교차로번호

수학에서, 특히 대수 기하학에서 교차로 번호는 두 곡선이 더 높은 차원에 교차하는 횟수를 세고, 다중(2개 이상) 곡선을 곱하고, 접선을 적절히 회계처리하는 직관적 개념을 일반화한다.베주트의 정리처럼 결과를 진술하기 위해서는 교차로 번호의 정의가 필요하다.

교차로 번호는 x축과 y축의 교차로 등 특정한 경우에 명백하다.접선 지점에서 교차점을 계산할 때 복잡도가 입력되고 양차원 세트를 따라 교차점이 계산된다.예를 들어, 평면이 선을 따라 표면에 접하는 경우, 선을 따라 교차하는 숫자는 적어도 2가 되어야 한다.이 문제들은 교차로 이론에서 체계적으로 논의된다.

Riemann 표면 정의

X를 리만 표면으로 하자.그러면 X에 있는 두 개의 닫힌 곡선의 교차점 번호는 적분 측면에서 단순한 정의를 갖는다.X의 모든 닫힌 곡선($즉{\displaystyle }$, 부드러운 함수 c${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ → X $displaystyle c:$$S^{1}\x}),$ 콤팩트 서포트의$$ 차등 형식 ${\$을(를) X를 통한 통합으로 계산할 수 있는 속성과 연결할 수 있다.

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$, for every closed (1-)differential ${\displaystyle \alpha }$ on X,

여기서 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge}$은(는) 미분류의 쐐기 제품이며, $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$은(는) 호지 별이다.그런 다음 X에서 두 개의 닫힌 곡선(a와 b)의 교차점 번호는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$.

$\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$는 다음과 같은 직관적인 정의를 가지고 있다$$.그것들은 c 곡선을 따라가는 일종의 디락 델타인데, c에서 1에서 0으로 떨어지는 단위 스텝 함수의 차등을 취함으로써 달성된다.좀 더 공식적으로, 우리는 X의 단순한 닫힌 곡선 c를 정의하는 것으로 시작하는데, 함수 f는_c $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$을(를) 고리 모양의 c 주위에 작은 띠가 되게$$ 함으로써 시작한다.Name the left and right parts of ${\displaystyle \Omega \setminus c}$ as ${\displaystyle \Omega ^{+}}$ and ${\displaystyle \Omega ^{-}}$. Then take a smaller sub-strip around c, ${\displaystyle \Omega _{0}}$, with left and right parts ${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$ and ${\displaystyle }$${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$그런_c 다음 f 정의 기준

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$.

그런 다음 정의는 임의의 닫힌 곡선으로 확장된다.${\displaystyle \underset{}{\overset{}{X}}}$의 모든 닫힌 곡선 c는 일부 단순 닫힌 곡선 c에_i 대해$$ $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ i ${\$에 대해 동일하다.

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$, for every differential ${\displaystyle \omega }$.

${\displaystyle {다음}_{}}$을 $기준$으로 {$$c {\$displaystyle \eta _{$c$$} 정의

${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{c}}{}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{N}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {{\eta }_{}}_{}}$ ${\displaystyle {c{}_{}}_{}}$ ${\$ \eta $\eta$ _{$c}=\$sum $}{i=1}^{n}k_{i}\eta _{c_{i$

대수품종 정의

대수적 변종의 경우 통상적으로 건설적인 정의는 단계별로 진행된다.아래 주어진 정의는 비정규적 다양성 X의 디비저의 교차점 수에 대한 것이다.

보편적 위치에 가새표를 하다에서 구체적으로 있hypersurfaces(X의 여차원 하나의 subvarieties)1. 직접적인 정의로부터 계산될 수 있는 유일한 교차로 번호는 교차로, 우리는 비특이한 다양한 X이 있다고 가정하고, nhypersurfaces Z1,...,이 아연,..., 지역 방정식 f1이 x근처 다항식 파일을 2(t1,. ..., tn() 다음과 같이 유지된다.

• ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle {\dim }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$.
• ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ i에 대해$$ 0 ${\displaystyle f_{i}(x)=0}($즉, x는 하이퍼서페이스의 교차점에 있음)
• ${\displaystyle {\dim }_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\dim \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}($즉, 구분자는 일반 위치에 있음)
• $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 x에서 비경상적이다$$.

