아르틴 L-기능

수학에서 아르틴 L-함수는 갈루아 그룹 G의 선형 표현에 연관된 디리클레 시리즈의 일종이다.이러한 기능들은 에밀 아르틴이 1923년 계급장 이론에 대한 그의 연구와 관련하여 도입하였다.그들의 근본적인 특성, 특히 아래에 기술된 아르틴 추측들은 쉬운 증거에 저항하는 것으로 판명되었다.제안된 비-아벨라 계급장 이론의 목적 중 하나는 아틴 L 기능의 복잡한 분석적 특성을 자동형식과 랭글랜드 프로그램에 의해 제공되는 것과 같은 더 큰 틀에 통합하는 것이다.지금까지 그러한 이론의 극히 일부분만이 확고한 근거를 가지고 있을 뿐이다.

정의

Given ${\displaystyle \rho }$, a representation of ${\displaystyle G}$ on a finite-dimensional complex vector space ${\displaystyle V}$, where ${\displaystyle G}$ is the Galois group of the finite extension ${\displaystyle L/K}$ of number fields, the Artin ${\displaystyle L}$-function: ${\displaystyle L(\rho }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle L(\rho ,s)}$은(는) 오일러 제품에 의해 정의된다.For each prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle K}$'s ring of integers, there is an Euler factor, which is easiest to define in the case where ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ is unramified in ${\displaystyle L}$ (true for almost all ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$).In that case, the Frobenius element ${\displaystyle \mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})}$ is defined as a conjugacy class in ${\displaystyle G}$. Therefore, the characteristic polynomial of ${\displaystyle \rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))}$ is well-defined.$p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 오일러 계수는 특성 다항식을 약간 수정하여$$ 동일하게 잘 정의하고,

${\displaystyle \operatorname {charpoly}(\rho(\mathbf {Frob}{\mathfrak{p}})^{-1}=\operatorname {det} \left[I-t\rho(\mathbf {Frob}{p})({\mathfrak {p})({p}}}{\mathfrab}}}}}\mathf)\mathf)\오른쪽)^{-1},},},},},},$

$t{\displaystyle }$ =${\displaystyle N}$( ${\displaystyle p{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s^{}}$ ${\$에서 평가된 합리적 함수로서$,$ $일반적$인$$Riemann zeta 함수 표기법에서 s {\$displaystyle$ s} 복합$$ $변수.$(여기서 N은 이상에 대한 필드 규범이다.)

$p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(^{[note 1]}를) ramised하고 I가 G의 부분군인 관성군일 때 유사한 구문이 적용되지만 I에 의해 V 고정(포인트)의 하위공간에 적용된다.

Artin L-기능 $L{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$, s${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$(\rho ,s)}$은 이러한 요인의 모든$$ 주요 이상 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 무한 생산물이다$$.아르틴 상호주의에서 알 수 있듯이 G가 아벨 그룹일 때 이러한 L 기능들은 두 번째 설명을 가지고 있다(K가 합리적인 숫자 필드일 때 디리클레 L 기능으로서, 그리고 일반적으로 헤케 L 기능으로서).새로운 것은 비아벨리안 G와 그들의 표현과 함께 온다.

한 가지 적용은 예를 들어 합리적인 숫자에 대해 갈루아가 되는 숫자 필드의 경우, 디데킨드 제타 기능을 인수하는 것이다.정규표현이 수정 불가능한 표현으로 분해됨에 따라, 그러한 제타함수는 G의 각 수정 불가능한 표현에 대해 Artin L-기능의 산물로 분할된다.예를 들어 가장 간단한 경우는 G가 세 글자의 대칭 그룹인 경우다.G는 2도를 변경할 수 없는 표현을 가지고 있기 때문에, 그러한 표현에 대한 Artin L-기능은 그러한 숫자 필드에 대한 데데킨드 제타 함수의 인수화에서 리만 제타 함수와 디리클레트의 L-함수가 시그니처 표현에 대한 L-함수를 갖는 제품에서 제곱한다.

$L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$에 대해 보다 정확하게, 계수화 n의 갈루아 확장

${\displaystyle \zeta _{L}=L(s,\rho _{\text{정규})=\prod_{\rho {\text{{\text{Gal}}}{\rho ,s)^{\deg(\rho )}}}}}}}$

에서 따르다.

