분할대수학

추상대수라고 불리는 수학 분야에서, 분업대수는 대략적으로 말하면 0을 제외한 분업이 항상 가능한 분야에 대한 대수다.

정의들

정식으로, 우리는 한 분야에 대한 0이 아닌 대수 D로 시작한다. 만약 어떤 원소 a in D와 non-zero 원소 b에 대해 a = bx와 함께 D에 정확히 하나의 원소 x가 존재한다면 우리는 D를 분할 대수라고 부른다.

연관성 알헤브라의 경우, 정의는 다음과 같이 단순화할 수 있다: 한 분야에 대한 비영합성 대수학은 그것이 승법적 정체성 원소 1과 모든 비영점 원소 a가 승법적 역(즉, 도끼 = xa = 1)을 갖는 경우에만 분할 대수학이다.

연합 분열 알헤브라스

연관성 분열 알헤브라의 가장 잘 알려진 예는 유한차원 실재(즉, 실수의 필드 R 위에 있는 알헤브라, 실수에 대한 벡터 공간으로서 유한차원)이다. 프로베니우스 정리는 이형성까지 실체 그 자체(차원 1)와 복합수 분야(차원 2)와 쿼터니온(차원 4)의 3가지 알제브라가 있다고 명시하고 있다.

웨더번의 작은 정리는 D가 유한분할 대수라면 D는 유한장이라고 명시하고 있다.^[1]

대수적으로 폐쇄된 필드 K(예를 들어 복합수 C) 위에 K 자체를 제외하고 유한차원 연관성 분할 알헤브라는 없다.^[2]

연합 분열 알헤브라는 0점자가 없다. 유한차원 단이탈적 연관 대수(어느 분야에 걸쳐)는 0점수가 없는 경우에만 분할 대수다.

A가 필드 F에 대한 연관성 단수대수이고 S가 A에 대한 단순한 모듈일 때마다 S의 내형성 링은 F에 대한 분할 대수다; F에 대한 모든 연관성 분열 대수들은 이러한 방식으로 발생한다.

K분야에 대한 연관분업 대수 D의 중심은 K를 포함하는 분야다. 그러한 대수의 중심 위 치수는 유한하다면 완벽한 사각형이다: 중심 위 D의 최대 하위장 치수의 제곱과 같다. 필드 F를 부여하면 중심이 F이고 F보다 유한한 단순(사소한 양면 이상만 포함) 연관성 분열 알헤브라의 브라워 등가 등급이 그룹 F로 바뀔 수 있다.

임의의 분야 위에 유한차원 연관성 분할 알헤브라를 구성하는 한 가지 방법은 쿼터니온 알헤브라스(쿼터니온 참조)에 의해 주어진다.

무한차원 연상분할 알헤브라의 경우, 가장 중요한 경우는 공간 위상이 어느 정도 합리적인 경우다. 표준 분할 알헤브라와 바나흐 알헤브라를 참조하십시오.

반드시 연관성 있는 분할 알헤브라는 아니다.

분할 대수학이 연관성이 있다고 가정하지 않는 경우, 일반적으로 일부 약한 조건(대체성 또는 전력 연관성 등)이 대신 부과된다. 그러한 조건의 목록은 한 필드의 대수학을 참조하라.

실재 위에 (이소모르프까지) 오직 두 개의 단일합성 유한차원 분열 알헤브라가 있다: 실재 그 자체와 복잡한 숫자. 이것들은 물론 두 가지 모두 연상이다. 연관성이 없는 예제의 경우, 일반적인 곱셈의 복잡한 결합을 통해 정의된 곱셈이 있는 복잡한 수를 고려하십시오.

${\displaystyle a*b={\overline {ab}.}$

이것은 실제보다 차원 2의 교감적 비 연관적 분할 대수학이며, 단위 요소가 없다. 다른 비이형성 교감, 비 연관성, 유한차원 실제 분열 알헤브라는 무한히 많지만, 모두 차원 2를 가지고 있다.

사실, 모든 유한차원 실제 역분할대수는 1차원 또는 2차원이다. 이것은 홉프의 정리라고 알려져 있으며, 1940년에 증명되었다. 그 증거는 위상으로부터의 방법을 사용한다. 비록 나중에 대수기하를 이용한 증거가 발견되었지만, 직접적인 대수기법은 알려져 있지 않다. 대수학의 근본적인 정리는 홉의 정리의 진원이다.

호프 박사는 공통성의 요구조건을 버리고 다음과 같은 결과를 일반화했다. 모든 유한 차원 실제 분할 대수에는 2차원의 힘이 있어야 한다.

이후의 연구는 사실상 어떤 유한차원 실분할 대수학은 차원 1, 2, 4, 8이어야 한다는 것을 보여주었다. 이것은 1958년 미셸 케르베어와 존 밀너에 의해 독립적으로 증명되었고, 다시 대수적 위상, 특히 K 이론의 기법을 사용하였다. 아돌프 후르비츠는 1898년 ${\displaystyle q\stackrel{\text{'}}{}}$ ${\displaystyle =}$ $q$의 ${\$차원에 대해서만 보유함을 보여$$ 주었다(^[3]후르비츠의 정리 참조). 3차원의 분할대수를 건설하는 문제는 몇몇 초기 수학자들에 의해 다루어졌다. 케네스 O. May는 1966년에 이러한 시도들을 조사했다.^[4]

실제에 대한 모든 실제 유한차원 분할 대수는 다음과 같아야 한다.

• 단일 및 유사인 경우 R 또는 C와 이형(균등: 연관성 및 유사성)
• 비확정적이지만 연관성이 있는 경우 쿼터에 이형적인
• 비연관적이지만 대체적인 경우 8진법과 이형성이 있다.

필드 K에 대한 유한차원 분할 대수 A의 치수에 대해서는 다음과 같이 알려져 있다.

• 딤 A = 1 K가 대수적으로 닫힌 경우,
• 딤 A = K가 실제로 닫힌 경우 1, 2, 4 또는 8
• 만약 K가 대수학적으로나 실제적으로 닫히지 않는다면, K 위에 분열 알헤브라가 존재하는 차원은 무한히 많다.

참고 항목

• 규범분할대수학
• 분할(수학)
• 디비전 링
• 세미필드
• 케이리-딕슨 건설

메모들

참조

• Cohn, Paul Moritz (2003). Basic algebra: groups, rings, and fields. London: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-85729-428-9. ISBN 978-1-85233-587-8. MR 1935285.
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2 ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

외부 링크

• "Division algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]