양원소

${\displaystyle {}^{}}$에서 *-대수의 $원소는$∗ $형태$의 원소들의 합일 경우 양이라고 합니다. ${\displaystyle$a^{*}a}

정의.

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 *-대수라고 합니다. An element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ is called positive if there are finitely many elements ${\displaystyle a_{k}\in {\mathcal {A}}\;(k=1,2,\ldots ,n)}$, so that ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{*}a_{k}}$ holds.^[1] $이는$≥ 0 ${\displaystyle$a$\backslash$geq 0}으로도 표시됩니다.

양의 원소 집합은 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$+ ${\$로 표시됩니다$.$

특히 중요한 특수한 경우는 A ${\displaystyle {\mathcal {A}}$가 C*-동일성을 만족하는 완전한 정규 *-algebra인 경우${\displaystyle (}$‖$$∗$a$ ‖ = ‖ ‖ 2 ∀ ∈ $A {\displaystyle$ \$left\ a^{*}a\right\$=\left\ a\right\ ^{2}\forall a\in {\mathcal {A}})이며, 이를 C*-대수라고 합니다.

예

• 단위 *-대수의$$ 단위 $요소{\displaystyle }$ e ${\displaystyle$ e$}$가 양수입니다.
• ∈ $A$ {\displaystyle a\$in$ {\$mathcal$ {A}}의 {\displaystyle a^{*} 및 ∗ {\displaystyle aa^{*}}의 요소는 정의상 양수입니다.

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$가 C*-대수일 경우, 다음은 성립합니다.

• Let ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ be a normal element, then for every positive function ${\displaystyle f\geq 0}$ which is continuous on the spectrum of ${\displaystyle a}$ the continuous functional calculus defines a positive element ${\displaystyle f(a)}$.^[3]
• ${\displaystyle {}^{}}$ 사영, 즉 모든 요소 a = $a$ ∗ = a 2 {\display a^{*}= a^{2}}가 $유지$되는 ${\mathcal${A}}의${\style$ a\$display$ a=${\displaystyle a}$^{*}}a^{2}}는 양수입니다. 이러한 idempotent${\displaystyle \mathrm{요소}}$의 스펙트럼$$σ${\displaystyle (}$a) ${\displaystyle \sigma($a)}의 경우 연속 함수 미적분학에서 볼 수 있듯이 σ${\displaystyle (}$a$)$⊆ {$0, 1} {\displaystyle \sigma($a)\subseteq \{0, 1\}가 유지됩니다.

기준

${\displaystyle$ ${\mathcal {A}}$를 C*-대수라고 ${\displaystyle 하고}$, ∈ $A$ ${\displaystyle$ a\를 {\$mathcal${A}}라고 하자. 그렇다면 다음은 동치입니다.

• $스펙트럼$σ${\displaystyle (}$a) ⊆ [0, ∞$]$ {\$displaystyle \sigma($a)\subseteq [$,\infty$)}가$$유지되고 {\displaystyle a}는 정상 요소입니다.
• ${\mathcal${A}}에는 ${\displaystyle {}^{}}$ = $bb$ ∗$${\$display$ a = bb^{*}}와 $같은$ 요소 $b$ ∈ A ${\displaystyle$ b\}가 있습니다.
• $a$=$c$= c 2 ${\displaystyle$ a { c^{2}}인${\$displaystyle c\$in {\mathcal$ {A}_{sa}}로서 (unique$)$ 자기 인접 요소 $c{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {}_{}}$가 존재합니다.

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$가 단위 요소 $e$가 ${\displaystyle e}$인 단위 *-대수인 경우 다음 문장도 동등합니다^[5].

• ${\displaystyle \Vert }{\displaystyle t}$- ${\displaystyle 모든}$t $≥$ ‖에${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ‖ $≤ t$ ${\displaystyle$\left\$te-a\$right\le${\displaystyle q}$ t} ‖ {\displaystyle t\geq \left\a\right}이고 {\displaystyle a}는 자기 인접 요소입니다.
• ${\displaystyle \Vert }{\displaystyle t}$- ${\displaystyle 일부}$t $≥$ ‖에${\displaystyle }$대한 ‖ ≤$$t ${\displaystyle$\left$\te-a\$right\le${\displaystyle q}$ t} ‖ {\displaystyle t\geq \left\a\right}이고 {\displaystyle a}는 자기 인접 요소입니다.

