연속분율

Continued fraction
유한한 정규 연속분수(n은 음이 아닌 정수, 0})은 ,i(\a_{i})는 양의 정수입니다( , i= n

수학에서 연속분수는 어떤 숫자를 정수 부분의 합과 다른 숫자의 역수로 표현하고, 다른 숫자를 정수 부분의 합과 다른 역수의 합으로 쓰는 반복 과정을 통해 얻어지는 이다.[1]유한한 연속분수(또는 종료된 연속분수)에서 반복/재귀는 다른 연속분수 대신 정수를 사용하여 최종적으로 많은 단계를 거쳐 종료된다.반대로 무한 연속 분수는 무한 표현이다.두 경우 모두 첫 번째 정수를 제외한 수열의 모든 정수는 양수여야 합니다. 연속분수의 [2]계수 또는 항이라고 합니다.

일반적으로 모든 분수의 분자는 1이라고 가정한다.분모에서 하나 이상의 분자 또는 정수 대신 임의의 값 및/또는 함수를 사용할 경우 결과식은 일반화 연속분수가 됩니다.첫 번째 형태와 일반화된 연속 분수를 구별할 필요가 있을 때, 전자는 단순 또는 규칙적인 연속 분수로 불릴 수도 있고, 표준적인 형태로 불릴 수도 있다.

연속 분수는 정수 또는 실수에 대한 유클리드 알고리즘과 관련된 많은 주목할 만한 특성을 가지고 있다.모든 유리수 P{p\displaystyle}/q{\displaystyle q}의 계수(p, q){\displaystyle(p,q)}. 무한 연분 수의 숫자 값인나 무리한 유클리드 알고리즘 적용하여 결정할 수 있는 일들은 한정된 연분 수,로, 그것의 무한한 seque에서 정의된다 두개의 밀접하게 관련된 표현이 있다.n유한 연속 분수에 대한 일련의 값의 한계로서 정수의 ce.수열의 각 유한 연속 분수는 무한 연속 분수의 정의 수열의 유한 접두사를 사용하여 얻을 수 있다.또한 모든 α(\ \alpha)는 고유한 무한 정규 연속 분수의 값이며, 그 계수는 불연속 α(\ 1에 적용되는 유클리드 알고리즘의 비종단 버전을 사용하여 구할 수 있다.실수(합리적이고 비합리적인)를 표현하는 이러한 방법을 연속 분수 표현이라고 합니다.

연속분수라는 용어분석 이론에서 발생하는 합리적인 함수의 표현을 나타낼 수도 있다.이 용어의 사용은 파데 근사체비셰프 유리 함수를 참조하십시오.

동기 및 표기법

예를 들어 유리수 415/93은 약 4.4624입니다.번째 근사치로 4부터 시작합니다. 415/93 = 4 + 43/93입니다.분수 부분은 93/43역수이며, 이는 약 2.1628입니다.정수 부분 2를 역수에 대한 근사치로 사용하여 4 + 1/2 = 4.5; 93/43 = 2 + 7/43의 두 번째 근사치를 구합니다.나머지 부분 7/43은 43/7역수이며 43/7은 약 6.1429입니다.이에 대한 근사치로 6을 사용하여 93/43대한 근사치로 2 + 1/6얻고, 세 번째 근사치로 4 + 1/2 + 1/6을 구합니다. 43/7 = 6 + 1/7.마지막으로, 부분 부분 1/7은 7의 역수이므로, 이 방법에서 7의 근사치는 정확하고(7/1 = 7 + 0/1) 415/93에 대한 정확한 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7을 생성합니다.

4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 식을 415/93의 연속 분수 표현이라고 합니다.이것은 약어 표기법 415/93 = [4; 2, 6, 7]로 나타낼 수 있습니다( 번째 쉼표만 세미콜론으로 대체하는 것이 일반적입니다).일부 오래된 교재에서는 [4, 2, 6, 7][3][4]과 같이 (n + 1)-tuple에 쉼표를 모두 사용합니다.

만약 시작 수가 합리적이라면, 이 과정은 숫자의 분자와 분모에 적용되는 유클리드 알고리즘과 정확히 평행합니다.특히, 그것은 숫자의 유한한 연속 분수 표현을 종료하고 생성해야 한다.이 표현에서 발생하는 정수의 수열은 유클리드 알고리즘에 의해 계산되는 연속적인 몫의 수열이다.시작 수가 비합리적이면 공정이 무한히 계속됩니다.이렇게 하면 모두 유리수인 일련의 근사치가 생성되고 이러한 근사치는 한계값으로 시작 숫자에 수렴됩니다.이것은 숫자의 (무한) 연속 분수 표현입니다.비합리적인 숫자의 연속 분수 표현의 예는 다음과 같습니다.