그런 다음 x 점에서의 교차로 번호(x에서 교차로 다중성이라고 함)는

${\displaystyle (Z_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) x ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {딤}_{}}$ ${\displaystyle k_{}{\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$X , ${\displaystyle x_{}}$/ ( ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ) ${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n}}}_{x}}}}}}=\dim$_{$k}{x}}/(f_{1},dots,f_{n$}}}}), ,f_{n}}}},f_{n}},{n$},{$n$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\},.$

여기서 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 x에서 X의 로컬 링이며$$ 치수는 k-벡터 공간으로서의 차원이다.국산화 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {}_{m_{}}}$ x ${\$로 계산할 수 있으며$,$ 여기서 ${\displaystyle m_{}}$ x ${\$는 x에서 소멸되는 다항식의 최대 이상이며, U는 x가 들어 있고_i f의 특이점이 하나도 들어 있지 않은 개방형 아핀 집합이다.

2. 일반 위치에 있는 하이퍼스페이스의 교차로 번호는 각 교차로에서 교차로 번호의 합으로 정의된다.

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n}}=\sum _{x\in \cap_{i}}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}}}}}}}$

3. 정의를 선형성에 의해 유효 분열로 확장한다. 즉,

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$ and ${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})}$.

4. 일부 유효 구분자 P와 N에 대해 모든 구분자가 D = P - N이라는 고유한 식을 가지고 있다는 것을 알아채고 일반 위치에 있는 임의 구분자로 정의를 확장한다. 따라서 D_i = P - N으로_ii 하고, 형식의 규칙을 사용한다.

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n}=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n}-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

교차로 변환.

5. 그 다음 임의의 칸막이의 교차번호는 일반적인 위치에 있는 선형 등가 칸막이를 찾을 수 있음을 보증하는 "조우의 움직이는 보조정리"를 사용하여 정의되며, 그 다음에는 교차할 수 있다.

교차로 번호의 정의는 이 번호의 계산에 구분자가 나타나는 순서에 따라 달라지지 않는다는 점에 유의하십시오.

세레의 토르 공식

V와 W를 dim(V)+dim(W)=dim(X)과 같이 비정규 투영형 X의 두 하위변수로 한다.그러면 우리는 교차점 VwW가 유한한 점 집합이 될 것으로 예상한다.우리가 그것들을 세려고 노력한다면, 두 종류의 문제가 발생할 수 있다.첫째, V∩W의 예상 치수가 0이더라도 실제 교차점은 큰 치수가 될 수 있다.예를 들어, 투영 평면에서 투영 선의 자기 절개 번호를 찾을 수 있다.두 번째 잠재적 문제는 교차점이 0차원이더라도 비횡단일 수 있다는 점이다.예를 들어, V는 평면 곡선 W에 대한 접선 선일 수 있다.

첫 번째 문제는 위에서 상세히 논한 교차 이론의 체계를 필요로 한다.중요한 아이디어는 움직이는 보조정리기를 사용하여 보다 편리한 하위분리로 V와 W를 대체하는 것이다.반면에 두 번째 문제는 V나 W를 움직이지 않고 직접 해결할 수 있다. 1965년 장-피에르 세레는 각 교차로 점의 다중성을 찾는 방법을 역학대수와 동학대수의 방법으로 기술했다.^[1]교차로에 대한 기하학적 개념과 파생된 텐서 제품의 동질적 개념 사이의 연결은 영향을 미쳤으며, 특히 교호적 대수학에서 몇 가지 동질적 추측으로 이어졌다.

세레의 토르 공식은 다음과 같은 결과물이다.X를 정규 품종, V와 W 2개의 보완 차원으로 VvarW가 0차원이다.임의의 포인트 x∈V∩W의 경우, A를 x의 로컬 링 ${\displaystyle {OX}_{}}$, x ${\$이(가) 되도록 한다.x에서 V와 W의 구조는 이상 I, J,A에 해당한다.그러면 지점 x에서 V∩W의 다중성은

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infit }-(1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A,A/J)}}}}}$

여기서 길이는 로컬 링 위에 있는 모듈의 길이이며, Tor는 Tor functor이다.V와 W를 가로 위치로 이동할 수 있을 때, 이 호몰로지 공식은 예상 답을 산출한다.따라서 예를 들어, V와 W가 x에서 횡방향으로 만난다면, 다중성은 1이다.V가 점 x의 평면에서 포물선 W에 대한 점 x의 접선 선인 경우, x에서의 승수는 2이다.