특성.

*-대수에서

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 *-대수라고 합니다. 그러면.

• ∈ $A$ + {\display a\style a\$in$ {\$mathcal$ {$A$}}_{+}가 양의 요소인 경우 {\display a}는 자기접합입니다.
• 양의 원소 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$+ ${\$의 집합은 ${\$로서 자기 인접 원소 $A$의 실수 벡터 공간에 있는 볼록한 원뿔입니다$.$ $즉$, α ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ A +$$${\$$displaystyle \alpha$a,a+b\in {\mathcal {A}}_{+}는 모든 a, b ∈ A {\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}} 및 α ∈ [0,∞] {\displaystyle \alpha \in [0,\infty]}에 대해 유지됩니다.
• ∈$A$ + {\$mathcal${A}}_{+}에서 {\$displaystyle$ a$\in$ {\mathcal {A}}에서 b ∗ a {\displaystyle b^{*}ab}도 모든 요소 b ∈ A {\displaystyle b\in {\mathcal {A}}에서 양수입니다.
• For the linear span of ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ the following holds: ${\displaystyle \langle {\mathcal {A}}_{+}\rangle ={\mathcal {A}}^{2}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}={\mathcal {A}}_{sa}\cap$${\mathcal {A}}^{2$^[8]

In C*-algebras

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 C*-대수라고 합니다. 그러면.

• Using the continuous functional calculus, for every ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ and ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ there is an uniquely determined ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ that satisfies ${\displaystyle b^{n}=a}$, i.e. $고유$한 n ${\displaystyle$ n$}$번째$$ 루트입니다. 특히 모든 양의 원소에 대해 제곱근이 존재합니다. Since for every ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ the element ${\displaystyle b^{*}b}$ is positive, this allows the definition of an unique absolute value: ${\textstyle b =(b^{*}b)^{\frac {1}{2}}}$.^[9]
• For every real number ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ there is a positive element ${\displaystyle a^{\alpha }\in {\mathcal {A}}_{+}}$ for which ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ holds for all ${\displaystyle \beta \in [0,$$\infty$ 매핑 ${\displaystyle {\alpha }^{}}$↦ α${\displaystyle \alpha \maps$ to a$^{\$alpha }}는 연속적입니다. α ${\displaystyle \alpha}$의 음수 값은 가역 요소 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$}$의 경우에도 가능합니다$.$^[7]
• 교환 긍정적인 요소의 제품도 긍정적입니다. ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ b = ${\displaystyle \mathrm{ba}}${\$displaystyle ab$= ba}가 양의 a, b ∈ A + {\displaystyle a, b\in {\mathcal {A}_{+}, b ∈ A + {\displaystyle ab\in {\mathcal {A}_{+}.
• ∈ $A$ {\$display$ a\style a\in {\mathcal {A}}의 각 원소는 4개의 양의 원소의 선형 조합으로 고유하게 표현될 수 있습니다. 이를 위해 ${\displaystyle a}$를 먼저 자기 인접 실수부와 허수부로 분해한 다음 연속 함수 미적분학을 사용하여 양과 음으로 분해합니다.^[10] ${\displaystyle A_{}}$가 = ${\displaystyle A{}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$-$$A + ${\$$displaystyle {\mathcal {A}_${sa}={\$mathcal {$A}_{+}-{\mathcal {A}_{+}-{\mathcal {A}_{+}}이므로 A는 = A + - A + A + A + A + A + A + A + A + A + A + A - A - A - A - A - A - A - A - A - A - A - A - displaystyle {\mathcal {A} - A - A >_+ - A - A - A - A - A - A - A - A - displaystyle {\mathcal {A} - A >_+}
• ${\displaystyle a}$ 및$$- ${\displaystyle -a}$가 모두 $양수$이면 a = ${\$displaystyle a = 0}이(가) 유지됩니다.
• $B$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}$가 $A$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}$의 C*-하위 대수이면 B +$$= ${\displaystyle {}_{}}$∩ A + ${\$displaystyle ${\mathcal$ {B}$_{+}$=${\$mathcal {B}\cap {\mathcal {A}_{+}}입니다.
• If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is another C*-algebra and ${\displaystyle \Phi }$ is a *-homomorphism from ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ to ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, then ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {A}}_{+})=\$$Phi({\mathcal {A}})\cap {\mathcal {B}_{+}}$가 유지됩니다.^[11]
• $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ A + ${\$$displaystyle$$$a,b$\in {\mathcal${A}}_{+}가 ${\displaystyle \mathrm{b}}$ = 0 {\$displaystyle ab$=0}인 양의 요소인 경우, 이들은 $a$ + b ‖ = max(‖ a ‖, ‖ b ‖) {\displaystyle \left\a+b\right\ =\max(\left\a\right\,\left\b\right\)}가 유지되는 양의 $요소$입니다. ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 요소를 직교라고 하며 ⊥ b${\displaystyle$a$\backslash$bot b}를 씁니다.