  • 1919 = [ 4, 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 8, 2, 8...](OEIS의 시퀀스 A010124).패턴은 6의 주기로 무기한 반복됩니다.
  • e = [2;1,2,1,4,1,1,6,1,1,8,...](OEIS의 시퀀스 A003417).패턴은 각 주기의 항 중 하나에 2가 더해지는 것을 제외하고 3의 주기로 무한히 반복됩니다.
  • § = [3,7,15,1,292,1,1,1,1,2,1,3,1,...] (OEIS시퀀스 A001203).이 표현에서 패턴을 찾을 수 없습니다.
  • δ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (OEIS시퀀스 A000012).합리적으로 근사하기 가장 어려운 "가장 어려운" 비합리적인 숫자인 황금 비율.참조: 황금 비율 φ의 속성.
  • § = [0;1,2,2,1,4,3,13,5,1,...] (OEIS시퀀스 A002852).오일러-마셰로니 상수. 예상되지만 비이성적인 것으로 알려져 있지 않으며, 연속되는 분수에 뚜렷한 패턴이 없습니다.

연속분수는 소수표현과 같은 다른 표현보다 실수의 "수학적으로 자연스러운" 표현이며, 다음과 같은 몇 가지 바람직한 특성이 있다.

  • 유리수에 대한 연속 분수 표현은 유한하고 유리수만이 유한한 표현을 갖는다.반면, 유리수의 십진수 표현은 예를 들어 137/190 = 0.085625와 같이 유한할 수도 있고, 반복 주기의 경우 무한할 수도 있습니다(: 4/27 = 0.140148148148...
  • 모든 유리수는 본질적으로 고유한 단순 연속 분수 표현을 가지고 있습니다.[a;a1,...an−1,an] = [a00;a1,...an−1,(a-1n),1]이므로 각 유리성은 정확히 두 가지 방법으로 표현될 수 있다.일반적으로 첫 번째 짧은 것이 표준 표현으로 선택됩니다.
  • 비합리적인 숫자의 단순 연속 분수 표현은 독특합니다.(단, 일반화된 연속 분수를 사용할 경우 추가 표현이 가능합니다. 아래를 참조하십시오.)
  • 연속된 분수가 결국 반복되는 실수는 정확히 2차 비합리수이다.[5]예를 들어 반복 연속 부분[1;1,1,1,...]황금 비율이고 반복 연속 부분[1;2,2,2,...]2의 제곱근입니다.반대로, 2차 비합리수의 십진수 표현은 명백히 랜덤입니다.완전 제곱이 아닌 모든 (양수) 정수의 제곱근은 2차 비합리적이므로 고유한 주기 연속 분율입니다.
  • 숫자의 연속 분수 표현을 찾을 때, 즉 연속 분수 표현을 잘라냄으로써 생성되는 연속 근사치는 어떤 의미에서는 "최상의 가능성"이다(아래 설명).

기본식

(일반화된) 연속 분수는 형식의 표현입니다.

여기i ai b는 임의의 복소수입니다.

모든 i에 대해 b = 1일i 때 이 식을 단순 연속 분수라고 합니다.표현식이 최종적으로 많은 항을 포함할 경우, 유한 연속분수라고 합니다.표현식에 무한히 많은 항이 포함되어 있으면 무한 [6]연속분수라고 합니다.이 항이 최종적으로 어느 시점부터 계속 반복될 때, 이 식을 주기적 [5]연속분수라고 합니다.

따라서, 다음의 모든 것은 유효한 유한 단순 연속 분수를 나타낸다.

유한 단순 연속 분수의 예
공식 숫자 언급
모든 정수는 퇴화된 대소문자입니다.
가장 간단한 분수 형식
첫 번째 정수는 음수일 수 있습니다.
첫 번째 정수는 0일 수 있습니다.

폼의 단순 연속 부분

{\ 항은 다음 재귀 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

서 Nn + n - { _ { + 1 } = N{ - 1 } { { displaystyle {}

여기서 N + { { N _ { } = 의 경우 { _ { } 정지하는 것을 알 수 있습니다.

연속 분수 표현 계산

실수 r을 고려합니다.i r ⌋ { i = \ r r정수 부분, f -(\ f r의 소수 부분이라고 .r의 연속 분수 표현은[ ,2 , 입니다.여기서[ 1 분수 표현입니다.

숫자 r의 연속 분수 표현을 계산하려면 r의 정수 부분(기술적으로는 바닥)을 적습니다.r에서 이 정수 부분을 빼세요.차이가 0이면 중지하고, 그렇지 않으면 차이의 역수를 찾아 반복합니다.r 이 합리적인 경우에만 절차가 중지됩니다.이 과정은 숫자가 합리적일 때 유클리드 알고리즘을 사용하여 효율적으로 구현될 수 있다.아래 표는 3.245 번호에 대한 이 절차의 구현을 보여줍니다. 그 결과 지속적인 분수 확장이 발생합니다 [3; 4,12,4].

3 200 3.= {에 대한 연속 분수를 찾습니다.
걸음 진짜
번호
정수
일부
프랙셔널
일부
심플화 호혜적
f의
1
2
3
4 이제 그만
3 [ ; , {{3.= {} = [, }의 분수형

= 3 + 1/4 + 1/12 + 1/4

표기법

등의 를 연속분수 [2]계수 또는 항이라고 합니다.연속 분수를 생략할 수 있다.

