렙셰츠 하이퍼플레인 정리

수학에서, 특히 대수 기하학과 대수 위상에서, 렙체츠 하이퍼플레인 정리는 대수적 다양성의 형태와 그 하위 분리의 형태 사이의 어떤 관계에 대한 정밀한 진술이다.보다 정확히 말하면, 정리는 투영 공간과 하이퍼플레인 섹션 Y에 포함된 다양한 X에 대해 X의 호몰로지, 코호몰로지, 호모토피 그룹들이 Y의 것을 결정한다고 말한다.이런 종류의 결과는 복잡한 대수학 변종의 호몰로지 그룹에 대해 솔로몬 렙체츠에 의해 처음으로 언급되었다.그 후 호모토피 집단, 양성 특성, 그리고 다른 호몰로지 및 코호몰로지 이론에서도 유사한 결과가 발견되었다.

하드 렙체츠 정리의 광범위한 일반화는 분해 정리에 의해 주어진다.

복잡한 투영 품종을 위한 렙쉐츠 하이퍼플레인 정리

X를 CP의^N n차원 복합적 투영 대수적 다양성으로 하고, Y를 U = X y Y가 매끄러울 정도로 X의 하이퍼플레인 섹션으로 한다.렙체츠 정리(Lefschez organization)는 다음 문장 중 하나를 가리킨다.^[1][2]

1. 단일 호몰로지에서의 자연지도 H_k(Y, Z) → H_k(X, Z)는 k < n - 1에 대한 이형성이며 k = n - 1에 대해서는 굴절적이다.
2. 단수 코호몰로지에서의 자연지도 H^k(X, Z) → H^k(Y, Z)는 k < n - 1의 이형성이며 k = n - 1의 주입성이다.
3. 자연지도 π_k(Y, Z) → π_k(X, Z)는 k < n - 1에 대한 이형성이며 k = n - 1에 대해서는 굴절적이다.

긴 정확한 순서를 사용하면 이러한 각각의 진술이 특정 상대적 위상학적 불변성의 소멸 정리와 동등하다는 것을 보여줄 수 있다.순서는 다음과 같다.

1. 상대적 단일 호몰로지 그룹 H_k(X, Y, Z)는 $k{\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle k\leq n-1}$에 대해 0이다$.$
2. 상대적 단수 코호몰로지 그룹 H^k(X, Y, Z)는 $k{\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle k\leq n-1}$에 대해 0이다$.$
3. 상대 호모토피 그룹 π_k(X, Y)은 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\leq n-1}$의 경우 0이다$.$

렙셰츠 증거

솔로몬 렙체츠는^[3] 렙체츠 연필에 대한 자신의 생각을 정리를 증명하는 데 사용했다.그는 하이퍼플레인 섹션 Y만을 고려하기보다는 하이퍼플레인 섹션 Y의_t 패밀리에 넣었는데, 여기서 Y = Y₀. 일반 하이퍼플레인 섹션이 매끄러우므로 Y의_t 한정된 수를 제외한 모든 것이 매끄러운 품종이다.이러한 점을 t-평면에서 제거하고 추가적인 유한한 수의 슬릿을 만든 후, 결과적인 하이퍼평면 섹션의 패밀리는 위상학적으로 하찮은 것이다.즉, 그것은 t-평면의 개방된 부분집합이 있는_t 일반 Y의 산물이다.따라서 X는 슬릿과 단수 지점에서 하이퍼플레인 섹션이 어떻게 식별되는지 이해한다면 이해할 수 있다.단수점에서 벗어나 식별을 유도적으로 설명할 수 있다.단수점에서, Morse 보조정리기는 특히 단순한 형태의 X에 대한 좌표계의 선택이 있음을 암시한다.이 좌표계는 정리를 직접 증명하는 데 사용될 수 있다.^[4]

안드레오티와 프랭켈의 증거

알도 안드레오티와 테오도르 프랑켈은^[5] 렙체츠의 정리가 모스 이론을 이용하여 다시 이루어질 수 있다는 것을 인식했다.^[6]여기서 매개변수 t는 모스 함수의 역할을 한다.이 접근방식의 기본 도구는 안드레오티-프랑켈 정리인데, 복합 치수 n(따라서 실제 치수 2n)의 복잡한 부속품 다양성이 (실제) 치수 n의 CW 복합체의 호모토피 타입을 가지고 있다고 기술하고 있다.이것은 X에서 Y의 상대적 호몰로지 그룹이 n보다 더 작은 정도라는 것을 암시한다.그리고 상대적 호몰로리의 긴 정확한 순서는 정리를 한다.

Thom's and Bott의 교정쇄

렙체츠의 증거도, 안드레오티와 프랑켈의 증거도 호모토피 그룹에 대한 렙체츠 하이퍼플레인 정리를 직접적으로 암시하지는 않는다.1957년 이전에 레네 톰이 발견한 접근법은 1959년 라울 보트에 의해 단순화되었다.^[7]Thom과 Bott는 Y를 선다발 부분의 X에서 사라지는 중심점으로 해석한다.이 절에 Morse 이론을 적용하면 치수 n 이상의 셀과 인접하여 Y로부터 X를 구성할 수 있다는 것을 의미한다.이로부터 X에서 Y의 상대적 호몰로지 및 호모토피 집단이 n 도 이상에 집중되어 정리를 산출하는 것으로 이어진다.

