퀘이시그룹

수학에서 특히 추상대수학에서 퀘이시그룹은 "분할"이 항상 가능하다는 점에서 그룹을 닮은 대수적 구조다.퀘이시그룹은 반드시 연관성이 있는 것은 아니라는 점에서 주로 그룹과 다르다.

아이덴티티 요소를 가진 퀘이시그룹을 루프라고 부른다.

정의들

quas그룹에는 구조적으로 동등한 공식 정의가 적어도 두 개 있다.하나는 퀘이시그룹을 하나의 이진 연산을 가진 집합으로 정의하고, 다른 하나는 유니버설 대수학으로부터 퀘이시그룹을 3개의 원시 연산을 갖는 것으로 정의한다.그러나 단일 이진 연산으로 정의된 quas그룹에 대한 동형상 이미지는 quas그룹일 필요는 없다.^[1]우리는 첫 번째 정의로 시작한다.

대수학

quas그룹(Q, ∗)은 비빈 세트 Q로, 이진 연산 ∗(즉, quas그룹에서 폐쇄 속성을 만족해야 함을 나타내는 마그마)로 라틴 사각형 속성을 준수한다.이것은 Q의 각 a와 b에 대해, 둘 다와 같은 Q의 고유한 원소 x와 y가 존재한다고 명시한다.

∗ x = b,

y ∗ a = b

홀드. (다시 말해:세트의 각 요소는 각 행에 정확히 한 번, 퀘이그룹의 곱셈표 또는 케이리 테이블의 각 열에 정확히 한 번 발생한다.이 특성은 유한 Quas그룹, 특히 유한집단의 Cayley 테이블이 라틴 사각형임을 보장한다.)고유성 요건은 마그마를 취소해야 한다는 요건으로 대체할 수 있다.^[2]

이러한 방정식의 고유한 해법은 x = a \ b와 y = b / a라고 쓰여 있다.작전 '\'와 '/'는 각각 좌분할과 우분할로 불린다.

빈 바이너리 연산이 장착된 빈 세트는 퀘이시그룹의 이 정의를 만족시킨다.일부 저자들은 빈 퀘이시그룹을 받아들이지만 다른 저자들은 분명히 그것을 배제한다.^[3]^[4]

유니버설 대수학

일부 대수 구조를 감안할 때, 정체성은 모든 변수가 암묵적으로 보편적으로 정량화되고, 모든 연산이 구조에 적합한 원시 연산에 포함되는 방정식이다.신분만으로 공리화된 대수학적 구조를 품종이라고 한다.보편적 대수학에서 많은 표준 결과는 품종에만 해당된다.퀘이시그룹은 좌우분할을 원시분할하면 품종이다.

quas그룹(Q, ∗, \, /)은 다음과 같은 정체성을 만족하는 유형(2,2,2) 대수(즉, 3개의 2진법 연산을 갖추었다)이다.

y = x ∗(x \ y),

y = x \(x ∗ y),

y = (y / x) ∗ x,

y = (y ∗ x) / x

즉, 다음과 같다.같은 원소를 기준으로 같은 쪽에 하나씩 차례로 배열하고 나누면 순효과는 없다.

따라서 (Q, ∗)이 첫 번째 정의에 따른 quas그룹이라면, (Q, ∗, \, /)는 유니버설 대수라는 의미에서 같은 quas그룹이다.그리고 그 반대: (Q, ∗, \, /)가 만능대수의 감각에 따른 quas그룹이라면, (Q, ∗)는 첫 번째 정의에 따른 quas그룹이다.

루프스

루프(loop)는 ID 요소를 가진 quas그룹이다. 즉, e, 다음과 같은 요소.

x ∗ e = x 및 e ∗ x = 모든 x의 Q.

아이덴티티 요소인 e가 고유하며, Q의 모든 요소에는 독특한 좌우 invers(동일할 필요는 없다)가 있다는 것을 따른다.

idempotent 요소를 가진 quas그룹을 pique("pointed idempotent quasgroups")라고 부른다. 이것은 quasgroups 곱셈이 pique (A, +)를 산출하고 그룹 정체성 (0)이 "pointed idempo"로 변하기 때문에, 예를 들어 quasigroup의 뺄 때 (A, A, +)를 사용하기 때문이다.텐트" (즉, 주 동위원소 (x, y, z) ↦ (x, -y, z)가 있다.)

