린델뢰프 가설

수학에서 린델뢰프 가설은 핀란드의 수학자 에른스트 레너드 린델뢰프(1908년 참조)가 임계선에서 리만제타 함수의 성장 속도에 대해 추측한 것이다.이 가설은 리만 가설에 의해 함축되어 있다.어떤 ε > 0에 대해서라고 되어 있다.

${\displaystyle \jeta \lefts\frac {1}{2}}+it\오른쪽)=O(t^{\varepsilon }),}$

무한대 경향이 있는 경우(큰 O 표기법 참조).ε은 더 작은 값으로 대체될 수 있기 때문에, 우리는 또한 어떠한 긍정적인 ε에 대해서도 추측을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \jeta \left\frac {1}{2}}+it\right)=o(t^{\barepsilon }).}$

μ 함수

만약 μ가 진짜라면, μ(μ)는 μ(μ) = O(T^a)와 같은 모든 실수의 최소값으로 정의된다.μ(μ) = μ > 1의 경우 0이며, 제타함수의 함수 방정식은 μ(μ) = μ(μ) = μ(1 - μ) - μ + 1/2을 내포하고 있음을 확인하는 것은 사소한 일이다.프라그멘-린델뢰프 정리는 μ가 볼록함수라는 것을 암시한다.린델뢰프 가설은 μ(1/2) = 0을 명시하고 있는데, 위의 μ 속성과 함께 μ(μ)가 μ의 경우 0이고 μ의 경우 1/2 - μ의 경우 1/2이라는 것을 암시한다.

린델뢰프의 볼록한 결과가 μ(1) = 0, μ(0) = 1/2과 함께 나온다는 것은 0 μ μ(1/2) μ 1/4임을 암시한다.하디와 리틀우드에 의해 1/4의 상한은 대략적인 기능 방정식에 지수 합을 추정하는 Weyl의 방법을 적용하여 1/6로 낮췄다.그 후 여러 저자에 의해 다음 표와 같이 길고 기술적인 증거를 사용하여 이 책은 6분의 1 미만으로 낮아졌다.

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	작가
1/4	0.25	린델뢰프(1908)	볼록 바운드
1/6	0.1667	하디, 리틀우드 & ?harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFHardyLittlewood?(도움말)
163/988	0.1650	월피즈 (1924년)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFWalfisz1924(도움말)
27/164	0.1647	티치마르슈(1932)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFTitchmarsh1932(도움말)
229/1392	0.164512	필립스 (1933년)harvtxt 오류: 대상 없음: CATEREFPhillips1933(도움말)
	0.164511	랭킨(1955년)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFrankin1955(도움말)
19/116	0.1638	티치마르슈(1942)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFTitchmarsh1942(도움말)
15/92	0.1631	민(1949년)harvtxt 오류: 대상 없음: CATEREFMin1949(도움말)
6/37	0.16217	하네케(1962년)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFHaneke1962(도움말)
173/1067	0.16214	Kolesnik (1973년)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFKolesnik1973(도움말)
35/216	0.16204	Kolesnik(1982)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFKolesnik1982(도움말)
139/858	0.16201	Kolesnik(1985)harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFKolesnik1985(도움말)
32/205	0.1561	헉슬리 (2002년, 2005년)
53/342	0.1550	부르가인 (2017년)
13/84	0.1548	부르가인 (2017년)

L 기능

2010년 PGL(2) 사례에서 L 기능의 하위 결합도 추정치를 얻기 위한 새로운 방법은 Joseph Bernstein과 Andre Reznikov가^[1], Akshay Venkatesh와 Philipe Michelle이^[2] GL(1) 및 GL(2) 사례에서, 그리고 2021년 Paul Nelson이^[3][4] GL(n) 사례에서 제공했다.

리만 가설과의 관계

Backlund harvtxt error: no target: CITEREFBacklund (help) (1918–1919) showed that the Lindelöf hypothesis is equivalent to the following statement about the zeros of the zeta function: for every ε > 0, the number of zeros with real part at least 1/2 + ε and imaginary part between T and T + 1 is o(log(T)) as T tends to infinity.리만 가설은 이 지역에 0이 전혀 없다는 것을 암시하며, 따라서 린델뢰프 가설을 내포하고 있다.T와 T + 1 사이에 가상의 부분이 있는 0의 수는 O(log(T))로 알려져 있으므로 린델뢰프 가설은 이미 증명된 것보다 약간 강하게 보일 뿐이지만, 그럼에도 불구하고 그것을 증명하려는 모든 시도에 저항해 왔다.

제타 함수의 동력(또는 순간) 수단)

린델뢰프 가설은 다음과 같은 진술과 동일하다.

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T} \제타(1/2+it) ^{2k}\,dt=O(T^{\barepsilon }}}}$

모든 양의 정수 k와 모든 양의 실수 numbers에 대하여.이것은 k = 1 또는 2에 대해 증명되었지만, 케이스 k = 3은 훨씬 더 어려워 보이고 여전히 공개적인 문제다.

적분자의 점근거동에 대해서는 훨씬 더 정확한 추측이 있다.

$\displaystyle \int _{0}^{T} \제타(1/2+it) ^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

일부 상수 c에_k,j 대해.이것은 리틀우드가 k = 1을 위해, 히스브라운(1979)이 k = 2를 위해 증명하였다(Ingham(1926) harvtxt 오류의 결과 연장: 표적 없음: SITREFIngham1926 (도움말)이 선행 용어를 찾아냈다.

Conrey & Ghosh(1998)는 그 가치를 제안했다.

${\displaystyle {\frac {42}{9!}}\pod _{p}\좌((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2}\오른쪽)}}$

k가 6일 때 선행 계수에 대해, 그리고 Keating & Snich(2000)는 더 높은 k에 대한 계수의 값에 대한 약간의 추측을 제안하기 위해 무작위 행렬 이론을 사용했다.선행 계수는 기본 계수의 산물, 특정 곱이 소수 이상인 것으로 추측되며, n Young tableaux가 시퀀스에 의해 주어지는 n의 숫자로 추측된다.

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, …(시퀀스 A039622 in OEIS).

기타 결과

n번째 소수인 p를_n 나타냄으로써, 알버트 잉함(Albert Ingham)의 결과는 린델뢰프 가설이 어떤 ε > 0에 대해서도, 그 어떤 것을 암시한다는 것을 보여준다.

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }\,}$

n이 충분히 크면그러나 이 결과는 큰 프라임 갭 추측보다 훨씬 더 나쁘다.

참고 및 참조

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