표준 번들

수학에서, 필드 위에 놓인$$ 차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 비성수 대수학 $품종{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$의 표준 번들은 ${\displaystyle \Omega {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle \Omega }$ = Ω ${\displaystyle \,\!$$\Oomega ^{n}=\omega$ $\},$ V에 있는 코탄젠트 번들 Ω의 n번째 외부 전력이다.

복잡한 숫자에 걸쳐, 그것은 V에 있는 홀로모르픽 n-forms의 결정인 묶음이다.이것은 V의 Sere duality를 위한 dualizing object 입니다.그것은 똑같이 돌이킬 수 없는 껍질로 간주될 수 있다.

표준 등급은 표준 번들을 발생시키는 V에 있는 카르티에 디비저 K의 디비저 등급이다. 즉, V에 대한 선형 등가 등급이며, 그 안에 있는 디비저는 모두 시니컬 디비저라고 할 수 있다.항미란 K 표준이 있는 모든 칸막이 -K이다.

항암다발은 그에 상응하는 역다발 Ω이다⁻¹.뷔의 항암다발이 풍성할 때 뷔를 파노 품종이라고 부른다.

부속식

X가 매끄러운 품종이고 D가 매끄러운 구분선이라고 가정하자.부속 공식은 X와 D의 표준 번들과 관련이 있다.그것은 자연스러운 이형성이다.

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal{O})(D)).}$

표준계급에 있어서는 그렇다.

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D) _{D}$

이 공식은 대수 기하학에서 가장 강력한 공식 중 하나이다.현대의 혼혈 기하학의 중요한 도구는 결합의 역행이다. 이것은 D의 특이점으로부터 X의 특이점에 대한 결과를 추론할 수 있게 해준다.

단수 케이스

단수 품종 $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$에서는 표준 구분자를 정의하는 여러 가지 방법이 있다$.$품종이 정상이면 코디네이션 원에서는 매끄럽다.특히 매끄러운 로커스에 표준적인 디비저를 정의할 수 있다.이것은 $우리$에게$$X {\$displaystyle$ X$}$의 독특한 Weil divisor 클래스를 제공한다. $X{\displaystyle }$$.$${\displaystyle$ X$.}$에서 정식 divisor로 언급되는 것은$$ ${\displaystyle K_{}}$ X ${\$ $K_$${X}$가 가리키는 이 클래스다.

또는 일반 품종 $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ X$}$에서 h${\displaystyle {}^{}}$- d${\displaystyle {}^{}{\Omega }^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ . )$$dstyle $h^{-d}(\omega _{X}^{\$$d$})를 고려할 수 있다$.$$\}\},$ $X{\displaystyle }$ ${\dapplaystyle X}$의 정규화된 이원화 복합체의${\displaystyle }$- d ${\d}$'ththth cohomology$\text{'}.$ 이 피복은 위에서$$ 정의한 분할자 클래스 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$와 동일한 Weil divisor 클래스에 해당한다.정규성 가설이 없는 경우, $차원{\displaystyle }$1에서 X {\$displaystyle$ X$}$이(가) S2이고$$ 고렌슈타인일 경우 동일한 결과가 유지된다.

표준 지도

표준 클래스가 효과적이라면 V에서 투사적 공간으로의 합리적인 지도를 결정한다.이 지도를 표준지도라고 한다.규범계급의 n번째 배수로 결정된 합리적 지도가 n-캐논계 지도다.n-캐논적 지도는 V를 표준적 등급의 n번째 배수의 글로벌 섹션의 치수보다 1 작은 치수의 투영적 공간으로 보낸다. n-캐논적 지도는 어디에서나 정의되지 않는다는 것을 의미하는 기준점을 가질 수 있다(즉, 그것들은 다양성의 형태론이 아닐 수도 있다).그들은 양차원 섬유를 가지고 있을 수 있으며, 0차원 섬유를 가지고 있다고 하더라도 국소 분석 이형성일 필요는 없다.