연관성이 있는 루프는 그룹이다.그룹은 비 연관성 피케 동위원소를 가질 수 있지만 비 연관성 루프 동위원소를 가질 수는 없다.

특별한 이름이 부여된 더 약한 연상성 특성들이 있다.

예를 들어, 볼루프는 다음 중 하나를 만족하는 루프다.

x ∗ (y ∗ (x ∗ z) = (x ∗ (y ∗ x)) Q의 각 x, y, z에 대한 ∗ z,

또는 그 밖의

((z ∗ x) ∗ x = z ( (x y y) x x) Q(우측 볼 루프)의 각 x, y, z에 대해

좌우 볼루프인 루프는 무방루프다.이는 x, y, z를 모두 포함하는 다음과 같은 단일 Moufang ID 중 하나에 해당된다.

x ∗ (y ∗ (x ∗ z) = (x ∗ y) ∗ x) ∗ z,

z ∗ (x ∗ (y ∗ x) = (z ∗ x) ∗ x,

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ (y ∗ z) ∗ x) 또는

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x

대칭

(Smith 2007)는 다음과 같은 중요한 속성 및 하위 클래스의 이름을 지정한다.

반대칭

다음과 같은 동등한 정체성이 유지되는 경우 퀘이시그룹은 반대칭이다.

x ∗ y = y / x,

y ∗ x = x \ y,

x = (y ∗ x) ∗ y,

x = y ∗(x ∗ y).

이 클래스가 특별해 보일 수 있지만, 모든 Quasigroup Q는 다음 작업을 통해 직접 제품 큐브 Q에³ 반대칭 quasigroup QΔ를 유도한다.

(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot(y_{1},y_{2},y_{3}=(y_{3}/x_{2},\,y_{1}\백슬래시 \,x_{3},x_{1}\!*y_{2}=(x_{2}/\!/y_{3},\,x_{3}\백슬래시 \!\y_{1},\,x_{1}\!*y_{2}),

여기서 "/"와 "\\"는 $y/\!/x=x/y$ / $y/\!/x=x/y$ / $y/\!/x=x/y$ = x $y/\!/x=x/y$ / $y/\!/x=x/y$ $[\displaystyle$ y $/\!/x=x/y}$ 및 $y/\!/x=x/y$ $y\backslash \!\backslash x=x\backslash y$ $y\backslash \!\backslash x=x\backslash y$ ∖ $y\backslash \!\backslash x=x\backslash y$ = $y\backslash \!\backslash x=x\backslash y$ $y\backslash \!\backslash x=x\backslash y$ y $[\displaystyle$ y $\backslash \!\backslash x=x\backslash y}$ 가 제공하는 결합분할 연산이다 $y\backslash \!\backslash x=x\backslash y$

삼위일체

총대칭

더 좁은 세분류는 완전히 대칭적인 퀘이사그룹(TS-quas그룹이라고도 약칭)으로, 모든 결합체가 하나의 연산(x ∗ y = x / y = x \ y)으로 일치한다.완전히 대칭적인 퀘이시그룹을 정의하는 또 다른 방법은 반대칭 퀘이시그룹으로서, 이 역시 역호작용(x × ∗ y = y ∗ x)이다.

idempotent total symmetric quasigroups는 정확하게 (즉, steiner triple로 편향된) steiner quasigroups라고도 불리며, 때로는 squag로 축약되기도 한다.슬루프라는 용어는 루프에 대한 아날로그, 즉 x x x = x 대신 x x x = 1을 만족하는 완전히 대칭적인 루프를 가리킨다. idempensity가 없다면 총 대칭 퀘이머 그룹은 확장된 스테이너 3중(GECC)의 기하학적 개념에 해당하며, Generalized Elic Cubic Curve라고도 한다.

총대칭

모든 c, x, y ∈ Q에 대해 다음과 같은 두 가지 함축이 모두 유지된다면 quas그룹(Q, ∗)은 완전히 반대칭이라고 불린다.^[5]

(c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) x는 x = y를 암시한다.
x ∗ y = y ∗ x는 x = y를 의미한다.

첫 번째 함축적 의미만 있다면 그것은 약하게 완전히 대칭적이지 않다고 불린다.^[5]

이 특성은 예를 들어 댐 알고리즘에서 요구된다.

