숫자 체계

다른 숫자 체계로 쓰여진 숫자입니다.

숫자 체계(또는 숫자의 체계)는 숫자를 표현하기 위한 쓰기 시스템이다. 즉, 일정한 방식으로 숫자 또는 다른 기호를 사용하여 주어진 집합의 숫자를 표현하기 위한 수학적 표기법이다.

동일한 일련의 기호는 다른 숫자 체계에서 다른 숫자를 나타낼 수 있습니다.예를 들어, "11"은 십진수 체계에서 숫자 11(일반 생활에서 사용), 이진수 체계에서 숫자 3(컴퓨터에서 사용), 단수 체계에서 숫자 2(예를 들어 점수 집계에서 사용)를 나타냅니다.

숫자가 나타내는 숫자를 값이라고 합니다.모든 숫자 체계가 오늘날 고려되는 모든 숫자를 나타낼 수는 없습니다. 예를 들어, 로마 숫자에는 0이 없습니다.

숫자 시스템은 다음을 수행하는 것이 이상적입니다.

유용한 숫자 집합(예: 모든 정수 또는 유리수)을 나타냅니다.
고유한 표현(또는 적어도 표준 표현)을 나타내는 모든 숫자를 지정합니다.
숫자의 대수적, 산술적 구조를 반영한다.

예를 들어 통상적인 10진수 표현은 0이 아닌 모든 자연수에 0이 아닌 숫자로 시작하는 유한한 자릿수 시퀀스로 고유한 표현을 제공합니다.

숫자 체계는 때때로 숫자 체계라고 불리지만, 그 이름은 실수 체계, 복소수 체계, p-adic 숫자의 체계 등과 같은 다른 수의 체계를 나타낼 수 있기 때문에 모호하다.그러나 이러한 시스템은 이 기사의 주제가 아닙니다.

주요 숫자 체계

가장 일반적으로 사용되는 숫자 체계는 십진법이다.인도 수학자들은 정수 버전인 힌두-아랍 숫자 ^[1]체계를 개발한 것으로 인정받고 있다.쿠스마푸라의 아리아바타는 5세기에 자리수 표기법을 발전시켰고, 1세기 후에 브라흐마굽타는 0의 기호를 도입했다.이 제도는 인도와의 상업 및 군사 활동 때문에 아라비아와 같은 다른 주변 지역으로 서서히 확산되었다.중동 수학자들은 952-953년 시리아 수학자 Abu'l-Hasan al-Uqlidisi의 논문에서 기록된 10의 음의 거듭제곱을 포함하도록 시스템을 확장했고, 소수점 표기법은 아랍 숫자에 대한 최초의 논문을 쓴 신드 이븐 알리에 의해 도입되었다^[when?].힌두-아랍 숫자 체계는 상인들의 거래로 인해 유럽으로 확산되었고, 유럽에서 사용되는 숫자는 아랍인들에게서 배웠기 때문에 아라비아 숫자라고 불린다.

가장 간단한 숫자 체계는 모든 자연수가 대응하는 수의 기호로 표현되는 단수 숫자 체계이다.기호가예를 들어 /를 선택하면 숫자 7은 /////로 표시됩니다.집계 마크는 여전히 일반적으로 사용되는 시스템 중 하나를 나타냅니다.단항체계는 이론적인 컴퓨터 과학에서 중요한 역할을 하지만 적은 숫자에 대해서만 유용하다.데이터 압축에 일반적으로 사용되는 Elias 감마 부호화는 이진수의 길이를 나타내기 위해 단항식을 사용하여 임의의 크기의 숫자를 나타냅니다.

단항 표기법은 특정 새 값에 대해 다른 기호를 도입하여 생략할 수 있습니다.일반적으로 이러한 값은 10의 거듭제곱입니다.예를 들어 /가 1을 나타내고 - 10을 나타내며 ++///를 나타내면 숫자 304는 ++ //로, 숫자 123은 + - //로 콤팩트하게 나타낼 수 있습니다.이를 부호값 표기법이라고 합니다.고대 이집트 숫자 체계는 이런 유형이었고, 로마 숫자 체계는 이 생각을 수정한 것이었다.