프리드리히 가우스의 표기법으로

또는 로서

[ 0; ,a , 3 x=[a_{

또는 프링스하임 표기법으로는

또는 다른 관련 표기법으로

다음과 같이 꺾쇠 괄호를 사용할 수 있습니다.

각 괄호 표기와 각 괄호 표기의 세미콜론은 [3][4]쉼표로 대체될 수 있습니다.

무한 단순 연속 분수를 한계로 정의할 수도 있다.

이 제한은 0 양의 a,a ,…({}, [7][8] 중에서 할 수 있습니다.

유한 연속 분수

모든 유한한 연속분수는 유리수를 나타내며, 모든 유리수는 정확히 두 가지 다른 방법으로 유한한 연속분수로 표현될 수 있습니다. 첫 번째 계수는 정수이고 다른 계수는 양의 정수입니다.이 두 표현은 최종 조건을 제외하고 일치한다.긴 표현에서는 연속분수의 최종항은 1이다.짧은 표현에서는 최종항이 떨어지지만 새로운 최종항은 1만큼 증가한다.따라서 짧은 표현의 마지막 요소는 존재하는 경우 항상 1보다 큽니다.기호:

[a0; a1, a2, ..., an − 1, an, 1] = [a0, a12, a, ..., an − 1, an + 1]
[a0; 1] = [a0 + 1]

상호 작용

양의 유리수와 그 역수의 연속 분수 표현은 숫자가 각각 1보다 작거나 큰지 여부에 따라 왼쪽 또는 오른쪽으로 한 자리 이동 외에는 동일하다., [ 0 ,2,… , ; 1}, \ [ 1, n로 나타나는 숫자는 {n}, {입니다.

예를 들어 { a 이고x <

+ a + b ({ x x + b {}}= + {\입니다.

x> { x > }인 경우

+ ({ x + a + })= 0 +

연속된 분수의 나머지를 생성하는 마지막 숫자는 x x 및 x(\displaystyle x)와 역수 모두 동일합니다.

예를들면,

4 [ ; ]({ 2.25 = [ ; ]) 및 . 9 [ 0;, {{ 1 } { } ).= {9} = [ ;, 4]} 。

무한 연속 분수 및 수렴

황금 비율에 근접하는 수렴

모든 무한 연속 분수는 비합리적이고, 모든 비합리적인 수는 무한 연속 분수로 정확하게 한 가지 방법으로 표현될 수 있습니다.

무리수에 대한 무한 연속 분수 표현은 초기 세그먼트가 숫자에 대한 합리적인 근사치를 제공하기 때문에 유용합니다.이러한 유리수를 연속 분수의 [9][10]수렴이라고 합니다.연속 분수에 항이 클수록 해당 수렴은 근사되는 무리수에 가깝습니다.have과 같은 숫자는 연속되는 분수에 큰 항이 있을 수 있기 때문에 유리수로 근사하기 쉽습니다.e와 같은 다른 숫자들은 연속되는 분수의 초기에 작은 항만 가지고 있기 때문에 합리적으로 근사하기가 더 어렵습니다.황금비율 δ는 모든 곳에 1과 같은 항(가능한 한 작은 값)을 가지므로 δ는 합리적으로 근사하기 가장 어려운 수치입니다.따라서, 이러한 의미에서, 이것은 모든 비합리적인 숫자 중 "가장 비합리적인" 숫자이다.짝수 변환기는 원래 수보다 작은 반면 홀수 변환기는 더 큽니다.

연속 분수 [a0; a1, a2, a, ...]의 경우, 처음 4개의 수렴점(번호 0 ~ 3)은 다음과 같습니다.

a0/1, aa10 + 1/a1, a2(aa10 + 1) + a03/a21 + 1, a(a2(aa10 + 1) + a0) + (aa10 + 1) / a3(aa21 + 1) + a1.

세 번째 수렴의 분자는 두 번째 수렴의 분자에 세 번째 계수를 곱하고 첫 번째 수렴의 분자를 더함으로써 형성된다.분모는 비슷하게 형성되어 있다.따라서, 각 수렴은 연속분율로 연속이라고 불리는 특정 다변량 다항식의 비율로 명시적으로 표현될 수 있습니다.

분자1 h, h2, ... 및 분모1 k, k2, ...를 가진 연속 변환이 발견되면 관련 재귀 관계는 다음과 같습니다.

hn = nn − 1 + hn − 2,
knnn − 1 = ak + kn − 2.