예

group x = b if and only if and only x = a if⁻¹ b, y = b if and only y = b if and⁻¹ only if and only if and only y = b if a.
뺄셈(-)이 있는 정수 Z(또는 이성적 Q 또는 reals R)는 퀘이시그룹을 형성한다.이러한 준집단은 정체성 요소가 없기 때문에 루프가 아니다(0은 - 0 = a이기 때문에 올바른 정체성이지만, 일반적으로는 0 - a ≠ a이기 때문에 왼쪽 정체성이 아니다).
nonzero는 Q(또는 nonzero reals R^×)를^× 분할(division)과 함께 quas그룹을 형성한다.
2와 같지 않은 특성 영역에 걸친 벡터 공간은 x ∗ y = (x + y) / 2 연산 하에서 idempotent, communative Quas그룹을 형성한다.
모든 Steiner 트리플 시스템은 idempotent, communative Quas그룹을 정의한다: : b는 a와 b를 포함하는 트리플의 세 번째 요소다.이들 quas그룹도 quas그룹 내의 모든 x와 y에 대해 (x ∗ y) ∗ y = x를 만족한다.이러한 퀘이머 그룹은 스타이너 퀘이저그룹으로 알려져 있다.^[6]
세트 {±1, ±i, ±j, ±k}, 여기서 ii = jyj = kk = +1은 쿼터니언 그룹에서와 같은 다른 모든 제품과 함께 순서 8의 비관련 루프를 형성한다.그 적용에 대해서는 쌍곡선 쿼터를 참조하십시오.( 쌍곡 쿼터니온 자체는 루프나 퀘이그룹을 형성하지 않는다.
0이 아닌 옥토니언은 곱하기 아래 비 연관성 루프를 형성한다.옥토니언은 무방 루프라고 알려진 특별한 형태의 루프다.
연관 퀘이시그룹은 비어 있거나 그룹이다. 적어도 하나의 요소가 있다면, 연관성과 결합된 퀘이시그룹 2진법의 역직성은 역 요소의 존재를 암시하고, 따라서 그룹의 세 가지 요구사항을 모두 만족시키기 때문이다.
다음 공사는 한스 자센하우스 덕분이다.3-element Galois 필드 F = Z/3Z 정의 위에 있는 4차원 벡터 공간 F의⁴ 기본 집합에서

(x₁, x₂, x, x₃₄₃) ∗ (y₁, y, y₄) = (x₁, x₂, x₃₄, x₂) + (y, y₂, y, y₃₄) + (0₁, 0, 0, (x₃ - y)(xy₃₁₂ - xy₂₁)

그렇다면 (F⁴, ∗)는 그룹이 아닌 교감 무방 루프다.^[7]

더 일반적으로, 어떤 분할 대수학에서 0이 아닌 요소들은 퀘이시그룹을 형성한다.

특성.

이 글의 나머지 부분에서는 간단히 대칭으로 quas그룹 곱셈을 나타낼 것이다.

Quas그룹에는 취소특성이 있다: ab = ac, b = c.이것은 a로 ab 또는 ac의 왼쪽 분할의 독특함에서 따온 것이다.마찬가지로 ba = ca이면 b = c.

quasigroups의 라틴 제곱 특성은 세 변수 중 두 변수 중 xy = z에 있는 변수를 고려할 때 세 번째 변수가 고유하게 결정된다는 것을 의미한다.

곱셈 연산자

quas그룹 정의는 좌우 곱셈 연산자 L_x, R_x: Q → Q에 의해 정의되는 조건으로 취급할 수 있다.

{\reasoned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aigned}}

그 정의는 두 매핑이 모두 Q에서 그 자체로 빗나간 것이라고 말한다.마그마 Q는 Q의 모든 x에 대해 이 모든 연산자들이 편향적일 때 정확하게 퀘이시그룹이다.역방향 매핑은 좌우분할, 즉,

{\reasoned}L_{x}^{-1(y)&=x\백슬래시 y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aigned}}}}

이 표기법에서 퀘이시그룹의 곱셈과 나누기 연산(범용대수학 섹션에 기술되어 있음) 사이의 정체성은 다음과 같다.

{\reasoned}L_{x}L_{x}^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=1\qquad &{\text{대응}}\qquad (yx)/x&=y\end}}}

여기서 1은 Q에 대한 ID 매핑을 나타낸다.

라틴 네모

10개의 요소가 0~9자리 숫자인 쿼즈그룹을 위한 순서 없는 곱셈표인 라틴 사각형.

