무방루프

수학에서 무방루프는 특별한 종류의 대수적 구조다.그것은 여러 면에서 그룹과 비슷하지만 연상될 필요는 없다.무방 루프는 루스 무방(1935년)에 의해 도입되었다.부드러운 무방 루프는 연관 대수인 말체프 대수를 가지고 있는데, 어떤 면에서는 리 그룹이 관련 리 대수학을 갖는 방법과 유사하다.

정의

무방루프는 Q의 모든 x, y, z에 대해 다음과 같은 4개의 등가물성을 만족시키는 루프 Q이다(Q의 2진법 운영은 대등사치로 표시됨).

1. z(x(zy) = (zx)z)y
2. x(z)(yz) = ((xz)y)z
3. (zx)(yz) = (z(xy))z
4. (zx)(yz) = z((xy)z)).

이러한 정체성은 무방 정체성으로 알려져 있다.

예

• 어떤 집단이든 연관 고리여서 무방 루프다.
• 논제로 옥토니언은 옥토니언 곱셈 아래 비 연관성 있는 무방 루프를 형성한다.
• 단위규격 옥토니언의 부분집합(O에서 7-sphere를 형성함)은 곱셈으로 닫히므로 Moufang 루프를 형성한다.
• 단위 규범 적분 옥토니언의 부분집합은 순서 240의 유한 무방 루프다.
• 기본 옥톤과 그 첨가물은 순서 16의 유한 무방 루프를 형성한다.
• 불변성 스플릿-옥톤 집합은 단위 노르말 스플릿-옥톤 집합과 마찬가지로 비 연관성 있는 무방 루프를 형성한다.보다 일반적으로, 필드 F에 대한 어떤 옥토니언 대수에서든 반전성 원소 집합은 단위 규범 원소의 부분집합과 마찬가지로 무우팡 루프를 형성한다.
• 대체 고리 R에 있는 모든 회전 불가능한 요소들의 집합은 R에 있는 단위들의 루프라고 불리는 무우팡 루프를 형성한다.
• 어떤 분야든 F에 대해 M(F)은 F에 대한 분할-옥토니언 대수에서 단위 규범 원소의 무방 루프를 나타낸다.Z는 M(F)의 중심을 나타내도록 한다.F의 특성이 2이면 Z = {e}, 그렇지 않으면 Z = {±e}.페이지 루프 오버 F는 루프 M*(F) = M(F)/Z이다.페이지 루프는 연관성이 없는 단순한 무방 루프다.모든 유한 비 연관성 있는 간단한 무방 루프는 유한한 분야에 걸친 페이지 루프다.가장 작은 페이지 루프 M*(2)의 순서는 120이다.
• 비연관 무방 루프는 다음과 같이 대규모로 시공할 수 있다.G를 임의의 집단이 되게 하라.G에 없는 새 원소 u를 정의하고 M(G,2) = G ∪(G u)로 한다.M(G,2)의 제품은 G의 일반적인 원소 제품과 함께 주어진다.

  ${\displaystyle (gu)h=(gh^{-1}u}$

  ${\displaystyle g(hu)=(hg)u}$

  ${\displaystyle (구)=h^{-1}g.}$

이어 ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$2 = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle u$^{$2}=$1$$}, ${\displaystyle u}$g =${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ u$${\$displaystyle ug=g^{-1$ 위의 제품 M(G,2)은 Moufang 루프다.그것은 G가 아벨리안인 경우에만 연상된다.

• 비 연관성 무방 루프가 가장 작은 것은 순서 12가 있는 M(S₃, 2)이다.
• 리처드 A. 파커는 주문 2의¹³ 무방 루프를 만들었는데, 콘웨이가 몬스터 그룹을 만들 때 사용했던 것이다.파커의 루프에는 1, -1로 표시된 원소가 있는 순서 2의 중심이 있으며, 그 중심에 의한 몫은 이진 골레이 코드로 식별되는 순서¹² 2의 초등 아벨리아 그룹이다.그런 다음 루프는 방정식에 의해 이형성까지 정의된다.

  A² = (−1) ^{A /4}

  BA = (−1) ^{A∩B /2}AB

  A(BC)=(-1)( ^A∩B∩C AB)C

여기서 A는 코드 워드 A 등의 요소 수입니다.자세한 내용은 Conway, J. H., Curtis, R. T., Norton, S. P., P., Parker, R. A. 및 Wilson, R. A.를 참조하십시오.유한집단의 지도책: 단순집단을 위한 최대 부분군 및 일반 문자.영국의 옥스퍼드.

특성.

연관성

무방 루프는 연상될 필요가 없다는 점에서 그룹별로 차이가 있다.연관성이 있는 무방루프는 그룹이다.Moufang 정체성은 더 약한 형태의 연상이라고 볼 수 있다.

정체성에 다양한 요소를 설정함으로써, 무방 정체성은 암시한다.

• x(xy) = (xx)y 왼쪽 대체 ID
• (xy)y = x(yy) 오른쪽 대체 ID
• x(yx) = (xy)x의 유연한 정체성(유연한 대수 및 대체 대수 참조).

무팡의 정리에는 무방루프의 세 원소 x, y, z가 연관 법칙을 따를 때: (xy)z = x(yz) 그러면 그들은 연관성 하위 루프, 즉 집단을 생성한다고 되어 있다.이것의 핵심은 모든 무우팡 루프가 연관성이 있다는 것이다(즉, 무우팡 루프의 어떤 두 요소에 의해 생성되는 서브루프는 연관성이 있고 따라서 그룹이다).특히 무방 루프는 파워 연관성이 있어 파워 x가ⁿ 잘 규정돼 있다.무방 루프를 사용할 때는 괄호를 두 개의 뚜렷한 요소만 가진 표현으로 떨어뜨리는 것이 일반적이다.예를 들어, 무방정신은 다음과 같이 명료하게 쓰여질 수 있다.

