자동형 L-함수

수학에서 복잡한 변수 s의, 자기 동형 L-function은 기능 L(s,π,r), 환원 주의적인 그룹 G의 세계적인 분야에 대한 자기 동형 표현 π과 랭글 랜즈 이중 그룹 LGG의 유한 차원의. 복잡한 표현 r에 연결된 디리클레 L-series 디리클레 지표와 Mellin transfor 일반화하고 있다.m모듈형의그것들은 랭글랜드에 의해 소개되었다(1967, 1970, 1971).

보렐(1979년)과 아서 & 겔바르트(1991)는 자동형 L-기능에 대한 조사를 했다.

특성.

자동형 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ - 기능은$$ 다음과 같은 특성을 가져야 한다(일부 경우에는 입증되었지만 다른 경우에는 여전히 추측).

$L-함수{\displaystyle L(}$s${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \pi ,}$ r$$) {\$displaystyle L(s$,\$pi,$r$$)}은 로컬$$L {\$displaystyle L}$ $함수$의 F$$$${\$displaystyle v}$에$$대한 $제품$이어야 한다.

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\Pi L(s,\pi _{v}}}$

여기서 자동형 표현 $\pi {\displaystyle }$=${\displaystyle {\pi }_{}}$ v ${\$는 로컬 그룹의 표현$$ tens ${\displaystyle v_{}}$ ${\$의 텐서 제품이다.

L-함수는 모든 복잡한 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$의 meromphic 함수로서 분석적 연속성을 가지며 기능 방정식을 만족시킬 것으로 예상된다.

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon(s,\pi ,r)L(1-s,\pi,r^{\lor }}}}$

여기서 계수 $ϵ{\displaystyle (s}$ ,${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r)}$은 "로컬 상수"의 산물이다.

${\displaystyle \epsilon(s,\pi ,r)=\Pi \epsilon(s,\pi _{v},r_{v},\psi _{v}}}}}$

거의 모든 것이 1이다.

일반 선형 그룹

Godment & Jacquet(1972)은 테이트의 논문에서 방법을 일반화하여 r 표준 표현( 이른바 표준 L 기능)으로 일반 선형 그룹에 대한 자동형 L 기능을 구성하고 분석적 연속성과 기능 방정식을 검증했다.랭글랜드 프로그램의 유비쿼터스(University)는 GL(m)과 GL(n)을 나타내는 랭킨-셀버그 제품이다.결과 Rankin-Selberg L-기능은 Langlands-를 통해 처음 입증된 여러 분석적 특성을 만족한다.샤히디법.

일반적으로 Langlands functionality 추측에 따르면 연결된 환원 그룹의 자동형 L-기능은 일반 선형 그룹의 자동형 L-기능 제품과 동일하다.Langlands functoriality에 대한 증거는 또한 자동형 L-기능의 분석적 특성에 대한 철저한 이해로 이어질 수 있다.

참조

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• Borel, Armand (1979), "Automorphic L-functions", in Borel, Armand; Casselman, W. (eds.), Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXXIII, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 27–61, doi:10.1090/pspum/033.2/546608, ISBN 978-0-8218-1437-6, MR 0546608
• Cogdell, James W.; Kim, Henry H.; Murty, Maruti Ram (2004), Lectures on automorphic L-functions, Fields Institute Monographs, vol. 20, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3516-6, MR 2071722
• Gelbart, Stephen; Piatetski-Shapiro, Ilya; Rallis, Stephen (1987), Explicit constructions of automorphic L-functions, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1254, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0078125, ISBN 978-3-540-17848-4, MR 0892097
• Godement, Roger; Jacquet, Hervé (1972), Zeta functions of simple algebras, Lecture Notes in Mathematics, vol. 260, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0070263, ISBN 978-3-540-05797-0, MR 0342495
• Jacquet, H.; Piatetski-Shapiro, I. I.; Shalika, J. A. (1983), "Rankin-Selberg Convolutions", Amer. J. Math., 105: 367–464, doi:10.2307/2374264
• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil
• Langlands, R. P. (1970), "Problems in the theory of automorphic forms", Lectures in modern analysis and applications, III, Lecture Notes in Math, vol. 170, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 18–61, doi:10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
• Langlands, Robert P. (1971) [1967], Euler products, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01395-5, MR 0419366
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