연속 수렴은 다음 공식에 의해 주어진다.

hnnn − 1/kn = ah + hn − 2/aknn − 1 + kn − 2

따라서 새로운 항을 합리적인 근사치에 포함시키기 위해서는 이전의 두 개의 수렴점만 필요하다.첫 번째 '컨버전트'(처음 두 용어에 필요)는 and과 10⁄입니다.예를 들어 [0;1,5,2,2]에 대한 컨버전트를 다음에 나타냅니다.

n −2 −1 0 1 2 3 4
an 0 1 5 2 2
hn 0 1 0 1 5 11 27
kn 1 0 1 1 6 13 32

바빌로니아 방법을 사용하여 정수의 제곱근에 대한 연속적인 근사치를 생성할 때, 가장 낮은 정수로 시작하는 경우 생성된 유리수는 모두 연속된 분수에 대한 수렴값 목록에 나타납니다.특히, 근사치는 위치 0, 1, 3, 7, 15, ..., 2-1k, ...에 있는 컨버전트목록에 표시됩니다.예를 들어, θ3에 대한 연속 분수 팽창은 [1;1,2,1,2,2,...]이다.수렴 성분과 바빌로니아 방법에서 도출된 근사값 비교:

n −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
an 1 1 2 1 2 1 2 1
hn 0 1 1 2 5 7 19 26 71 97
kn 1 0 1 1 3 4 11 15 41 56
x0 = 1 = 1/1
x1 = 1/2(1 + 3/1) = 2/1 = 2
x2 = 1/2 (2 + 3/2) = 7/4
x3 = 1/2(7/4 + 3/7/4) = 97/56

특성.

Baire 공간은 자연수의 무한 수열 위에 있는 위상 공간입니다.무한 연속 분수는 Baire 공간에서 비이성 실수의 공간까지 동형성을 제공한다(부분 공간 위상은 실수의 일반적인 위상에서 상속됨).무한 연속 분수는 또한 2차 무리수2차 유리수 사이, 그리고 다른 무리수에서 이진수의 무한 문자열 집합(칸토어 집합)에 대한 지도를 제공합니다. 이 지도를 민코프스키 물음표 함수라고 합니다.매핑은 흥미로운 자기유사 프랙탈 특성을 가지고 있습니다. 이러한 특성은 변환에 정수 값을 갖는 뫼비우스 변환의 하위 그룹인 모듈러 그룹에 의해 제공됩니다.대략적으로 말하면, 연속 분수 변환은 (초과성) 상부 반평면에 작용하는 Möbius 변환으로 간주할 수 있습니다. 이것이 프랙탈 자기 대칭성으로 이어집니다.

(0, 1)에서 균일하게 분포된 랜덤 변수의 연속 분수 팽창에서 계수의 한계 확률 분포는 가우스-쿠즈민 분포이다.

유용한 정리

1 양의 정수열인 }) })의 순서를 재귀적으로 정의합니다.

정리 1임의의 양의 zz

정리 2[ \ a _ { } 、 \ a _ {}\ _ {}의 컨버전스는 다음과 같습니다

정리 3연속된 분수에 n / k인 경우

결과 1: 각 수렴은 가장 낮은 항에 있습니다( n _{ n } kn \ k { }의 경우 - - k - n \ k _ { } _ { n _ { n} - { n _ { n } { } ) , k k k k k 。

결과 2: 연속되는 수렴 성분 간의 차이는 분자가 유니티인 분수입니다.

결과 3: 연속 분수는 일련의 교대 항에 해당합니다.

결과 4: 매트릭스

는 행렬식 플러스 또는 마이너스 1을 가지므로 2×(\ 22) 유니모듈러 L( (에 속합니다.

정리 4 컨버전스 s 이전 컨버전스(r\displaystyle r보다 (ndisplaystyle n)에 가깝습니다.기호에서 n n [ , { [}=인 경우,

모든 < \ r < < }에 대해 지정합니다.

결과 1: 짝수 수렴(nth 이전)은 지속적으로 증가하지만 항상 보다 작습니다.

결과 2: 홀수 컨버전스(nth 이전)는 지속적으로 감소하지만 항상 보다 큽니다.

정리 5

결과 1: 수렴은 분모가 수렴 분모보다 작은 어떤 분수보다 연속 분수의 한계에 가깝습니다.

결과 2: 큰 항 직전에 연속 분수를 끝낸 수렴은 연속 분수의 한계에 가까운 근사치이다.

반도체 부품

한다면

연속된 수렴성분입니다. 그러면 형식의 모든 부분이

m {\ m 0a n+ 1 {{0 m\1}}의 정수입니다.그(m+1){\displaystyle(m+1)}-st semiconvergent}}. 때때로 그 용어는semiconvergent 있는 것은 융합의 가능성을 배제하라는 의미로(즉, 0<>.<>이다, m{m\displaystyle}-th의 수렴 hnkn{\displaystyle{\tfrac{h_{n}}{k_{n}의}메디 안트와 같다. 는 n 0 컨버전트가 일종의 반도체가 아닙니다.

따라서 반도체는 n - k - { style { h _ { n - 1 } { k { n - 1}} ( { m = )과 + k + 1{ style { { h n _ 1 + 1 + 1 { n + 1k } { n } { n } { n } { displaystyl } { displaystyle } ) 사이의 단조로운 분수의 단조로운 시퀀스를 나타낸다.+ ({ m연속된 반도체 d {는 a - c ± =\ 1을 충족합니다

x에 대한 style 값이 - \ style \x - { \ { \ right 값이 분모가 작은 근사값보다 작으면 p}} {tfrac{ } } if 。x x의 연속적인 분수 확대의 반영.그러나 그 반대는 사실이 아니다.