부분 순서

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 *-대수라고 합니다. 양의 원소라는 성질은 자기 인접 원소 집합 $A$의 번역 불변 부분 순서를 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$로 정의합니다$.$ 만약 ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle {}_{}}$∈ A + {\$displaystyle$ b-a\$in {\mathcal${A}_{+}가 a$,$ b ∈$A {\displaystyle$ a,b\in$${\mathcal {A}}, ≤${\displaystyle }$$b$ ${\displaystyle$ a$\leq$ b$} 또는$ $b$ ≥$${\displaystyle b\geq a}를 씁니다.

This partial order fulfills the properties ${\displaystyle ta\leq tb}$ and ${\displaystyle a+c\leq b+c}$ for all ${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ with ${\displaystyle a\leq b}$ and ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$.^[8]

$A$ ${\$$displaystyle$ ${\mathcal {A}}$가 C*-대수인 경우, ${\displaystyle 부분}$ 순서도$$a, $b$∈ A {\displaystyle a,b\ $in {\mathcal$ {A}}에 대해 다음과 같은 속성이 있습니다.

• $a{\displaystyle }$≤ ${\displaystyle b}${\$displaystyle$a\$leq$ b$}$가 유지되면 ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ ${\displaystyle a{}^{}}$≤ $c$∗ b c ${\displaystyle c^{*}$ac\leq c^{*}bc}는 {\mathcal {$A}}$의 모든 c$$∈ A {\displaystyle c\에$$참입니다. ${\displaystyle$ $}$ 및 b${\displaystyle$ $b$}와$함께$ 통근하는 $모든$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ A + ${\displaystyle$c\$in$ {\$mathcal${A}_{+}에 대해${\displaystyle }$c$≤$ b {\$displaystyle ac$\leq bc}도 유지됩니다.
• $-$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b\leq$ a\leq $b}$가 유지되면 ‖ ≤ ‖ $b$ ‖$${\$displaystyle$ \$left\$a$\backslash$right\ \leq \left\b\right}를 ‖합니다.
• ${\displaystyle 0}$ ${}^{}$ ${}^{}$ $≤$ b {\$displaystyle$ 0$\leq$ a\$leq$ b$}$가 유지되면 α b α {\$textstyle$ a^{\$alpha }\leq$ b$^{\alpha }$가 모든 실수 < ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$에 대해$$ 유지됩니다^[16]
• ${\displaystyle a}$가 반전 가능하고 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \le }$ b ${\displaystyle 0\leq a\leq$ b$}$가 유지되는 경우 $b{\displaystyle }${\$displaystyle b}$는 반전 가능하고 그 반대의 $경우{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$가 유지됩니다.^[15]

참고 항목

• 음이 아닌 행렬
• 양의 연산자(힐베르트 공간)

인용

참고문헌

서지학