증명했다.즉, 필드 위의 적절한 체계 X에 있는 선다발 L의 경우, 다음과 같다.^[34]

• L은 넉넉하다.
• For every (irreducible) subvariety ${\displaystyle Y\subset X}$ of positive dimension, there is a positive integer r and a section ${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$ which is not identically zero but vanishes at some point of Y.
• 양의 치수 $Y$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$의 모든 (불가역) 하위 변수에 대해 Y에 대한 L의 힘의 홀로모르픽 오일러 특성은 무한대로 이동한다.

${\displaystyle \chi }$(${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal{L}^{\otimes r})\to \fty$}로 r${\displaystyle }$→$$\[\$displaystyle$ r$\to \fto$ $\}.$

일반화

넉넉한 벡터 번들

로빈 하트쇼른은 F에 있는 하이퍼플레인의 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$$$ $P{\displaystyle \mathbb{}}$ (${\displaystyle F}$) ${\displaystyle$ ${\mathcal{O}(1)$에 선다발 O $){\$displaystyle ${\mathb}$ ($F)$가 충분한 경우 필드 위에 투영 체계 X에 벡터 번들 F를 정의했다.^[35]

풍성한 선다발의 여러 특성은 풍성한 벡터 번들로 확장된다., 만약 F의 높은 대칭을 나는}일관성 있는 볏짚을 단의 모든 i입니다.에{\displaystyle H^{나는}은 cohomology H을 죽인다 예를 들어, 벡터 다발 F;0{\displaystyle i>0}.[36]또한, Chern 수업 cr( 충분한 벡터 다발{\displaystyle c_{r}(F)}는 넓습니다 모든 r-dimensional에 긍정적인 학위를 갖고 있다.subvarieX의 ty, $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle r}$rank ${\displaystyle \text{순위}(F}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}(F$^[37]

빅 라인 번들

특히 혼성 기하학에서 유용한 증폭성의 약화는 큰 선다발의 개념이다.A line bundle L on a projective variety X of dimension n over a field is said to be big if there is a positive real number a and a positive integer ${\displaystyle j_{0}}$ such that ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$ for all ${\displaystyle j\geq j_{0}}$.이는 X의 모든 선다발 L에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ h ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}{X}^{},}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ j${\displaystyle {}^{}}$) $≤$ ${\displaystyle b^{}}$ j {\$displaystyle$ h$^{0}(X,L^{\otimes$ j$}}\leq$ bj$^{n})$이 모든 j > 0에 대해$$ 양수 b가 있다는 점에서 L의 힘 부분 공간에 대해 가능한 최대 증가율이다.^[38]

빅 라인 번들의 특징에는 몇 가지가 더 있다.First, a line bundle is big if and only if there is a positive integer r such that the rational map from X to ${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$ given by the sections of ${\displaystyle L^{\otimes r}}$ is birational onto its image.^[39]또한, L 선 묶음은 넉넉한 선 묶음 A와 유효 선 묶음 B의 텐서 제품인 양의 텐서 파워(${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ H$^{0}(X,B)\neq 0})$를 갖는 경우에만 크다.$$^[40]마지막으로, 선다발은 N ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( $){\displaystyle N^{1}(X)}$의 클래스가 유효 디비저의 원뿔 내부에 있는$$ 경우에만 크다.^[41]

Bigness는 자연적으로 불변하는 증폭의 아날로그로 볼 수 있다.예를 들어,${\displaystyle }f{\displaystyle }$ :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$[\$displaystyle$ f$\colon$ X$\to$Y}가$$ 같은 차원의 부드러운 투사품종 사이의 지배적인 합리적 지도라면, Y에 있는 큰 선다발의 풀백은 X 위에서 크다.(첫눈에 풀백은 X의 열린 부분집합에 있는 선다발일 뿐, 여기서 f는 형태론이지만 이것은 선다.모든 X에)넉넉한 선다발의 경우 유한 형태론에 의한 선다발의 풀백은 충분하다고밖에 말할 수 없다.^[18]

예: X를 투사 평면 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의$$ 블로우업으로 한다.Let H be the pullback to X of a line on ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$, and let E be the exceptional curve of the blow-up ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$. Then the divisor H + E is big but not ample (or even nef) on X, because

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

이러한 부정성은 또한 H + E의 기저 위치(또는 모든 양의 배수)가 E 곡선을 포함한다는 것을 의미한다.사실 이 베이스 로커스는 E와 같다.

상대 증폭도

체계 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ S ${\displaystyle f:X\to S}$의 준중량형 형태론을 고려할 때$,$ X의 변위형 피복 L은 다음과 같은 등가 조건이 충족될 경우 f 또는 f-ample에 비해 충분하다고 한다.^[42][43]

1. $각$ 열린 부속서류 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subset }$ S ${\$$displaystyle$ $U\subset S}$에 대해$$L에서 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}U}$)까지 제한은 충분하다$(일반적$인 의미에서는$).$
2. f is quasi-separated and there is an open immersion ${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$ induced by the adjunction map:

   ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ 0 ${\displaystyle L^{}}$ ${\$}\$to \bigoplus _{0}^{\infully$ }$L^{\otimes$ n$\}\}\}.$

3. 조건 2. "개방" 없이.

${\displaystyle \mathrm{조건}}$ 2는 ${\displaystyle \mathrm{X}}$를 O (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= L ${\displaystyle {\mathcal{O}(1)=L}($적절한 계획만이 아니라)로 투영적인 계획으로 공개적으로 압축할 수 있다고 (거의) 말한다.

참고 항목

일반 대수 기하학

• 투영공간의 대수적 기하학적 기하학
• 파노 버라이어티: 표준 번들이 반샘플인 품종
• 마츠사카의 큰 정리
• 분점 계획: 선다발 다발을 풍부하게 허용하는 계획

복합 기하학에서의 증폭도

• 홀로모르프 벡터 번들
• 고다이라 임베딩 정리: 콤팩트한 복합 다지관 위에서 증폭과 긍정이 일치한다.
• 고다이라 소멸 정리
• Lefschez 하이퍼플레인 정리: 복잡한 투영 버라이어티 X의 풍부한 디비저는 위상학적으로 X와 유사하다.

메모들

참조

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• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8: 5–222. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.
• Hartshorne, Robin (1970), Ample Subvarieties of Algebraic Varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 156, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0067839, ISBN 978-3-540-05184-8, MR 0282977
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Kleiman, Steven L. (1966), "Toward a numerical theory of ampleness", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 84 (3): 293–344, doi:10.2307/1970447, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970447, MR 0206009
• Kollár, János (1990), "Projectivity of complete moduli", Journal of Differential Geometry, 32, doi:10.4310/jdg/1214445046, MR 1064874
• Kollár, János (1996), Rational curves on algebraic varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positivity in algebraic geometry (2 vols.), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471
• Nagata, Masayoshi (1959), "On the 14th problem of Hilbert", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 81 (3): 766–772, doi:10.2307/2372927, JSTOR 2372927, MR 0154867

외부 링크

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project