유한 퀘이시그룹의 곱셈표는 라틴어 사각형이다. 각 기호가 각 행에서 정확히 한 번, 각 열에 정확히 한 번 발생하는 방식으로 n개의 다른 기호로 채워진 n × n 테이블이다.

반대로 모든 라틴어 사각형은 여러 가지 면에서 퀘이시그룹의 곱셈표로서 취할 수 있다. 테두리 행(열 머리글 포함)과 테두리 열(행 머리글 포함)은 각각 요소의 순열이 될 수 있다.작은 라틴어 사각형 및 Quas그룹을 참조하십시오.

무한 퀘이소그룹

무한정 quas그룹 Q의 경우, 모든 행과 모든 열이 Q의 어떤 요소 q에 대응하고, 요소 a*b가 a와 b에 대응되는 행에 있는 무한 배열을 상상할 수 있다.이러한 상황에서도 라틴 스퀘어 속성은 각 행과 무한 배열의 각 열에는 한 번 정확하게 가능한 모든 값이 포함될 것이라고 말한다.

곱셈에 의한 0이 아닌 실수의 그룹과 같이 헤아릴 수 없을 정도로 무한한 퀘이시그룹의 경우, 실수는 모두 기록할 수 없기 때문에 무한 배열에 대한 위의 아이디어가 확장되는 조합의 배열을 생산할 수 없기 때문에 이름이 다소 불만족스럽기는 하지만, 라틴 사각형 속성은 여전히 유지되고 있다.한 줄의 순서(그러나 이는 다소 오해의 소지가 있는 것으로, 실제는 양호한 순서 정리 ${\mathfrak {c}}$ Well-Ordering Organization)를 가정하여 길이 ${\mathfrak {c}}$ ${\$ 의 순서로 작성할 수 있다.)

역특성

퀘이시그룹의 이진 연산은 좌우 곱셈 $L_{x}$ 인 $R_{x}$ L x ${\$ 와 $L_{x}$ $R_{x}$ x $R_{x}$ {\ $displaystyle R_{x}}$ 둘 다 비주사적이며, 따라서 반전성이 있다는 점에서 불가역적이다.

모든 루프 요소에는 다음과 같은 고유한 왼쪽과 오른쪽 역이 있다.

x^{\putda }=e/x\qquad x^{\putda }x=e

x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e

모든 x에 대해 $x^{\lambda }=x^{\rho }$ $x^{\lambda }=x^{\rho }$ ρ $x^{\lambda }=x^{\rho }$ = $x^{\lambda }=x^{\rho }$ {\ $displaystyle x$ ^{\ $lambda }=x$ ^{\rho $}}}.$ 이 경우 역소자는 대개 $x^{-1}$ - 1 ${\$ x $^{-1}$ 로 표시된다 $x^{-1}$

루프에는 종종 유용한 인버에 대한 몇 가지 강한 관념이 있다.

A loop has the left inverse property if $x^{\lambda }(xy)=y$ for all $x$ and $y$ . Equivalently, $L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}$ or $x\backslash y=x^{\lambda }y$ .
A loop has the right inverse property if $(yx)x^{\rho }=y$ for all $x$ and $y$ . Equivalently, $R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}$ or $y/x=yx^{\rho }$ .
A loop has the antiautomorphic inverse property if $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ or, equivalently, if $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$ .
A loop has the weak inverse property when $(xy)z=e$ if and only if $x(yz)=e$ . This may be stated in terms of inverses via $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ or equivalently $x(yx)^{\rho$ $=y^{\rho$ $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$

루프는 왼쪽과 오른쪽의 역 속성을 모두 가질 경우 역 속성을 가진다.역속성 루프는 또한 반정형성과 약한 역속성을 가지고 있다.실제로 위의 네 가지 정체성 중 두 가지를 만족시키는 어떤 루프도 역효과를 가지므로 네 가지 정체성 모두를 만족시킨다.

왼쪽, 오른쪽 또는 반공동형 역 특성을 만족시키는 모든 루프는 자동으로 양면 인버스를 가진다.

형태론

quas그룹 또는 roop homorphism은 f(xy) = f(x)f(y)와 같은 두 quas그룹 사이의 지도 f : Q → P이다.퀘이시그룹 동형성은 신분적 요소(존재하는 경우)뿐만 아니라 좌우분할도 반드시 보존한다.