표준 곡선

가장 잘 연구된 사례는 곡선의 경우다.여기서 표준다발은 (홀모픽) 코탄젠트다발과 같다.따라서 표준 번들의 글로벌 섹션은 어디에나 있는 규칙적인 미분 형태와 동일하다.고전적으로 이것들은 제1종류의 미분이라고 불렸다.속 g의 곡선에 대한 정관 등급의 정도는 2g - 2이다.^[1]

저속

C가 속 g의 부드러운 대수 곡선이라고 가정하자.g가 0이면 C가 P가¹ 되고, 표준 등급은 -2P 등급이며, 여기서 P는 C의 어떤 지점이다.이는 미적분 공식 d(1/t) = -dt/t², 예를 들어 리만 구체의 무한대에 있는 지점에 이중극이 있는 공형 미분에서 나타난다.특히 K와_C 그 배수는 효력이 없다.g가 하나라면 C는 타원형 곡선이고 K는_C 사소한 묶음이다.사소한 번들의 글로벌 섹션은 1차원 벡터 공간을 형성하므로, n에 대한 n-캐논적 지도가 어느 지점에 대한 지도가 된다.

과대망상 케이스

C가 2개 이상의 속(속)을 가지고 있다면, 표준계급은 크기 때문에, 어떤 n-캐논학지도의 이미지는 곡선이다.1캐논적 지도의 이미지를 표준곡선이라고 한다.g의 표준 곡선은 항상 g - 1차원의 투사 공간에 위치한다.^[2]C가 과대망상곡선일 때, 표준곡선은 합리적인 정규곡선이고, C는 표준곡선의 이중커버가 된다.예를 들어 P가 (반복된 루트가 없는) 도 6의 다항식인 경우

y² = P(x)

속 2 곡선의 어핀 곡선 표현이며, 반드시 과대망상이며, 제1종류의 미분류의 기초는 다음과 같은 기호로 주어진다.

dx/suppetP(x), x dx/suppetP(x)

이것은 표준지도가 투사선에 대한 형태론으로서 동종 좌표[1: x]에 의해 주어진다는 것을 의미한다.상위 속 과급 곡선에 대한 합리적인 정규 곡선은 x의 높은 검정력 단원형에서 동일한 방식으로 발생한다.

일반사례

그렇지 않으면 g가 최소 3이라는 것을 의미하는 비하이프렐립틱 C의 경우 형태론은 2g - 2의 도인 C의 이미지와 함께 C의 이형성이다.따라서 g = 3의 경우 표준 곡선(하이프렐립틱이 아닌 경우)은 사분면 곡선이다.모든 비음속 평면 사중주는 이런 방식으로 발생한다.표준 곡선이 사분면과 입방면의 교차점인 경우 사례 g = 4에 대한 명시적 정보가 있고, 3사분위의 교차점인 경우 g = 5에 대한 명시적 정보가 있다.^[2]리만-로치(Riemann-Roch) 정리의 상각인 역이 있다: 차원 g - 1의 투영 공간에 내장된 속 g의 비성수곡선 C는 선형 정규 곡선으로, 그 선형 범위가 전체 공간인 경우 표준 곡선이 표준 곡선이다.사실 표준곡선 C(최소 g의 비하이프렐립틱의 경우)와 리만-로치, 특수분점 이론의 관계는 오히려 가깝다.구별되는 점들로 구성된 C의 유효 구분자 D는 그들이 이동하는 선형 시스템의 그것과 직접 관련된 치수를 갖는 표준 내장형에서 선형 범위를 가지고 있다. 그리고 더 많은 논의와 함께 이것은 또한 승수가 있는 점의 경우에도 적용된다.^[3][4]