최적의 합리적 근사치

실수 x에 대한 최적의 유리 근사를 유리수 n/d, d > 0으로 정의할 수 있습니다. 유리수 n/d는 분모가 작거나 같은 근사치보다 x에 더 가깝습니다.x에 대한 단순 연속 분수를 사용하여 다음 세 가지 규칙을 적용하여 x에 대한 최적의 유리 근사치를 모두 생성할 수 있습니다.

  1. 연속된 분수를 잘라내고 마지막 항을 선택한 양만큼 줄입니다(아마도 0).
  2. 축소된 기간은 원래 값의 절반보다 작을 수 없습니다.
  3. 최종항이 짝수일 경우 해당 반도체가 이전 수렴체보다 양호한 경우에만 절반의 값이 허용된다(아래 참조).

예를 들어, 0.84375에는 연속 분수가 있습니다[0;1,5,2,2].다음은 가장 합리적인 근사치입니다.

연속분율 [0;1] [0;1,3] [0;1,4] [0;1,5] [0;1,5,2] [0;1,5,2,1] [0;1,5,2,2]
합리적 근사 1 3/4 4/5 5/6 11/13 16/19 27/32
십진법 등가 1 0.75 0.8 ~0.83333 ~0.84615 ~0.84211 0.84375
에러 +18.519% −11.111% −5.1852% −1.2346% +0.28490% −0.19493% 0%
θ(녹색 원), e(파란색 다이아몬드), θ(분홍색 타원), (θ3)/2(회색 육각형), 1/red2(빨간색 8각형) 및 1/ (3(주황색 삼각형)에 대한 최량 유리 근사치로, 실제 값(검은색 대시)의 오차를 포함기울기 y/x로 표시된다.

추가 항이 포함됨에 따라 분모가 엄격히 단조롭게 증가하므로 알고리즘은 분모의 크기 또는 근사치의 근접도에 제한을 가할 수 있습니다.

위의 "반쪽 규칙"은 a가 짝수일 때 xk - [a0; a1, ..., ak − 1] > x - [a0; a1, ..., ak − 1k/2][11] 경우에만 반쪽 항 ak/2가 허용된다는 것을 요구한다. 이는 다음과 같다.Shoemake(1995).

[ak; ak − 1, ..., a1]> [ak; ak + 1, ...]

x에 대한 변환은 위에서 정의한 것보다 훨씬 강한 의미에서 "최상의 근사치"입니다.즉, n/d는 dx - n이 c δ d를 갖는 모든 유리 근사 m/c에 대해 유사한 식 중 가장 작은 값을 갖는 경우에만 x에 대한 수렴이다. 즉, c < dx - mc < d. (dx - nk → 0k 0이라는 k 유의한다.)

간격 내 최고의 합리성

0 < x < y 대해 구간(x, y) 내에 있는 유리수는 x와 y에 대한 연속 분수로 구할 수 있다.xy가 모두 비합리적이고

x = [a0k − 1; a1, a2, ..., a, ak, ak + 1, a, ...]
y = [a0; a1, a2, ..., ak − 1, bk, bk + 1, ...]

여기x와 y는 a까지k−1 동일한 연속분수 팽창을 가지며, 구간(x, y)에 속하는 유리수는 유한 연속분수에 의해 주어진다.

z(x,y) = [a0; a1, a2, ..., ak − 1, min(ak, bk) + 1]

유리성은 (x, y)의 어떤 유리도 더 작은 분자 또는 더 작은 [citation needed]분모를 가지지 않는다는 점에서 가장 좋다.

x가 유리할 경우, x12 x의 두 개의 연속 분수 표현을 가지며, 마찬가지로 유리 y는 두 2 표현1 y와 y를 갖게 됩니다.이러한 표현 중 마지막 값보다 큰 계수는 +θ로 해석해야 하며, 가장 합리적인 계수는 z(x1, y1), z(x1, y2), z(x2, y1) 또는 z(x2, y2)하나입니다.

예를 들어, 소수점 표현 3.1416은 구간의 임의의 숫자에서 반올림할 수 있습니다[3.14155, 3.14165].3.14155와 3.14165의 연속 분수 표현은 다음과 같다.

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]
3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

그리고 이 둘 중 가장 합리적인 것은

[3; 7, 16] = 355/180 = 3.1415929....

따라서 3.1416으로 반올림되는 다른 어떤 유리수도 더 작은 분자 또는 더 작은 분모를 가질 수 없다는 점에서 355/113은 반올림된 소수점 3.1416에 대응하는 최적의 유리수입니다.

컨버전스 간격

유리수는 두 가지 방법으로 유한 연속 분수로 표현될 수 있다.

z = [a0; a1, ..., ak − 1, ak, 1] = [a0; a1, ..., ak − 1k, + 1] = pk/qk

숫자가 엄밀하게 사이에 있는 경우에만 숫자의 연속적인 분수 확장을 위한 수렴 요소 중 하나가 된다( 증명 참조).

x = [a0; a1, ..., ak − 1, ak, a, 2] = 2pk - pk-1/2qk - qk-1
y = [a0; a1, ..., ak − 1k, + 2] = pk + pk-1/qk + qk-1

숫자 x와 y는 z에 대한 두 표현에서 마지막 계수를 증가시켜 형성됩니다.이것은 k가 짝수 x < y, k가 홀수 x > y인 경우입니다.