호모토피 및 동위원소

Q와 P를 quas그룹으로 하자.Q에서 P까지의 퀘이시그룹 호모토피는 Q에서 P까지의 지도의 3배(α, β, γ)로, 다음과 같다.

[\displaystyle \cHB\\cHB=\cHB=\cHB(xy)\,}

모든 x에 대해, y는 Q. quas그룹 동형성은 세 개의 지도가 동일한 호모토피일 뿐이다.

동위원소법은 세 가지 지도(α, β, γ) 각각이 바이어스인 호모토피다.두 개의 퀘이소그룹 사이에 동위원소가 있으면 동위원소다.라틴 사각형 측면에서 동위원소(α, β, γ)는 행 α의 순열, 컬럼 β의 순열, 기저요소 집합 set의 순열로 주어진다.

자동 복사는 퀘이소그룹에서 그 자체로 동위원소다.퀘이시아그룹의 모든 오토토피 세트는 오토모피즘 그룹을 하나의 하위 그룹으로 형성한다.

모든 퀘이시그룹들은 동위원소처럼 순환한다.만약 루프가 그룹에 동위원소라면, 그것은 그 그룹에 이형성이므로 그 자체가 하나의 그룹이다.그러나 그룹에 동위원소인 퀘이시그룹은 그룹이 될 필요가 없다.예를 들어 (x + y)/2가 주는 곱셈을 가진 R의 quas그룹들은 첨가 그룹(R, +)에 동위원소이지만, 그 자체는 집단이 아니다.모든 메디알 퀘이시아 그룹은 브루크-토요다 정리에 의해 아벨 그룹과 동위원소다.

결합(파라스트로피)

좌우분할은 정의 방정식의 변수를 허용하여 퀘이시그룹을 형성하는 예다.원래 연산 ∗ (즉, x ∗ y = z)로부터 우리는 x o := y ∗ x (반대 연산), / 및 \, 그리고 그들의 반대되는 5개의 새로운 연산 을 구성할 수 있다.이로써 six의 결합체 또는 파라스트로피라고 불리는 총 6개의 quasigroup 연산을 하게 된다.이 두 가지 작전 중 어느 것이든 서로(그리고 자신들에게) '콘주게이트' 또는 '기생충'이라고 한다.

이소스트로피(파라토피)

세트 Q에 quasigroup 연산 operations과 ·가 2개 있고, 그 중 하나가 다른 quasgroup 연산자의 결합에 동위원소인 경우, 그 연산은 서로 등가성적이라고 한다.또한 "이소스트로피"와 같은 "이소스트로피"의 관계를 위한 많은 다른 이름들이 있다.

일반화

폴리아디드 또는 다중 퀘이시아그룹

n-ary quas그룹(n-ary quas그룹)은 n-ary 연산(Q, f)과 f: Qⁿ → Q를 갖는 집합으로, 다른 n 변수를 모두 임의로 지정할 경우 f(x₁,...,x_n) = y 등식이 하나의 변수에 대해 고유한 솔루션을 갖도록 한다.다의수 또는 다의수란 일부 비음수 정수 n에 대해 n-ary를 의미한다.

0-arli 또는 무효 quas그룹이란 Q의 상수 요소일 뿐이다. 1-arli 또는 단-일-Quas그룹이란 Q 그 자체에 대한 Q의 편향이다.2진수 또는 2진수 퀘이그룹(Quasigroup)은 일반적인 퀘이그룹이다.

다중 퀘이시그룹(multiary quasigroup)의 예로는 반복적인 그룹 운영(y₁ = x₂ · x · ····x_n)이 있다. 그룹이 연관성이 있기 때문에 운영 순서를 지정하기 위해 괄호를 사용할 필요는 없다.또한 운용 순서가 지정되면 동일하거나 다른 그룹 또는 퀘이즈그룹 운영의 어떤 시퀀스를 수행함으로써 다단계 퀘이즈그룹을 형성할 수 있다.