더 유용한 것은 기호 반복을 위해 특수 약어를 사용하는 시스템이다. 예를 들어 A는 "1회 발생", B는 "2회 발생"을 나타내며 알파벳의 처음 9자를 사용하면 숫자 304에 대해 C+D/를 쓸 수 있다.이 시스템은 중국 숫자와 다른 동아시아 숫자를 한자로 쓸 때 사용된다.영어의 숫자 체계는 어떤 문자 체계를 채택했는지에 관계없이 다른 구어체의 숫자 체계와 마찬가지로 이 유형("300[및] 4")이다.그러나 많은 언어들이 베이스와 다른 특징의 혼합을 사용합니다. 예를 들어 프랑스어 79는 soixante dix-neuf (60 + 10 + 10 + 9), 웨일스어 79는 pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20) 또는 (일부 고대 pedwar ugain un (4 × 20 - 1)입니다.영어로 "87년 전"을 "4점, 7년 전"으로 나타내는 유명한 게티즈버그 연설에서처럼 "4점 1점 덜"이라고 말할 수 있다.

보다 우아한 것은 자리 값 표기법이라고도 하는 위치 체계입니다.다시 베이스 10에서 작업할 때, 10개의 서로 다른 숫자 0, ..., 9를 사용하고, 304 = 3×100² + 0×10 + 4×1 또는 보다 정밀하게는 3¹×10 + 0×10 + 4⁰×10과 같이 자릿수에 곱하는 10의 거듭제곱을 나타낸다.여기서 제로는 다른 시스템에서는 필요하지 않습니다.전력을 "스킵"하기 위해 매우 중요합니다.인도에서 유래하여 현재 전 세계에서 사용되고 있는 힌두-아랍 숫자 체계는 위치 기반 10 체계이다.

위치 시스템은 이전의 가법 시스템보다 산술이 훨씬 쉽습니다. 또한 가법 시스템은 10의 거듭제곱에 대해 많은 수의 다른 기호를 필요로 합니다. 위치 시스템은 10개의 다른 기호를 필요로 합니다(기본값 ^[2]10을 사용한다고 가정).

위치 십진법은 현재 인간의 글쓰기에서 보편적으로 사용되고 있다.또, 디지트를 그룹화해, 소수점 3 자리수의 시퀀스를 1 자리수로 간주하는 것으로써, 베이스 1000 이 사용됩니다(다만, 보편적이지는 않습니다).이것은 매우 큰 숫자에 사용되는 일반적인 표기법 1,000,234,567의 의미입니다.

컴퓨터에서 주요 숫자 시스템은 2진법(이진법)의 위치 시스템을 기반으로 하며, 0과 1의 2진법을 사용합니다.이진수를 3자리(16진수계) 또는 4자리(16진수계)로 그룹화한 위치계가 일반적으로 사용된다.매우 큰 정수에서는, 예를 들면 GMP 와 같이, 베이스 2 또는⁶⁴ 베이스³² 2(바이너리 자리수의 32 또는 64 로 그룹화)가 사용됩니다.

특정 생물학적 시스템에서는 단항 부호화 시스템이 사용된다.새소리 ^[3]생성을 담당하는 신경 회로에 사용되는 단수 숫자입니다.새소리 학습과 새소리 생성에 모두 관여하는 새의 뇌핵은 HVC(고성중추)다.새소리의 다른 음에 대한 명령 신호는 HVC의 다른 지점에서 발생합니다.이 코딩은 공간 코딩으로 작동하며, 공간 코딩은 본질적으로 단순하고 견고하기 때문에 생물학적 회로에 대한 효율적인 전략입니다.

숫자 또는 기호를 사용하여 숫자를 쓸 때 사용되는 숫자는 각각 산술 숫자(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)와 기하 숫자(1, 10, 100, 1000, 100, 10000 ...)라고 불리는 두 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.부호-값 시스템은 기하학적 숫자만 사용하고 위치 시스템은 산술 숫자만 사용합니다.부호-값 시스템은 (이온계를 제외하고) 반복에 의해 만들어지기 때문에 산술 숫자를 필요로 하지 않으며, 위치 시스템은 위치에 의해 만들어지기 때문에 기하학적 숫자를 필요로 하지 않는다.그러나 구어는 산수와 기하학적 숫자를 모두 사용한다.