예를 들어, 숫자 355/113은 연속된 분수 표현을 가집니다.

355/180 = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]

따라서 355/m2는 엄밀하게 다음 중 하나의 수의 수렴입니다.

[3; 7, 15, 2] = 688/219© 3.1415525
[3; 7, 17] = 377/120 © 3.1416667

비교

x = [a0; a1, ...] y = [b0; b1, ...]고려합니다.k가 a가 b와 같지k 않은 최소k 인덱스일 경우 x < y if (-1)(kak - bk) < 0, y < x 이외의 경우.

이러한 k가 존재하지 않지만 하나의 확장이 다른 확장보다 짧다면, x = [a0; a11, ..., an]y = [b0, ..., bn, b, ...]n + 1 a = b를 0i 0i i i n으로 하고, n짝수이면 x < y홀수이면 y < x n으로 합니다.

δ 및 그 수렴물의 연속 분수 확대

we의 수렴도를 계산하기 위해 = 0000 = 3으로 설정하고0 u1 = 1// - 37.0625a2 = 00u1 = 7 u2 = 15 u23 = 1/u12 - 15 00 134를 정의1 수 있습니다.이렇게 계속하면 θ의 무한 연속 분율을 다음과 같이 구할 수 있다.

[3,7,15,1,292,1,1,...] (OEIS의 시퀀스 A001203)

δ의 네 번째 수렴은 [3;7,15,1] = 355/190 = 3.14159292035...이며, 때로는 Milü라고 불리며, 이는 δ의 참값에 상당히 가깝다.

위와 같이 [3;7,15,1]이라고 가정해 봅시다.다음은 연속분수를 전개하지 않고 이들 지수에서 나오는 수렴분수를 한 번에 적어낼 수 있는 규칙이다.

첫 번째 지수를 합성으로 나눈다고 가정하면 첫 번째 분수는 너무 작을 것이다. 즉, 3/1이다.그리고 이 분수의 분자와 분모에 두 번째 지수를 곱하고 분자에 통일성을 더하면 두 번째 분수인 22/7이 되는데, 이것은 너무 클 것이다.같은 방법으로 이 분수의 분자와 분모에 세 번째 지수를 곱하고 분자에 앞의 분수의 분자와 분모에 앞의 분수의 분모를 더하면 세 번째 분수는 너무 작을 것입니다.따라서 세 번째 지수가 15이면 분자(22 × 15 = 330) + 3 = 333이고 분모에 대해서는 (7 × 15 = 105) + 1 = 106이다.따라서 세 번째 컨버전스는 333/106입니다.네 번째 컨버전스도 같은 방법으로 진행합니다.네 번째 지수는 1이고 333 곱하기 1은 333이고, 이 더하기 22는 355입니다. 마찬가지로, 106 곱하기 1은 106이고, 이 더하기 7은 113입니다.이 방법으로 4개의 지수[3;7,15,1]를 사용하여 4개의 분수를 구한다.

3/1, 22/7, 333/1900, 355/1900, ..
다음 메이플 코드는 파이의 분율을 지속적으로 확장합니다.

요약하면 은 분자 (- )지수 + (- ){ i } =Numerator}{ ( i - 1) _ { text { } _ { i} + { { } 입니다

이러한 수렴은 θ의 실제 값보다 작은 값과 큰 값을 번갈아 나타내며 θ에 점점 더 가까이 접근한다.주어진 수렴과 θ의 차이는 수렴과 다음 수렴의 분모 곱의 역수보다 작습니다.예를 들어, 분수 22/7은 δ보다 크지만, 22/7 - δ 1/7 × 106 = 1/742보다 작다(실제로 22/7 - δ 1/791 = 1/7 × 113보다 크다).

앞에서 설명한 성질의 증명은 수렴분수 중 하나와 인접한 분수의 차이를 구하면 분자가 항상 단일인 분수와 분모가 두 분모의 곱인 분모를 얻을 수 있다는 사실에서 추론된다.따라서 22/7과 3/1차이는 1/7, 333/10622/7, 1/742, 355/113333/106, 1/11978의 차이는 1/7이 됩니다.그 결과, 이 일련의 차이를 사용함으로써, 분자가 모두 통일이고 분모가 연속적으로 인접한 두 분모의 곱이 되는 두 번째 분수를 통해, 우리가 관여하는 분수를 다른 아주 간단한 방법으로 표현할 수 있습니다.위에 적힌 분수 대신 다음과 같은 급수가 있습니다.

3/1 + 1/1 × 7 - 1/7 × 106 + 1/113 - ...

첫 번째 항은 첫 번째 분수를 나타냅니다.첫 번째 항과 두 번째 항을 합치면 두 번째 분수가 됩니다.첫 번째 항과 두 번째 항과 세 번째 항은 세 번째 분수가 333/106이 됩니다.그 결과 시리즈 전체가 원래 값과 동일합니다.