${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in K}{\frac {1}{\det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}){ V_{{\mathfrak {p}},\rho }}\right]}}}$

${\displaystyle -\log \det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {{\text{tr}}(\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}})^{m})}{m}}N({\mathfrak {p}})^{-sm}}$

${\displaystyle \sum \rho {\text{Inr}\deg(\rho ){\text{tr}(\rho(\sigma )={\begin{case}n&\0&\sigma \neq 1\case}}}}}$

${\displaystyle -\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho )\log \det \left[I-N\left({\mathfrak {p}}^{-s}\right)\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N({\mathfrak {p}})^{-sfm}}{fm}}=-\log \left[\left(1-N({\mathfrak {p}})^{-sf}\right)^{\frac {n}{f}}\right]}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$ $){\displaystyle \deg(\rho )}$는 정규 표현에서 수정 불가능한 표현들의 곱이며, f는 $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ r ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{b}}_{}}$ ${\$의 순서이고 n은 래미레이트된 프리타임에서 n/e로 대체된다.

문자가 클래스 함수의 정형화된 기초이므로, $L{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$, s )${\displaystyle L(\rho ,s)}$의 분석적 특성을 보인 후 산술 진행에 관한 디리클레트의 정리를 일반화하여 체보타레프 밀도 정리를 얻는다$$.

함수 방정식

Artin L-기능은 기능 방정식을 만족시킨다.$함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle L(}$ ${\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle s}$ )$${\$displaystyle$ L$(\rho$${\displaystyle {}^{}}$$s)}$은 그 $값$과 L$($ 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle s}$ ) {\$displaystyle$L(\$rho$^{*},$1-s)$과 관련이 있는데$$$,$ 여기서 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\$은 복잡한 결합 표현을 나타낸다$$.보다 정확히 말하면 L은 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \Lambda (\rho ,s$로 대체되는데, 이 \lambda (\rho ,s)는 L에 특정 감마 인수를 곱한 다음, 그 다음, meromorphic 함수의 방정식이 있다.

${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=$$W(\rho )\Lambda(\rho ^{*},1-s$

절대값 1의 어떤 복잡한 숫자 W(수치)로.아르틴 루트 번호다.그것은 두 가지 유형의 성질에 대해 깊이 연구되어 왔다.먼저 로버트 랭랜드와 피에르 들랭은 랭글랜드-델랭 지역 상수에 대한 인자화를 설정했다. 이것은 자동형 표현에 대한 추측 관계와 관련하여 중요하다.또한 ρ과 ρ*가 등가 표현인 경우는 기능 방정식이 양쪽 면에 동일한 L-함수를 갖는 것과 정확히 일치한다.대수학적으로 말하자면 ρ이 실제 표현 또는 쿼터니온 표현인 경우다.Artin 루트 번호는 +1 또는 -1이다.어떤 부호가 발생하는가는 갈루아 모듈 이론(Perlis 2001) harv error: no target: CITREFPerlis2001 (도움말)과 연관되어 있다.

아르틴 추측

Artin L-기능에 대한 Artin 추측에 따르면 비경쟁적 표현 ρ의$$ Artin $L-기능{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$( ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ L$(\rho ,s)}$은 전체 복잡한 평면에서 분석적이다.^[1]

이것은 1차원 표현으로 알려져 있으며, L-기능은 헤케 문자, 특히 디리클레 L-기능과 연관된다.^[1]보다 일반적으로 아르틴은 1차원 표현에서 유도된 모든 표현에 대해 아르틴 추측이 사실임을 보여주었다.만약 갈루아 집단이 슈퍼볼 수 있거나 더 일반적으로 단조롭다면, 모든 표현은 이런 형태여서 아르틴 추측이 유지된다.

안드레 웨일은 기능 분야의 경우 아르틴 추측을 증명했다.

2차원 표현은 영상 부분군의 성격에 따라 분류된다. 그것은 순환, 이음, 사면, 팔면 또는 이음면일 수 있다.순환이나 치골 케이스에 대한 아르틴의 추측은 에리히 헤케의 작품에서 쉽게 나타난다.랭글랜드는 4면체 사건을 증명하기 위해 기저 변경 리프팅을 사용했고, 제롤드 튜넬은 8면체 사건을 다루기 위해 그의 연구를 확장했다; 앤드류 와일즈는 이러한 사건들을 타니야마-양국에 대한 그의 증거에 사용했다.시무라 추측.Richard Taylor와 다른 사람들은 (해결할 수 없는) 이두엽 케이스에 대해 어느 정도 진전을 보았다; 이것은 연구의 활발한 영역이다.이상하고 돌이킬 수 없는 2차원 표현에 대한 Artin 추측은 투영적인 이미지 하위그룹에 관계 없이 Serre의 모듈성 추측의 증거에서 나온다.