고다이라와 스펜서의 호지 그룹 증거

고다이라 구니히코와 도널드 C. 스펜서는 특정 제한 하에서 호지 그룹 H에^p,q 대해 렙체츠 타입의 정리를 증명할 수 있다는 것을 발견했다.특히, ${\displaystyle Y}$가 매끄럽다고 가정하고 ${\displaystyle {선다발}_{}}$ O${\displaystyle {}_{}}$X${\displaystyle }$(Y $){\displaystyle {\mathcal{O}$_{$X}(Y)}$가 충분하다고$$ 가정한다.그리고 그 제한 map Hp,q(X)→ Hp,q(Y)는 유질 동상 만약 p+q<>n− 1이고injective 만약 p+q)n− 1.[8][9]으로써 호지 이론, 이cohomology 그룹은이 동일하게sheaf cohomology 그룹 Hq({\displaystyle H^{q}(X,\textstyle\bigwedge ^{p}\Omega_{X})}과 Hq(Y,⋀ pΩ Y). {\displaysty$le H^{q}(Y,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{Y})}$. Therefore, the theorem follows from applying the Akizuki–Nakano vanishing theorem to ${\displaystyle H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X} _{Y})}$ and using a long exact sequence.

이 증거를 범용 계수 정리와 결합하면 특성 0의 어떤 분야에서든 계수를 가진 코호몰로지(cohomology)에 대해 거의 일반적인 렙체츠 정리를 산출한다.그러나 Y에 대한 추가적인 가정 때문에 약간 약하다.

Artin과 Grotendieeck의 시공 가능한 조각에 대한 증거

마이클 아르틴과 알렉산더 그로텐디크는 렙쉐츠 하이퍼플레인 정리의 일반화를 발견했는데, 코호몰로지 계수가 한 필드가 아니라 구성 가능한 피복에 놓여 있는 경우였다.그들은 어핀 버라이어티 U의 구성 가능한 피복 F의 경우, 호몰로지 그룹 ${\displaystyle H^{}}$ $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}U,}$ F${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ H$^{k}(U,F)}$는 k> ${\displaystyle k>n}$이^[10]가) 사라질 때마다 사라진다는$$ 것을 증명한다.

다른 코호몰로지 이론의 렙체츠 정리

Artin과 Grotendieck가 시공 가능한 칼집에 대한 증거를 제시하게 된 동기는 étale과 ${\displaystyle \ell$} -adic$$ cohomology의 설정에 적응할 수 있는 증거를 제시하기 위해서였다.시공 가능한 피복에 대한 일부 제한까지, 렙체츠 정리는 긍정적인 특성에서 시공 가능한 피복에 대해 사실로 남아 있다.

그 정리는 교차로 호몰로지에도 일반화될 수 있다.이 설정에서, 그 정리는 매우 단수적인 공간을 유지한다.

렙슈츠형 정리도 피카르 집단을 위한 것이다.^[11]

하드 렙체츠 정리

Let X be a n-dimensional non-singular complex projective variety in ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$. Then in the cohomology ring of X, the k-fold product with the cohomology class of a hyperplane gives an isomorphism between ${\displaystyle H^{n-k}(X)}$ and ${\displaystyle H^{n+k}$$(X)}$.

이것은 그로텐디크가 테오렘 드 렙체츠 바케로 더 구어적으로 프랑스어로 세례한 하드 렙체츠 정리다.^[12][13]그것은 즉시 렙체츠 하이퍼플레인 정리의 주입성 부분을 내포한다.

하드 렙체츠 정리는 사실 어떤 콤팩트한 케흘러 다지관을 가지고 있는데, 데 람 코호몰로지에서는 케흘러 형태의 등급의 힘에 의해 곱셈에 의해 주어지는 이형성을 가지고 있다.비 Kahler 다지관의 경우 실패할 수 있다. 예를 들어, Hopf 표면은 두 번째 공동 호몰로지 그룹을 가지고 있기 때문에 하이퍼플레인 섹션의 두 번째 공동 호몰로지 클래스의 아날로그가 없다.

$하드{\displaystyle }$ 렙체츠 정리는 피에르 들랭(1980)에 의해 대수적으로 닫힌 양성 특성 분야보다 부드러운 투영 변종의 of ${\displaystyle \ell}$ -adic$$ 코호몰로지용으로 증명되었다.

참조

참고 문헌 목록

• Andreotti, Aldo; Frankel, Theodore (1959), "The Lefschetz theorem on hyperplane sections", Annals of Mathematics, Second Series, 69: 713–717, doi:10.2307/1970034, ISSN 0003-486X, MR 0177422
• Beauville, Arnaud, The Hodge Conjecture, CiteSeerX 10.1.1.74.2423
• Bott, Raoul (1959), "On a theorem of Lefschetz", Michigan Mathematical Journal, 6 (3): 211–216, doi:10.1307/mmj/1028998225, MR 0215323, retrieved 2010-01-30
• Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil. II", Publications Mathématiques de l'IHÉS (52): 137–252, ISSN 1618-1913, MR 0601520
• Griffiths, Phillip; Spencer, Donald C.; Whitehead, George W. (1992), "Solomon Lefschetz", in National Academy of Sciences, Office of the Home Secretary (ed.), Biographical Memoirs, vol. 61, The National Academies Press, ISBN 978-0-309-04746-3
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positivity in algebraic geometry. I, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 48, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, MR 2095471
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (in French), Paris: Gauthier-Villars 다시 인쇄됨
• Milnor, John Willard (1963), Morse theory, Annals of Mathematics Studies, No. 51, Princeton University Press, MR 0163331
• Sabbah, Claude (2001), Théorie de Hodge et théorème de Lefschetz « difficile » (PDF), archived from the original (PDF) on 2004-07-07
• Voisin, Claire (2003), Hodge theory and complex algebraic geometry. II, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 77, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511615177, ISBN 978-0-521-80283-3, MR 1997577