g의 더 큰 값에 대해서는 보다 정밀한 정보를 이용할 수 있지만, 이러한 경우에 표준 곡선은 일반적으로 완전한 교차점이 아니며, 서술에는 역행 대수학에 대한 더 많은 고려가 필요하다.막스 노에더의 정리로부터 시작된 분야: 정관곡선처럼 내장되어 있는 C를 통과하는 4각형의 공간의 치수는 (g - 2)(g - 3)/2이다.^[5]종종 이 이름으로 인용되고 1923년에 칼 페트리(1881–1955)가 발표한 페트리의 정리에서는 g = 6일 때 (a) 삼각곡선과 (b) 비성격 평면 5중분위의 경우를 제외하고 적어도 g 4의 경우 표준곡선을 정의하는 동질적 이상이 도 2의 원소에 의해 생성된다고 기술하고 있다.예외적인 경우에 이상은 2도, 3도 원소에 의해 생성된다.역사적으로 말해서 이 결과는 페트리 이전에 크게 알려져 있으며, 배비지-치시니-엔크(교정을 이수한 데니스 배비지에게는 오스카 치시니, 페데리고 엔리케스)의 정리라고 불려왔다.그 결과를 노에더-엔크 정리라고도 부르기 때문에 용어는 혼란스럽다.과대망상 사례 밖에서, 노에더는 (현대 언어에서) 일반적으로 표준 번들이 생성된다는 것을 증명했다:^[6][7] 표준 번들 지도 부분의 공간의 대칭적인 힘이다.이는 예를 들어 1종류의 차이에 의한 곡선상의 2차적 차이의 생성을 의미하며, 이는 국부적인 토렐리 정리에 영향을 미친다.^[8]페트리의 연구는 실제로 이상에 대한 명시적인 2차 및 입방형 생성기를 제공했는데, 예외를 제외하고 큐빅이 4차원으로 표현될 수 있다는 것을 보여준다.예외적인 경우 표준 곡선을 통한 사분면의 교차점은 각각 지배 표면과 베론 표면이다.

이러한 고전적인 결과는 복잡한 숫자에 걸쳐 증명되었지만, 현대적인 논의는 그 기법이 어떤 특징의 분야에서도 작용한다는 것을 보여준다.^[9]

표준 반지

V의 정식 링은 등급이 매겨진 링이다.

${\dplaystyle R=\bigoplus _{d=0}^{\nothy }H^{0}(V,K_{V}^{d})).}$

만약 V의 표준 클래스가 충분한 선다발이라면, 표준 링은 표준 지도 이미지의 균일한 좌표 링이다.이는 V의 정식 등급이 넉넉하지 않을 때에도 사실일 수 있다.예를 들어, V가 과대망상 곡선인 경우, 표준 링은 다시 표준 지도 이미지의 균일한 좌표 링이다.일반적으로 위의 링이 미세하게 생성되는 경우, k는 충분히 분할할 수 있는 양의 정수인 k-캐논적 지도 영상의 균일한 좌표 고리임을 확인하는 것이 초등적이다.

미니멀 모델 프로그램은 모든 매끄럽고 순한 독특한 투사 품종의 표준 링이 정밀하게 생성될 것을 제안했다.특히 이는 V를 불어 떨어뜨려 구성할 수 있는 경미한 특이점을 가진 V의 특정한 혼성 모델의 존재를 암시하는 것으로 알려져 있었다.정식 링이 미세하게 생성되면 정식 모델은 정식 링의 Proj가 된다.만약 정식 링이 미세하게 생성되지 않는다면 Proj R은 품종이 아니므로 V와의 혼혈이 될 수 없으며, 특히 V는 정식 모델을 인정하지 않는다.

2006년부터의^[10] 비르카-카시니-하콘-맥케르난의 근본적인 정리는 부드럽거나 다소 특이하게 투사적인 대수적 다양성의 표준적인 고리가 정밀하게 생성된다는 것이다.

V의 고다이라 치수는 표준 반지 마이너스 1의 치수를 말한다.여기서 표준 링의 치수는 Krull 치수 또는 초월 정도를 의미하도록 취할 수 있다.

참고 항목

• 혼성 기하학
• 미분형

메모들