유도 문자에 대한 브라워의 정리는 모든 아르틴 L-기능이 헤케 L-기능의 긍정적이고 부정적인 적분력의 산물이며, 따라서 전체 복잡한 평면에서는 공형성이라는 것을 암시한다.

랭글랜드(1970년)는 아르틴 추측은 모든 n from${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$에 대해 GL(n)에 대한 자동형 표현과 관련된 L-기능과 관련하여 랭글랜드 철학의 강력한 결과에서 나온다고 지적했다$.$더 정확히 말하면 랭글랜드 추측은 아델릭 집단의 자동형 표현을 연관시킨다.GL_n(A_Q)은 갈루아 그룹의 모든 n차원 불가해한 표현에 대해 GL(A)이며, 갈루아 표현에 대한 Artin L-기능이 자동형 표현에 대한 자동 L-기능과 동일하도록, 갈루아 표현에 불가해한 경우 중단형 표현이다.아르틴의 추측은 정맥 자동형 표현에 대한 L-기능이 홀로모르픽이라는 알려진 사실에서 즉시 나타난다.이것은 랭글랜드의 작업에 대한 주요한 동기 중 하나였다.

디데킨드의 추측

더 약한 추측(때로는 데데킨드 추측으로 알려져 있음)은 만약 M/K가 숫자 필드의 확장이라면, 그들의 데데킨드 제타 함수 중 $quot$${\displaystyle \zeta }$ M${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \zeta }$ K (${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$ )${\displaysty s\mapsto \jeta _{M}/\jeta _{K}s}$s}가 전체라고 말한다.

아라마타-브라워어 정리에는 M/K가 갈루아일 경우 추측이 성립한다고 명시되어 있다.

보다 일반적으로, M의 Galois는 K에, G는 N/K의 Galois 그룹을 닫게 한다.지수 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle M_{}}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \zeta {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle s\mapsto$\mapsto \$zeta _{M}/\zeta _{K}}}}}$은 M의 K-invariants 복합 내장에 대한 G의 작용과 관련된 자연 표현과 관련된 Artin L-기능과 동일하다$$.따라서 아르틴의 추측은 데데킨드의 추측을 암시한다.

이러한 추측은 G가 해결 가능한 집단일 때 1975년 고지 우치다와 R. W. 반 데르 와울에 의해 독립적으로 증명되었다.^[2]

참고 항목

• 등가 L-함수

메모들

참조

• Artin, E. (1923). "Über eine neue Art von L Reihen". Hamb. Math. Abh. 3. 수집된 작품인 ISBN0-387-90686-X에 다시 인쇄되었다.Artin L-Functions의 영어 번역: N. Snyder의 역사적 접근.
• Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (in German), 8: 292–306, doi:10.1007/BF02941010, JFM 56.0173.02
• Tunnell, Jerrold (1981). "Artin's conjecture for representations of octahedral type". Bull. Amer. Math. Soc. N. S. 5 (2): 173–175. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14936-3.
• Gelbart, Stephen (1977). "Automorphic forms and Artin's conjecture". Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Lecture Notes in Math. Vol. 627. Berlin: Springer. pp. 241–276.
• Langlands, Robert (1967). "Letter to Prof. Weil".
• Langlands, Robert P. (1970). "Problems in the theory of automorphic forms". Lectures in modern analysis and applications, III. Lecture Notes in Math. Vol. 170. Berlin, New York: Springer-Verlag. pp. 18–61. doi:10.1007/BFb0079065. ISBN 978-3-540-05284-5. MR 0302614.
• Martinet, J. (1977). "Character theory and Artin L-functions". In Fröhlich, A. (ed.). Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press. pp. 1–87. ISBN 0-12-268960-7. Zbl 0359.12015.
• Prasad, Dipendra; Yogananda, C. S. (2000). "A Report on Artin's Holomorphy Conjecture". In Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (eds.). Number Theory (PDF). Birkhäuser Basel. pp. 301–314. doi:10.1007/978-3-0348-7023-8_16. ISBN 978-3-0348-7023-8.

외부 링크

• Perlis, R. (2001) [1994], "Artin root numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press