예를 들어, V와 W가 모두 비정형인 경우처럼 정규 시퀀스에 의해 국소적으로 잘린 경우 위의 공식에서 Tor의 소멸이 모두 높은 수식에서, 따라서 다중성은 양성이 된다.임의의 경우에 있어서의 긍정은 세레의 다분히 추측하는 것 중의 하나이다.

추가 정의

정의는 예를 들어 지점에만 있는 것이 아니라 하위 분리를 따라 교차하는 교차점이나 임의의 완전한 다양성으로 광범위하게 일반화될 수 있다.

대수적 위상에서는 교차점 번호가 컵 제품의 푸앵카레 듀얼로 나타난다.구체적으로 X와 Y라는 두 다지관이 다지관 M에서 횡방향으로 교차하는 경우 교차점의 호몰로지 등급은 X와 Y의 푸앵카레 듀얼의$$ 컵 제품 D ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle ⌣}$ D ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\M}X\smile D_{M}Y}$의 푸앵카레 듀얼이다.

교차로 번호에 대한 스냅인-클레이만 정의

1959-60년 스내퍼에 의해 도입되고 나중에 카티에와 클레이먼에 의해 개발된 교차로 번호에 대한 접근법이 있는데, 교차로 번호를 오일러 특성으로 정의한다.

X는 체계 S, Pic(X) X의 피카르 그룹, G 그로스엔디크 그룹은 Artinian subscheme of S에 대한 지원이 적절한 X에 대한 체계로 하자.

Pic(X)의 각 L에 대해 다음과 같이 G의 내형성 c₁(L)를 정의한다(L의 첫 번째 체르누스 등급이라 함).

${\displaystyle c_{1}(L)F=F-L^{-1}\otimes F.}$

선다발로 텐서링을 하는 것이 정확하기 때문에 G에 첨가되어 있다.하나는 또한 다음과 같은 것을 가지고 있다.

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})}$; in particular, ${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$ and ${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$통근하다
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \mathrm{supp}}$supple ${\displaystyle {}_{}}$c ${\displaystyle 1{}_{}}$( L${\displaystyle }$) F${\displaystyle }$dim ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \mathrm{supp}}$supple F -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {supply}{$1}($L)F\leq \dim \operatorname {super}F-1}($이는 비경쟁적이며 dévisage 인수의에서 따옴).

교차로 번호

${\displaystyle L_{1}\cdots {\dots }\cdot L_{r}}$

라인 번들 L의_i 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle L_{1}\cdots {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi(c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

여기서 χ은 오일러 특성을 나타낸다.또는 유도에 의해 다음을 가진다.

${\displaystyle L_{1}\cdots {\}\cdot L_{r}\cdot F=\sum_{0}^{r(1)^{i}\chi(\wedge ^{0}^{r_{j}^{-1})\otimes F.}$

F가 고정될 때마다 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$… ${\displaystyle \cdot }$ L ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle L_{1}\cdots }\dots$ }\$cdot L_{r}\cdot$ F$}$는_i L의 대칭 기능이다.

일부 카르티에 디비저 D의_i 경우 L_i = O(D_Xi)이면 교차로 번호에 $대해$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}\dots }$ …${\displaystyle {}_{}}$ D ${\displaystyle r_{}}${\$displaystyle D_{1}\cdots }\cdot D_{r}$라고 표기한다.

Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a morphism of S-schemes, ${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$ line bundles on X and F in G with ${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$. Then

${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ F${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ⋅ f ${\displaystyle {\ast }_{}}$ f ∗ ${\displaystyle {}_{}}$ { f { f$${ f {\$displaysty f^{*}{1}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F$^[2]

평면 곡선의 교차로 승수

There is a unique function assigning to each triplet ${\displaystyle (P,Q,p)}$ consisting of a pair of projective curves, ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$, in ${\displaystyle K[x,y]}$ and a point ${\displaystyle p\in K^{2}}$, a number ${\displa$$ystyle I_{p}(P,Q)}$은(는) $다음{\displaystyle }$ 속성을 충족하는$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$와 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$의 교차 다중성을 호출했다$$.

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle I_{p}(P,Q)=\flotty }$ $P$ ${\displaystyle$ $P$$}$ $및$ Q ${\displaysty$ Q$}$이(가) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyp$p}에서 0인 경우에만 해당됨$$
3. ${\displaystyle {}_{}}$$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle P(p)}$ 또는$$ $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle p)}$ ${\displaysty Q(p)}$ 중 하나가 0이 아닌$$ 경우에만$$(즉, 포인트 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ p$}이$ 곡선$$ 중 하나)
4. ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle p{}_{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$ 여기서$$ $p{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle$ p$=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+$${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ K${\displaystyle }$[ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R\in K[x,y]}$에 대한 $I_{p}(P,Q)}$

비록 이러한 특성들이 교차로 다중성을 완전히 특성화하지만, 실제로는 여러 가지 다른 방법으로 실현된다.

