일반화 리만 가설

리만 가설은 수학에서 가장 중요한 추측 중 하나이다. 리만 제타 함수의 0에 대한 진술이다. 다양한 기하학적, 산술적 물체는 공식적으로 리만 제타 기능과 유사한 이른바 글로벌 L-기능으로 설명할 수 있다. 그런 다음 리만 가설에 대한 다양한 일반화를 제시하면서 이러한 L 기능의 0에 대해 동일한 질문을 할 수 있다. 많은 수학자들은 리만 가설에 대한 이러한 일반화가 사실이라고 믿는다. 입증된 이러한 추측의 유일한 경우는 대수 함수 필드 케이스(숫자 필드 케이스가 아님)에서 발생한다.

글로벌 L 기능은 타원 곡선, 숫자 필드(이 경우 디데킨드 제타 기능), 마아스 양식 및 디리클레 문자(이 경우 디리클레 L 기능)와 연관될 수 있다. 디데킨드 제타 기능을 위해 리만 가설을 공식화하면 확장 리만 가설(ERH)으로, 디리클레 L 기능을 공식화하면 일반화된 리만 가설(GRH)로 알려져 있다. 이 두 진술은 아래에서 더 자세히 논의될 것이다.(많은 수학자들은 리만 가설을 일반화하여 디리클레 L-기능의 특별한 경우만이 아니라 모든 글로벌 L-기능에 리만 가설이 확장되는 것을 다루기 위해 리만 가설을 사용한다.)

일반화 리만 가설(GRH)

일반화된 리만 가설(디리클레 L 기능용)은 아마도 1884년 아돌프 필츠에 의해 처음으로 공식화되었을 것이다.^[1] 원래의 리만 가설처럼 소수점 분포에 대한 결과도 훨씬 크다.

그 가설에 대한 공식적 진술은 다음과 같다. 디리클레 문자는 gcd(n, k) > 1 때마다 )(n + k) = =(n) = 0(n) = 0인 양의 정수 k가 존재하도록 완전히 곱셈 산술 함수 χ. 그러한 문자가 주어지면 그에 상응하는 디리클레 L-함수를 정의한다.

L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}}}}}}

Re s > 1.와 같은 모든 복잡한 숫자에 대해. 분석적 연속성에 의해, 이 기능은 전체 복잡한 평면에 정의된 mer {\ $displaystyle \chi }$ 이 $\chi$ ( $)$ 정의된 용적함수까지 확장할 수 있다. 일반화된 리만 가설은 모든 디리클레 문자 χ과 L( number, s) = 0을 가진 모든 복잡한 숫자 s에 대해 s가 음의 실제 숫자가 아닌 경우 s의 실제 부분은 1/2이라고 주장한다.

사례 n(n) = 모든 n에 대한 1은 일반적인 리만 가설을 산출한다.

GRH의 결과

디리클레트의 정리에는 a와 d가 동시적 자연수라면 산술 진행 a, a + d, a + 2d, a + 3d ...가 무한히 많은 소수 소수 소수들을 포함하고 있다고 되어 있다. π(x, a, d)은 x보다 작거나 같은 이 진행에서 소수점 이하를 나타낸다. 만약 일반화된 리만 가설이 사실이라면, 모든 coprime a와 d, 그리고 매 > > 0에 대해,

\pi(x,a,d)={\frac {1}{\varphi(d)}\{2}^{x}{{1}{\ln t}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {}\\mbox{{{}}}}

여기서 φ(d)는 오일러의 토텐 함수, o는 빅 O 표기법이다. 이것은 소수 정리의 상당한 강화다.

GRH가 참일 경우, 승법군 $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ Z $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ ) $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ ${\$ 의 모든 적절한 부분군은 2(ln) 미만의 숫자와 3(ln) 미만의 숫자만 생략한다 $(\mathb {Z} /n\mathb {Z} )^{\time }$ .²²^[2] 즉 $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ ( $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ / $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ ) $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ ${\$ 은(는) 2(ln) 미만의 숫자 집합에 의해 생성된다 $(\mathb {Z} /n\mathb {Z} )^{\time }$ .² 이것은 종종 교정에서 사용되며, 예를 들어 (GRH를 가정) 많은 결과를 초래한다.

밀러-라빈 원시성 테스트는 다항식 시간에 실행될 수 있다. (GRH를 필요로 하지 않는 다항식 시간 프라이머리티 테스트, AKS 프라이머리티 테스트는 2002년에 발표되었다.
Shanks-Tonelli 알고리즘은 다항식 시간에 실행될 수 있도록 보장된다.
Prime constant-smooth diages를 fairst constant-smooth diages로 한정된 장에 대해 다항식을 인수하기 위한 Ivanyos-Karpinski-Saxena 결정론 알고리즘은^[3] 다항식 시간 내에 실행될 수 있도록 보장된다.