이러한 어떤 방식으로도 대표할 수 없는 다단계 퀘이시그룹이 존재한다.n-ary quas그룹(n-ary quasgroup)은 다음과 같은 방법으로 그 운영을 두 운영의 구성에 반영할 수 없는 경우 다시 설명할 수 없다.

f(x_{1},\reason,x_{n})=g(x_{1},\x_{i-1},\,h(x_{i},\x_{j}),\,x_{j+1},\x_{n}),

여기서 1 ≤ i < j ≤ n과 (i, j) ≠ (1, n)유한한 n-ary quas그룹들이 n > 2 모두에 존재한다. 자세한 내용은 아키비스와 골드버그(2001)를 참조한다.

n-ari quas그룹과 n-ari 버전의 연관성을 가진 n-ari quas그룹을 n-ari 그룹이라고 부른다.

오른쪽 및 왼쪽 Quas그룹

우익수 그룹(Q, ∗, /)은 y = (y / x) ∗ x; y = (y ∗ x) / x 두 정체성을 모두 만족하는 유형(2,2) 대수다.

이와 유사하게, 좌 콰스그룹(Q, ∗, \)은 y = x ∗ (x \ y); y = x \ (x y y) 두 정체성을 모두 만족하는 유형(2,2) 대수다.

소규모 Quas그룹 및 루프 수

소규모 퀘이시아 그룹(OEIS의 경우 순서 A057991)과 루프(OEIS의 경우 순서 A057771)의 이형성 등급 수는 다음과 같다.^[8]

주문	퀘이시그룹 수	루프 수
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1,411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2,697,818,331,680,661	106,228,849
9	15,224,734,061,438,247,321,497	9,365,022,303,540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

참고 항목

분할 링 – 0이 아닌 모든 원소가 승법 역수를 갖는 반지
Sem그룹 – 연관 이항 연산과 함께 집합으로 구성된 대수적 구조
모노이드 – ID 요소를 가진 세미그룹
평면 테너리 링 – 적층 및 승법 루프 구조
루프이론과 퀘이시그룹 이론의 문제점
스도쿠의 수학

메모들

^ 스미스 2007, 3페이지 26-27
^ H. Rubin; J. E. Rubin (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II. Elsevier. p. 109.
^ Pflugfelder 1990, 페이지 2
^ 브룩 1971 페이지 1
^ ^a ^b Damm, H. Michael (2007). "Totally anti-symmetric quasigroups for all orders n≠2,6". Discrete Mathematics. 307 (6): 715–729. doi:10.1016/j.disc.2006.05.033.
^ Colbourn & Dinitz 2007, 페이지 497, 정의 28.12
^ Romanowska, Anna B.; Smith, Jonathan D. H. (1999), "Example 4.1.3 (Zassenhaus's Commutative Moufang Loop)", Post-modern algebra, Pure and Applied Mathematics, New York: Wiley, p. 93, doi:10.1002/9781118032589, ISBN 978-0-471-12738-3, MR 1673047.
^ McKay, Brendan D.; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007). "Small Latin squares, quasigroups, and loops" (PDF). J. Comb. Des. 15 (2): 98–119. CiteSeerX 10.1.1.151.3043. doi:10.1002/jcd.20105. Zbl 1112.05018.

참조

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Dudek, W.A.; Glazek, K. (2008). "Around the Hosszu-Gluskin Theorem for n-ary groups". Discrete Math. 308 (21): 4861–76. arXiv:math/0510185. doi:10.1016/j.disc.2007.09.005. S2CID 9545943.
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외부 링크

퀘이소그룹
"Quasi-group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] 스미스 2007, 3페이지 26-27

[2] H. Rubin; J. E. Rubin (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II. Elsevier. p. 109.

[3] Pflugfelder 1990, 페이지 2

[4] 브룩 1971 페이지 1

[Damm2007-5] Damm, H. Michael (2007). "Totally anti-symmetric quasigroups for all orders n≠2,6". Discrete Mathematics. 307 (6): 715–729. doi:10.1016/j.disc.2006.05.033.

[6] Colbourn & Dinitz 2007, 페이지 497, 정의 28.12

[7] Romanowska, Anna B.; Smith, Jonathan D. H. (1999), "Example 4.1.3 (Zassenhaus's Commutative Moufang Loop)", Post-modern algebra, Pure and Applied Mathematics, New York: Wiley, p. 93, doi:10.1002/9781118032589, ISBN 978-0-471-12738-3, MR 1673047.

[8] McKay, Brendan D.; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007). "Small Latin squares, quasigroups, and loops" (PDF). J. Comb. Des. 15 (2): 98–119. CiteSeerX 10.1.1.151.3043. doi:10.1002/jcd.20105. Zbl 1112.05018.

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