One realization of intersection multiplicity is through the dimension of a certain quotient space of the power series ring ${\displaystyle K[[x,y]]}$. By making a change of variables if necessary, we may assume that ${\displaystyle p=(0,0)}$. Let ${\displaystyle P(x,y)}$ and ${\displaystyle Q(x,y}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$는 우리가$$ 관심 있는 대수 곡선을 정의하는 다항식이다.If the original equations are given in homogeneous form, these can be obtained by setting ${\displaystyle z=1}$. Let ${\displaystyle I=(P,Q)}$ denote the ideal of ${\displaystyle K[[x,y]]}$ generated by ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$.교차 다중성은 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간으로서$$ ${\displaystyle K}$[${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$/ I ${\displaystyle$ K$[[x,y]]]/I}$의 치수다$.$

교차로 다중성의 또 다른 실현은 두 다항식 P {\$displaystyle$ P}과 Q {\displaystyle $Q}$의 $결과물$로부터 온다$.$ $여기$서${\displaystyle }$p${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle 0}$, )${\displaystyle$ p$=0},$곡선은 ${\displaystyle \mathrm{y}}$= 0 = ${\$$displaysty y=0$ 그리고 $P$의 정도와 다른 $교차로들$이 없다$.$with respect to ${\displaystyle x}$ is equal to the total degree of ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ can be defined as the highest power of ${\displaystyle y}$ that divides the resultant of ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$ (with ${\displaystyle P}$$및{\displaystyle }$$$K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ {\$displaystyle$ $K[x]}$에 대한 다항식으로 표시되는$$ Q {\displaystyle $$Q$}$

교차 다중성은 곡선이 약간 뒤틀린 경우 존재하는 구별되는 교차점의 수로 또한 실현될 수 있다.More specifically, if ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$ define curves which intersect only once in the closure of an open set ${\displaystyle U}$, then for a dense set of ${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$, ${\displaystyle P-\epsilon }$ and ${\displaysty$$le Q-\delta }$은(는) 매끄럽고 (즉, 접선이 서로 다른) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$$}$개의$$ 정확히 어떤 $숫자{\displaystyle }$ n ${\$displaystyle U$}$에서 교차한다$($${\displaystyle 즉}$, 접선). 그러면 $I{\displaystyle {}_{}}$ p ( ${\displaystyle P_{},}$ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n$

예

X 축과 포물선의 교차점 고려

${\displaystyle y=x^{2}.\ }$

그러면

$P=y,\ }$

그리고

${\displaystyle Q=y-x^{2},\ }$

그렇게

${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2}=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2.\,}$

따라서 교차로도는 2이다; 그것은 일반적인 접선이다.

자기 교차점

계산해야 할 가장 흥미로운 교차로 번호 중 일부는 자기 절간 번호들이다.이것은 순진한 의미로 받아들여져서는 안 된다.의미있는 것은, 어떤 특정한 종류의 차별자들의 동등성 계급에서는, 서로에 관한 일반적인 위치에 있는 두 대표자가 교차한다는 것이다.이렇게 하면 자기 절개 숫자가 잘 정의되고, 심지어 음수가 될 수도 있다.

적용들

교차점 번호는 부분적으로 베주트의 정리를 만족시키기 위해 교차점을 정의하려는 욕구에 의해 동기가 부여된다.

교차로 번호는 대각선이 있는 함수 그래프의 교차로로 교묘하게 정의할 수 있는 고정점 연구에서 발생한다.고정점에서 교차점수를 계산하면 고정점이 다중성으로 카운트되고, 정량적 형태로 렙체츠 고정점 정리까지 이어진다.

메모들

참조

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• Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. ISBN 0-387-90244-9. 부록 A.
• William Fulton (1998). Intersection Theory (2nd ed.). Springer. ISBN 9780387985497.
• 대수 곡선: William Fulton이 Richard Weiss와 함께 쓴 대수 기하학 입문.뉴욕: 벤자민, 1969.재인쇄 에드:레드우드 시티, 미국: 애디슨 웨슬리, 어드밴스트 북 클래식, 1989.ISBN 0-201-51010-3전체 텍스트 온라인.
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• Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180