컴퓨터 과학의 특정 분야에서는 숫자 1, 2, ..., k(k 11) 및 0이 빈 문자열로 표현되는 bijectionive numberation이라고 불리는 수정된 base k 위치 시스템이 사용됩니다.이것에 의해, 이러한 모든 디짓스트링의 집합과 음이 아닌 정수 집합과의 사이에 바이젝션이 확립되어 선행하는 0에 의한 일의성이 없어집니다.bijectionive base-k numberation은 k-adic 표기법이라고도 하며, p-adic 숫자와 혼동해서는 안 된다.bijectionive base 1은 단항과 동일합니다.

위치 시스템 상세

위치기준 b의 숫자계(b는 기수 1보다 큰 자연수를 가진다)에서 0을 포함한 제1의 b의 자연수에 대응하는 b의 기본 기호(또는 숫자)를 사용한다.나머지 숫자를 생성하려면 그림에서 기호의 위치가 사용됩니다.마지막 위치의 기호에는 자체 값이 있으며 왼쪽으로 이동하면 해당 값에 b를 곱합니다.

예를 들어 10진법에서 숫자 4327은 ( $4 \times10 3)$ + ( $3 \times10 2)$ + ( $2 \times10 1)$ + ( $7 \times10 0)$ 을 의미하며, 10 = $1이라는 점$ 에⁰ 주목한다.

일반적으로 b가 밑수일 경우 b의 숫자 체계에 $ab n - 1 n - 1$ + $ab n - 2 n - 2$ + ab+ ...라는_nⁿ 형식으로 표현하여 숫자를 쓴다.+ $ab 00$ 및 열거된 $숫자 n n - 1 n - 2$ aaa $... a$ 를₀ 내림차순으로 씁니다 $.$ 숫자는 0 ~ $b$ - $1$ 사이의 자연수입니다.

텍스트(이것 등)가 복수의 베이스에 대해 논하고 있는 경우, 애매한 것이 있는 경우, 베이스(베이스 10으로 표현되고 있는 그 자체)는, 다음과 같이 번호의 오른쪽 첨자에 추가됩니다_base.컨텍스트에 의해 지정되지 않는 한 첨자가 없는 숫자는 10진수로 간주됩니다.

점을 사용하여 두 개의 그룹으로 나누면 위치 시스템에 분수를 쓸 수도 있다.예를 들어, 기저 2의 숫자 10.11은 1 $\times2 1$ + $0\times2 0$ + $1\times2 -1$ + $1\times2 -2 = 2.75를 나타낸다$ .

일반적으로 기본 b 시스템의 숫자는 다음과 같은 형식입니다.

(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}c_{3}\cdots}_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}+\sum _k=1}^{\infty}cdots_k}_{k}_{k}_{k}_{k}

숫자^k b와^−k b는 대응하는 자릿수의 무게입니다.위치 k는 대응하는 무게 w의 로그입니다. $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ , k $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ b $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ w $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ b $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ b $k$ \ $log$ _ { $b$ } w $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ = \ $log$ _ { b } b^ { $k$ $k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}$ \ log _ { b } 。가장 높은 사용 위치는 숫자의 크기 순서에 가깝습니다.

체중을 설명하기 위해 단일 숫자 체계에서 필요한 집계 마크의 수는 w가 될 것이다.위치 시스템에서 이를 설명하는 데 $k+1=\log _{b}w+1$ 한 자리 수는 k + $k+1=\log _{b}w+1$ $k+1=\log _{b}w+1$ $k+1=\log _{b}w+1$ $k+1=\log _{b}w+1$ $k+1=\log _{b}w+1$ w $k+1=\log _{b}w+1$ + 1 $k+1=\log _{b}w+1$ { $display style$ k + 1 $k+1=\log _{b}w+1$ = \ $log$ _ { $b$ } $w$ + 1 입니다 $k+1=\log _{b}w+1$ 예를 들어, 무게 1000을 기술하려면 $\log _{10}1000+1=3+1$ 10 $\log _{10}1000+1=3+1$ 1000 $\log _{10}1000+1=3+1$ + $\log _{10}1000+1=3+1$ $\log _{10}1000+1=3+1$ + $\log _{10}1000+1=3+1$ { $style$ \ $log$ _ { $1000$ + $1$ } $=$ 1 = 1 .위치를 설명하는 데 필요한 자리 수는 $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ b $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ k + $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ b $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ b $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ w $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ + $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ \ $displaystyle \log$ _ { $b$ } $k$ + 1 $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ = \ $log$ _ { $b$ } \ $log$ _ { $b } w$ + $1$ 입니다 $\log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1$ (위치 1, 10, 100, ... ) 。10진수 예제의 단순화를 위해서만).