1. z(x(zy) = (zxz)y
2. ((xz)y)z = x(zyz)
3. (zx)(yz) = z(xy)z.

좌우 곱하기

무팡 아이덴티티는 Q에 좌우 곱셈 연산자로 쓸 수 있다.처음 두 신분은 다음과 같이 말하고 있다.

• ${\displaystyle L_{z}L_{x}L_{z}(y)=L_{zxz}(y)}$
• ${\displaystyle R_{z}R_{y}R_{z}(x)=R_{zyz}(x)}$

제3의 신분에서 말한다면.

• ${\displaystyle L_{z}(x)R_{z}(y)=B_{z}(xy)}$

모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\$$displaystyle Q}$의 Q ${\$displaystyle $x,y,z$$\}.$ 여기서 ${\displaystyle B_{}}$ $z{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ z ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle z_{}{}_{}}$= R ${\displaystyle z_{}}$ ${\$${$$z}}}}}}}}}}$는 {\$displaysty$ z$}$에 의한 바이멀티플렉스 스타일 z}이다$.$따라서 세 번째 Moufang ID는 트리플$({\displaystyle L_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle R_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(L_{z},R_{z},B_{z}}}$이(가) $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$의 모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ z$}$에 대한$$ $Q{\displaystyle }$ ${\displaystystytylean$ Q$}$의 자동 복사라는$$ 문구와 동등하다$.$

역특성

모든 Moufang 루프에는 역속성이 있으며, 이는 각 원소 x가 정체성을 만족하는 양면 역 x를⁻¹ 가지고 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}$

모든 x와 y에 대해${\displaystyle {\mathrm{다음}}^{}}$에 (${\displaystyle }$x y${\displaystyle {}^{}}$) -${\displaystyle {}^{}}$1${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$$displaystyle$$(xy)^{-1}=y^{-$1}=$y-1$}^{-1${\displaystyle \},}$$x$ (${\displaystyle y}$z${\displaystyle }$) = ${\displaystyle e}$ ${\$$displaystyle$x$(yz$$)=$$e}$이($)$인 경우에만$$ 해당된다$.$

Moufang 루프는 역속성 루프 사이에서 보편적이다. 즉, 루프 Q는 Q의 모든 루프 동위원소가 역속성을 갖는 경우에만 Moufang 루프다.만약 그 뒤를 따른다면, Moufang 루프의 모든 루프 동위원소는 Moufang 루프다.

인버스(inverses)를 사용하여 보다 유용한 형태로 좌우 무방 정체성을 다시 쓸 수 있다.

• ${\displaystyle (xy)z=(xz^{-1})(zyz)}$
• ${\displaystyle x(yz)=(xyx)(x^{-1}z).}$

라그랑주 속성

유한 루프 Q는 Q의 모든 서브루프 순서가 그룹 이론에서 Q. 라그랑주의 정리 순서를 나눈다면 라그랑주 속성을 갖는다고 한다.유한한 무방 루프가 라그랑주 재산을 가지고 있는지 아닌지는 여러 해 동안 공공연한 문제였다.그 문제는 알렉산더 그리쉬코프와 안드레이 자바니친에 의해 마침내 해결되었고, 스테판 가골라 3세와 조나단 홀에 의해 독립적으로 2003년에: 모든 유한 무팡 루프는 라그랑주 재산을 가지고 있다.스테판 가골라 3세에 의해 유한집단의 이론에 대한 더 많은 결과가 무방 루프로 일반화되었다.

무방 퀘이시그룹

무우팡 정체성 중 하나를 만족하는 퀘이시그룹은 사실 정체성 요소가 있어야 하며, 따라서 무우팡 루프여야 한다.제3의 신원에 대한 증거를 제시한다.

a를 Q의 어떤 요소가 되게 하고, e를 ae = a와 같은 고유한 요소가 되게 한다.

그런 다음 Q의 모든 x에 대해 (xa)x = (x(ae)x = (xa)(ex)

왼쪽의 xa를 취소하면 e가 왼쪽 ID 요소가 되도록 x = ex가 주어진다.

Q의 y에 대해 ye = (ey)(ee) = (e(ye) = e(ye)e = (ye)e = (ye)e = (ye)e = (ye)e.

오른쪽의 e를 취소하면 y = y가 되기 때문에 e도 올바른 ID 요소다.

따라서 e는 양면적인 정체성 요소다.

처음 두 개의 정체성에 대한 증거는 다소 더 어렵다(Kunen 1996).

문제 열기

필립스의 문제는 J. D가 제시한 이론에서 공공연한 문제다.Phillips at Loops in Pragha. 03. 프라하사소한 핵을 가진 홀수 질서의 유한한 무방 루프가 존재하는지 묻는다.

Recall that the nucleus of a loop (or more generally a quasigroup) is the set of ${\displaystyle x}$ such that ${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$, ${\displaystyle y(xz)=(yx)z}$ and ${\displaystyle y(zx)=(yz)x}$ hold for all ${\displaystyle y,z}$ in the 루프

참고 항목: 루프 이론 및 Quas그룹 이론의 문제

참고 항목

• 말체프 대수
• 볼루프
• 자이로그룹
• 무방 비행기
• 무방 폴리곤

참조

외부 링크

• GAP용 LOOPS 패키지 이 패키지에는 81개까지 주문할 수 없는 무방 루프가 모두 들어 있는 라이브러리가 있다.
• "Moufang loop". PlanetMath.