일반화 연속 분수

일반화 연속 분수는 형식의 표현이다.

여기서 a(n > 0)는n 부분분자, bn 부분분모, 선행항0 b는 연속분수의 정수부분이다.

일반화 연속 분수의 사용을 설명하기 위해 다음 예를 고려하십시오.θ의 단순 연속 분수의 부분 분모 수열은 명확한 패턴을 나타내지 않는다.

또는

단, θ에 대한 일반화 연속 분수는 다음과 같이 완전히 규칙적인 구조를 가진다.

이 중 첫 번째 두 가지는 θ = 4 arctan (1)의 아크탄젠트 함수의 특수한 경우이며, 네 번째와 다섯 번째 것은 Wallis [12][13]제품을 사용하여 도출할 수 있다.


입방체로 구성된 pi)의 연속된 부분에는 닐라칸타 급수와 Leonhard [14]Oiler의 개발이 사용됩니다.

기타 연속분율팽창

주기 연속 분수

주기적인 연속분수 팽창을 갖는 숫자는 유리 계수를 갖는 2차 방정식비합리적인 해이다. 유리해는 앞서 말한 바와 같이 유한 연속분수 팽창을 가진다.가장 단순한 예로는 황금비율 = [1,1,1,1,1,1,1,1,...] 및 22 = [1;2,2,2,2,2,2,2,...]가 있으며, 1414 = [3;1,2,1,6,1,2,6...] 및 4242 = [6;2,12,12,12...]가 있습니다.모든 비합리적인 정수의 제곱근은 주기마다 특별한 형태를 갖는다. 즉, 빈 문자열(θ2의 경우) 또는 1,2,1(14 경우)과 같은 대칭 문자열과 그 뒤에 선행 정수의 배수가 뒤따른다.

황금 비율의 특성 »

θ의 연속분수 전개는 1보다 큰 정수를 사용하지 않기 때문에 θ는 유리수로 근사하기 가장 어려운 실수 중 하나입니다.후르비츠의 정리는 어떤 비합리적인 숫자 k도 무한히 많은 유리 m/n에 의해 근사될 수 있다고 말한다.

사실상 모든 실수 k는 최종적으로 이 제한보다 훨씬 작은 거리인 무한히 많은 변환 m/n을 가지지만, §(, 숫자 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 등)의 변환은 거의 5 스타일 {\stystyle})의 거리를 유지하면서 일관되게 "toe"로 유지합니다. n θ에서 떨어져 있으므로 θ의 경우 355/secrt만큼 인상적인 근사치를 생성하지 않습니다.또한 a + /c + dθ 형식의 모든 실수는 d - b c = ±1되도록 정수이며, 다른 모든 실수는 더 가깝게 근사할 수 있다.

연속 분수의 규칙 패턴

θ의 단순 연속 분수 확장에는 식별 가능한 패턴이 없지만, 자연 로그의 기저인 e에는 다음과 같은 패턴이 있다.

이는 양의 정수 n에 대한 이 일반식의 특수한 경우입니다.

더 복잡한 패턴은 양의 홀수 n에 대한 이 연속 분수 확장에서 나타납니다.

n = 1대한 특수한 경우:

이러한 종류의 다른 연속된 부분은 다음과 같습니다.

여기서 n은 양의 정수입니다., 정수 n의 경우는, 다음과 같습니다.

n = 1대한 특수한 경우:

만약n I(x)가 수정되거나 쌍곡선의 베셀 함수라면, 우리는 다음과 같이 유리수 p/q에 대한 함수를 정의할 수 있다.

이 값은 모든 유리수에 대해 정의되며 p와 q는 가장 낮은 으로 정의됩니다.그럼 모든 부정적이지 않은 이성에 대해서

부정적인 합리성에 대한 유사한 공식과 함께; 특히 우리는

많은 공식들은 가우스의 연속 분수를 사용하여 증명될 수 있다.

대표적인 연속 분수

대부분의 비합리적인 숫자는 연속적인 분수 팽창에서 주기적 또는 규칙적인 행동을 하지 않습니다.그럼에도 불구하고, Kindchin은 거의 모든 실수 x에 대해, a (i = 1, 2, 3, ...경우)가i 놀라운 특성을 가지고 있다는 것을 증명했다: 그들의 기하 평균은 x의 에 독립적인 상수 (K 2 2.6854520010으로 알려져 있음)인 경향이 있다. Paul Levy는 n번째 수렴 분모의 n번째 근을 보여주었다.n 거의 모든 실수의 팽창은 약 3.27582의 점근적 한계에 근접하며, 이는 레비 상수로 알려져 있다.Lochs의 정리는 거의 모든 실수의 연속분수 확대의 n번째 수렴이 소수점 이하 자리수의 평균 정확도로 숫자를 결정한다고 말한다.

적용들

제곱근

일반화 연속분수는 제곱근을 계산하는 방법에 사용된다.

아이덴티티

(1)

모든 [16]제곱근에 대해 일반화된 연속 분수로 재귀적으로 유도합니다.