{\displaystyle\begin{array}{lrrr}{\text{Position}}&3&2&1&1&2&\cdots\hline{text}웨이트}}&b^{3}&, b^{2}&, b^{1}&, b^{0}&, b^{)}&, b^{-2}&, \cdots}및 \\{\text{Digit}, a_{3}&, a_{2}&, a_{1}&, a_{0}&, c_{1}&, c_{2}&, \cdots \\\hline{\text{소수 예 무게}}&1000&, 100&, 10&, 1&0.1&, 0.01&, \cdots}및 \\{\text{소수 예 숫자}, 4&, 3&, 2&, 7&, 0&, 0&, \cdots \end{배열}}}.

숫자는 합리적인 경우에만 끝 또는 반복 확장을 가지며, 이는 기준값에 따라 달라지지 않습니다.한 베이스로 끝나는 숫자는 다른 베이스에서도 반복할 수 있습니다( $그림 0 10$ .3 $= 0.010011001...). 2$ 무리수는 모든 적분 베이스에서 무주기(반복하지 않는 자릿수)로 유지됩니다.따라서, 예를 들어, 기저 2에서는 $θ$ = 3. $1415926... 10$ 는 aperiodic 11.0010010000111로 ₂표기할 수 있습니다.

오버스코어 n 또는 도트 ,를 공통 자리 위에 배치하는 것은 반복 유리 확장을 나타내기 위해 사용되는 규칙입니다.다음과 같이 됩니다.

14/11 = 1.272727272727...= 1.27 또는 321.3217878787878...= 321.32178.

만약 b = p가 소수라면, 왼쪽으로의 확장이 멈추지 않는 기본 p 숫자를 정의할 수 있다. 이러한 숫자를 p-adic 수라고 한다.

일반화 가변 길이 정수

more general은 $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ + $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ $a_{0}a_{1}a_{2}$ $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ + $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ $a_{0}a_{1}a_{2}$ b $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ { $display$ a _ { $0$ $a_{0}a_{1}a_{2}$ } $a$ _ { } a _ { } a $_$ { $a_{0}a_{1}a_{2}$ } { { $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ $a$ _ $0$ $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ } + $a _$ { $1 b$ _ { 1 b $_$ { $1 }$ b _ { { 1 } b _ { { 1 } $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 。

이것은 푸니코드(Punycode)에서 사용되며, 그 중 하나는 36: a~z와 0~9의 집합에서 각각 0~25와 26~35를 나타내는 임의의 크기의 음이 아닌 정수 시퀀스를 구분자가 없는 시퀀스로 표현하는 것이다.이른바 임계값( $t_{0},t_{1},...$ 0 , $t_{0},t_{1},...$ , $t_{0},t_{1},...$ . . $t_{0},t_{1},...$ { $displaystyle t_{0$ , $t_{$ } )도 있습니다. $t_{0},t_{1},...$ 는 번호의 모든 위치에 대해 고정됩니다 $.$ 숫자 $($ 내의 특정 위치에 있음)가 대응하는 임계값 $({$ $})$ 보다 $t_{i}$ 낮다는 것은 그것이 가장 중요한 숫자임을 의미합니다.따라서 문자열에서는 이것이 숫자의 끝이며 다음 기호(존재하는 경우)는 다음 저하의 최하위 자리입니다.음.정말.