GRH가 참이면 모든 prime p에 $O((\ln p)^{6}).$ O $O((\ln p)^{6}).$ ( $O((\ln p)^{6}).$ ( $O((\ln p)^{6}).$ $O((\ln p)^{6}).$ $O((\ln p)^{6}).$ ) $O((\ln p)^{6}).$ . ${\displaystyle$ O $(\ln p)^{6}$ 보다 작은 원시 루트 mod(정수 modulo p의 승수 그룹의 생성기)가 존재한다. $}$ ^[4]

골드바흐의 약한 추측도 일반화된 리만 가설에서 비롯된다. 아직 검증되지 않은 하랄드 헬프고트(Harald Helfgott)의 이 추측에 대한 증거는 계산에 의해 이미 검증된 10 이상의²⁹ 모든 정수에 대한 추측을 입증하는 충분한 한계를 얻기 위해 특정 가상 부분까지 수천 개의 작은 문자에 대해 GRH를 검증한다.^[5]

GRH의 진위를 가정할 때, Polya-Vinogradov 불평등에서 문자 합계 추정치는 $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$ ( $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$ $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$ $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$ q $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$ ){\ $displaystyle O$ \left $({\sq}\log$ q}\ $log \right$ 로 개선될 수 있다.

확장 리만 가설(ERH)

K가 정수 O의_K 링을 가진 숫자 필드(합리성 Q의 유한한 차원 필드 확장)라고 가정한다(이 링은 K에서 정수 Z의 정수 닫힘). 만일 a가 0 이상 이외의 O의_K 이상이라면, 우리는 Na에 의해 그 규범을 나타낸다. K의 데데킨드 제타 함수는 다음으로 정의된다.

\zeta _{K}=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}}}}}}}

실제 부품 1을 초과하는 모든 복합 번호 s에 대해. 그 합계는 모든 0이 아닌 이상 a O에_K 걸쳐 있다.

데데킨드 제타 함수는 기능 방정식을 만족하며 전체 복잡한 평면에 대한 분석적 연속성에 의해 확장될 수 있다. 결과 함수는 숫자 필드 K에 대한 중요한 정보를 인코딩한다. 확장된 리만 가설은 모든 숫자 필드 K와 k = 0인_K 모든 복잡한 숫자 s에 대해: s의 실제 부분이 0과 1 사이라면, 사실상 1/2이라고 주장한다.

일반적인 리만 가설은 숫자 필드를 Q로 하고 정수 Z의 고리를 갖는 경우 확장된 가설에서 따온 것이다.

ERH는 체보타레프 밀도 정리의 유효 버전을^[6] 내포하고 있다: L/K가 갈루아 그룹 G와 유한 갈루아 확장형이고, C가 G의 결합 등급인 경우, C에서 프로베니우스 결합 등급과 함께 표준 x 이하 K의 미묘화 프리임의 수는 다음과 같다.

{\displaystyle {\frac { C}{ G}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt{x}}(n\log x+\log \Delta ){\bigr )},

여기서 big-O 표기법에 내포된 상수는 절대이고, n은 Q에 대한 L의 정도이며, Δ는 그 변별력이다.

참고 항목

참조

^ Davenport, Harold (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 74. Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery (Third ed.). New York: Springer-Verlag. p. 124. ISBN 0-387-95097-4.
^ Bach, Eric (1990). "Explicit bounds for primality testing and related problems". Mathematics of Computation. 55 (191): 355–380. doi:10.2307/2008811. JSTOR 2008811.
^ Ivanyos, Gabor; Karpinski, Marek; Saxena, Nitin (2009). Schemes for Deterministic Polynomial Factoring. Proc. ISAAC. pp. 191–198. arXiv:0804.1974. doi:10.1145/1576702.1576730. ISBN 9781605586090. S2CID 15895636.
^ Shoup, Victor (1992). "Searching for primitive roots in finite fields". Mathematics of Computation. 58 (197): 369–380. doi:10.2307/2153041. JSTOR 2153041.
^ p5. Helfgott, Harald (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 [math.NT].
^ Lagarias, J.C.; Odlyzko, A.M. (1977). "Effective Versions of the Chebotarev Theorem". Algebraic Number Fields: 409–464.

추가 읽기

"Riemann hypothesis, generalized", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Davenport, Harold (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 74. Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery (Third ed.). New York: Springer-Verlag. p. 124. ISBN 0-387-95097-4.

[2] Bach, Eric (1990). "Explicit bounds for primality testing and related problems". Mathematics of Computation. 55 (191): 355–380. doi:10.2307/2008811. JSTOR 2008811.

[3] Ivanyos, Gabor; Karpinski, Marek; Saxena, Nitin (2009). Schemes for Deterministic Polynomial Factoring. Proc. ISAAC. pp. 191–198. arXiv:0804.1974. doi:10.1145/1576702.1576730. ISBN 9781605586090. S2CID 15895636.

[4] Shoup, Victor (1992). "Searching for primitive roots in finite fields". Mathematics of Computation. 58 (197): 369–380. doi:10.2307/2153041. JSTOR 2153041.

[5] 5. Helfgott, Harald (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 [math.NT].

[6] Lagarias, J.C.; Odlyzko, A.M. (1977). "Effective Versions of the Chebotarev Theorem". Algebraic Number Fields: 409–464.

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