(2)

펠 방정식

연속 분수는 Pell 방정식의 해법에서 중요한 역할을 한다.예를 들어, 의 정수 p와 q 및 비제곱 n의 경우, p - nq2 = ±1이면2 p/q는 µn에 대한 정규 연속 분수의 수렴이다.역수는 θn에 대한 정규 연속 분수의 주기가 1이면 유지되며, 일반적으로 그 주기는 어떤 수렴자가 Pell의 [17]방정식에 해를 주는지를 기술한다.

동적 시스템

연속 분율은 민코프스키의 물음표 함수와 모듈러 그룹 감마(Gamma)로 만델브로 집합에서 볼 수 있는 파레이 분율을 연결하는 동적 시스템의 연구에도 역할을 한다.

연속 분수에 대한 역방향 이동 연산자는 가우스 맵이라고 불리는 지도 h(x) = 1/x - δ1/x이며, 연속 분수 확장의 자릿수를 lop off한다: h([01; a2, a3, a, ...]) = [02; a3, a, ...]. 지도의 전송 연산자는 가우스-쿠즈민-이라고 불립니다.Wirsing 연산자.연속 분수의 자릿수 분포는 이 연산자의 0번째 고유 벡터에 의해 주어지며, 가우스-쿠즈민 분포라고 불립니다.

고유값 및 고유벡터

Lanczos 알고리즘은 연속 분수 확장을 사용하여 큰 스파스 [18]행렬의 고유값과 고유 벡터를 반복적으로 근사합니다.

네트워킹 응용 프로그램

연속 분율은 소스와 [19]목적지 사이의 경로를 찾기 위해 무선 네트워크 가상화를 위한 최적화 문제를 모델링하는 데에도 사용되어 왔습니다.


유리수와 비합리수의 예

번호 r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
123 1개r 123
123
12.3 1개r 12 3 3
12 37/3 123/10
1.23 1개r 1 4 2 1 7
1 5/4 11/9 16/13 123/100
0.123 1개r 0 8 7 1 2 5
0 1/8 7/57 8/65 23/187 123/1 000
φ =
1개r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55 144/89
- =
1개r -2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-2 - 3/2 -5/3 - 8/5 - 13/8 -21/13 -34/21 -55/34 -89/55 -180/89 -233/120
1개r 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 3/2 7/5 17/12 41/29 99/70 239/169 577/408 1 393/985 3 363/2 378 8 119/5 741
1개r 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 2/3 5/7 12/17 29/41 70/99 169/239 408/577 985/1 393 2 378/3 363
1개r 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 5/3 7/4 19/11 26/15 71/41 97/56 265/153 362/209 989/571
1개r 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0 1 1/2 3/5 4/7 11/19 15/26 41/71 56/97 153/265 209/362
1개r 0 1 6 2 6 2 6 2 6 2 6
0 1 6/7 13/15 84/97 181/209 1 170/1 351 2 521/2 911 16 296/18 817 35 113/40 545 226 974/262 087
1개r 1 3 1 5 1 1 4 1 1 8 1
1 4/3 5/4 29/23 34/27 63/50 286/227 349/277 635/504 5 429/4 309 6 064/4 813
e 1개r 2 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1
2 3 8/3 11/4 19/7 87/32 106/39 193/71 1 264/465 1 457/536 2 721/1 001
π 1개r 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3
3 22/7 333/106 355/113 103 993/33 102 104 348/33 215 208 341/66 317 312 689/99 532 833 719/265 381 1 146 408/364 913 4 272 943/1 360 120
번호 r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ra: 연속 분수를 최대 a까지r 확장하여 얻은 합리적인 근사치

역사

카탈디 0{\displaystyle a_{0}}및 역할을 하지 않고 n1d1⋅{\displaystyle{\frac{n_{1}}{d_{1}\cdot}}}&n2d2⋅{\displaystyle{\frac{{2n_}}{d_{2}\cdot}}}&n3d3⋅{\displaystyle{\frac{n_{3}}{d_{3}\cdot}}}그 점들을indic과 연분 수를 대표했다.어디서 지르는다음 분수가 사라졌어요.
  • 1695 John Wallis, Opera Mathematica – "연속 부분"이라는 용어 도입
  • 1737 Leonhard Euler, De fractionbus continuis 논문 – 연속분수의 특성에 대한 최초의 포괄적인 설명을 제공하고 숫자 e가 [20]비이성적이라는 첫 번째 증거를 포함.
  • 1748 오일러, 인트로텍티오, 무한소 분석.Vol. I, 18장 – 연속 분수와 일반화된 무한 급수의 특정 형태의 동등성을 증명하고, 모든 유리 수는 유한 연속 분수로 쓸 수 있다는 것을 증명했으며, 비합리적인 수의 연속 분수가 [21]무한하다는 것을 증명했다.
  • 1761 Johann Lambert – tan(x)에 대한 연속 분수를 사용하여 θ의 불합리성에 대한 첫 번째 증거를 제시하였다.
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  • 1770 라그랑주 – 2차 비합리수주기적인 연속 분수로 확장된다는 을 증명했다.
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  • 1892 Henri Padé 정의 Padé 근사
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「 」를 참조해 주세요.

메모들

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외부 링크