예를 들어, 첫 번째 자릿수의 임계값이 b(즉, 1)인 경우, a(0)는 숫자의 끝을 표시합니다(즉, 1자리 숫자만 포함). 따라서 두 자리 이상의 숫자에서는 첫 번째 자릿수 범위는 b-9(즉, 1 ~ 35)이므로 가중치₁ b는 36이 아니라 35입니다.보다 일반적으로 t가 n번째 자릿수의 임계값인 경우_n $b_{n+1}=36-t_{n}$ n + $b_{n+1}=36-t_{n}$ $b_{n+1}=36-t_{n}$ $b_{n+1}=36-t_{n}$ - $b_{n+1}=36-t_{n}$ $b_{n+1}=36-t_{n}$ { $b_{n+1}=36-t_{n}$ } = $36$ - $t_{$ n $b_{n+1}=36-t_{n}$ 。두 번째 자릿수와 세 번째 자릿수의 임계값은 c(즉, 2번째 자릿수의 범위는 a~b(즉, 0-1)이고, 가장 유의한 자릿수의 범위는 a~b입니다.2 ~ 35 ）。일반적으로 임의의 n에 대해 (n+1)번째 자릿수의 무게는 앞의 1회(n번째 자릿수의 36번째 임계값)의 무게입니다.따라서 두 번째 기호의 무게는 $36-t_{0}=35$ - $36-t_{0}=35$ 0 $36-t_{0}=35$ $36-t_{0}=35$ $({$ $displaystyle$ $36$ - $35*(36-t_{1})=35*34=1190$ { 0 } $= 35$ ) $35*(36-t_{1})=35*34=1190$ $35*(36-t_{1})=35*34=1190$ $35*(36-t_{1})=35*34=1190$ $35*(36-t_{1})=35*34=1190$ (36 - t $35*(36-t_{1})=35*34=1190$ _ ${$ 1 $} = 35$ * 34 = 1190 = $35$ * $34$ = 1190 $35*(36-t_{1})=35*34=1190$ = 35 * 34 = $1190$ = 1190 입니다.

따라서 최대 3자리 숫자의 시퀀스는 다음과 같습니다.

a(0), ba(1), ca(2), ..., 9a(35), bb(36), cb(37), ..., 9b(70), bca(71), ..., 99a(1260), bcb(1261), ..., 99b(2450).

일반 n 기반의 숫자 체계와 달리 9b와 b는 각각 35를 나타내지만 ac와 aca는 허용되지 않기 때문에 표현은 고유합니다.첫 번째 a는 이들 숫자의 각각을 끝냅니다.

임계값을 유연하게 선택할 수 있기 때문에 다양한 크기의 숫자가 발생하는 빈도에 따라 자릿수를 최적화할 수 있습니다.

모든 문턱값이 1인 경우는 바이젝티브한 숫자에 대응합니다.여기서 0은 숫자가0이 아닌 숫자의 구분자에 대응합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company.
^ Chowdhury, Arnab. Design of an Efficient Multiplier using DBNS. GIAP Journals. ISBN 978-93-83006-18-2.
^ Fiete, I.R.; Sung, H.S. (2007)"새소리 제작, 학습, 코딩의 뉴럴 네트워크 모델"스콰이어, L., 올브라이트, T. 블룸, F., 게이지, 스피처, 뉴 뉴 뉴 백과사전

원천

조르주 이프라.숫자의 세계사: 프리히스토리에서 컴퓨터의 발명까지, Wiley, 1999.ISBN 0-471-37568-3.
D. 크누스컴퓨터 프로그래밍의 기술.제2권 제3판애디슨-웨슬리, 페이지 194-213, "위치 번호 체계"
A.L. 크로버(Alfred Louis Krober)(1876년-1960년), 캘리포니아 인디언 핸드북, 스미스소니언 협회 미국민족학국 회보 78(19년)
J.P. 말로리와 D.Q.Adams, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997, 인도-유럽 문화 백과사전.
Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund (1993). Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University Of Chicago Press. ISBN 978-0-226-58659-5.
Schmandt-Besserat, Denise (1996). How Writing Came About. University of Texas Press. ISBN 978-0-292-77704-0.
Zaslavsky, Claudia (1999). Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. ISBN 978-1-55652-350-2.

외부 링크

Wikimedia Commons의 Numeral 시스템

[1] David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company.

[2] Chowdhury, Arnab. Design of an Efficient Multiplier using DBNS. GIAP Journals. ISBN 978-93-83006-18-2.

[3] Fiete, I.R.; Sung, H.S. (2007)"새소리 제작, 학습, 코딩의 뉴럴 네트워크 모델"스콰이어, L., 올브라이트, T. 블룸, F., 게이지, 스피처, 뉴 뉴 뉴 백과사전

[1]

[2]

[3]

Search

숫자 체계

네임스페이스

더

목차

주요 숫자 체계

위치 시스템 상세

일반화 가변 길이 정수

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

원천

외부 링크

Search

숫자 체계

주요 숫자 체계

위치 시스템 상세

일반화 가변 길이 정수

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

원천

외부 링크

「」를 참조해 주세요.