루프 동위원소

추상 대수학의 수학적 분야에서 동위원소법은 루프의 대수적 개념을 분류하는 데 사용되는 동등성 관계다.

루프와 퀘이시그룹을 위한 동위원소는 알제브라의 동위원소에 대한 조금 전의 정의를 바탕으로 알베르트(1943)에 의해 소개되었고, 알제브라의 작업에 의해 차례로 영감을 받았다.

퀘이소그룹 동위원소

각 퀘이시그룹들은 동위원소로 되어 있다.

$({\displaystyle Q}$ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (Q,\cdot )}$ 및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \circ }$) ${\displaystyle (P,\circ )}$을(를) 쿼즈그룹으로 한다$$.Q에서 P까지의 퀘이시그룹 호모토피는 Q에서 P까지의 지도의 3배(α, β, γ)로, 다음과 같다.

$\displaystyle \displaystyle \property(x)\display \cdot y)\,}$

모든 x에 대해, y는 Q. quas그룹 동형성은 세 개의 지도가 동일한 호모토피일 뿐이다.

동위원소법은 세 가지 지도(α, β, γ) 각각이 바이어스인 호모토피다.두 개의 퀘이소그룹 사이에 동위원소가 있으면 동위원소다.라틴 사각형 측면에서 동위원소(α, β, γ)는 행 α의 순열, 컬럼 β의 순열, 기저요소 집합 set의 순열로 주어진다.

autotopy는 quasigroup${\displaystyle }$(${\displaystyle Q}$,${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle (Q,\cdot )}$의 동위원소 자체를 의미한다.퀘이시아그룹의 모든 오토토피 세트는 오토모피즘 그룹을 하나의 하위 그룹으로 형성한다.

주 동위원소는 γ이 Q의 ID 맵인 동위원소다.이 경우 퀘이시그룹의 기본 집합은 동일해야 하지만 승수는 다를 수 있다.

루프 동위원소

$({\displaystyle L}$ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (L,\cdot )}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \circ }$) ${\displaystyle (K,\circ )}$은$({\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$)${\displaystyle }$: L${\displaystyle }$→ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ):$$L\to$ K$}$는 동위원소다.Then it is the product of the principal isotopy ${\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)}$ from ${\displaystyle (L,\cdot )}$ and ${\displaystyle (L,*)}$ and the isomorphism ${\displaystyle \gamma }$ between ${\displaystyle (L,*)}$ and ${\dis$$playstyle (K,\circ )}$. Indeed, put ${\displaystyle \alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha }$, ${\displaystyle \beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta }$ and define the operation ${\displaystyle *}$ by ${\displaystyle x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \be$$ta ^{-1}\pair (y)}$.

Let ${\displaystyle (L,\cdot )}$ and ${\displaystyle (L,\circ )}$ be loops and let e be the neutral element of ${\displaystyle (L,\cdot )}$. Let ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,id)}$ a principal isotopy from ${\displaystyle (L,\cdot )}$ to ${\displa$$ystyle(L,\circle$ $)\}.$그 다음 ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$= R -${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle$ $\alpha =R_{b}^{-1$$},$ $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle L_{}^{}}$ a${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$ =$L_{a}^{-1} 여기$서 $a$ =${\displaystyle \alpha }$(${\displaystyle }$e $){\displaystystystyle a=\$$alpha(e$).

루프 L은 모든 루프 동위원소에 이형성인 경우 G 루프다.

루프의 의사-자형성

L을 하나의 루프로서 c의 요소가 되게 하라 L의 편향 α는 모든 x에 대해 y의 정체성을 갖는 동반요소 c와 함께 L의 올바른 사이비-자율주의라고 불린다.

${\displaystyle \c=\c=\c(x)(\displaystyle (y)c)}$

하나는 왼쪽 사이비-자율주의를 유사하게 정의한다.

범용 속성

우리는 루프 속성 P가 동위원소 불변성인 경우, 즉 P가 L의 모든 루프 동위원소를 보유하는 경우에만 루프 L을 보유한다고 말한다. 분명히, L의 모든 주요 동위원소를 보유하는지는 P가 보유하는 것으로 충분하다.

예를 들어, 역류 루프의 동위원소는 역류할 필요가 없으므로 역류성은 보편적이지 않다.그러나 연상성과 아벨 그룹이라는 것은 보편적인 특성이다.사실 모든 그룹은 지루프다.

동위원소의 기하학적 해석

루프 L이 주어지면 3-넷이라고 하는 입사 기하학적 구조를 정의할 수 있다.반대로, 출발지와 라인 클래스의 순서를 고친 후, 3-넷은 루프를 발생시킨다.다른 원점을 선택하거나 라인 클래스를 교환하면 비이형 좌표 루프가 발생할 수 있다.그러나 좌표 루프는 항상 동위원소다.즉, 두 루프는 기하학적 관점에서 동일할 경우에만 동위원소라는 것이다.

대수학 개념과 기하학 개념 사이의 사전은 다음과 같다.

• 루프의 오토토피즘 그룹은 3-넷의 콜라인을 보존하는 그룹 방향에 해당한다.
• 의사-자성형은 좌표계의 두 축을 고정하는 선형에 해당한다.
• 동반 원소 집합은 콜라인먼트 그룹에서 축의 안정화 궤도다.
• 3-넷의 포인트 세트에서 콜라인먼트 그룹이 전이적으로 작용하는 경우에만 루프가 G-루프다.
• 속성 P는 기원의 선택에 따라 독립적일 경우에만 보편적이다.

참고 항목

• 대수 동위원소

참조

• Albert, A. A. (1943), "Quasigroups. I.", Trans. Amer. Math. Soc., 54: 507–519, doi:10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7, MR 0009962
• Kurosh, A. G. (1963), Lectures on general algebra, New York: Chelsea Publishing Co., MR 0158000