캐릭터 합계

수학에서 문자 합은 주어진 범위의 n 값을 대체하는 디리클레 문자 $\chi n$(n ) ${\textstyle \sum \chi (n)}$의 합이다.이러한 합계는 예를 들어 2차 잔류물의 분포에서, 특히 최소 2차 비잔류 모듈로 N에 대한 상한 찾기의 고전적 문제에서 기본이다.캐릭터 합계는 종종 가우스 합에 의한 지수 합과 밀접하게 연관된다(이는 유한한 멜린 변환과 같다).

χ은 계수 N에 대한 비원칙적인 디리클레 문자라고 가정한다.

범위에 대한 합계

모든 잔류물 등급 모드의 N을 인수하는 합은 0이다.이는 관심 사례가 비교적 짧은 범위의$$ σ {\$displaystyle \Sigma }$ 합계가 된다는 것을 의미한다. R < N은 이렇게 말한다$.$

$M\leq n<M+R.}$

소소한 추정치 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle O}$( N${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Sigma =O(N)}$는 Polya-Vinogradov 불평등(George Polya, I. M. Vinogradov, 1918년 독립적으로))이라고 큰 O 표기한다.

${\displaystyle \Sigma =O({\sqrt{N}}\log N).}$

일반화된 리만 가설을 가정하면 휴 몽고메리와 R. C. 본은 추가적인 개선이 있다는 것을 보여주었다^[1].

${\displaystyle \Sigma =O({\sqrt{N}}\log \log N).}$

요약 다항식

또 다른 중요한 유형의 문자 합은 다음과 같다.

$[\displaystyle \sum \chi(F(n))}$

일부 함수 F의 경우, 일반적으로 다항식.고전적인 결과는 예를 들어 이차적인 경우를 말한다.

${\displaystyle F(n)=n(n+1)}$

그리고 legend 레전드르 기호.여기서 합계는 원뿔 부분의 국부 제타 기능에 연결된 결과(-1)로 평가할 수 있다.

보다 일반적으로, Jacobi 기호에 대한 그러한 합은 타원 곡선 및 과대망상 곡선의 국소 제타 기능과 관련이 있다. 이는 André Weil의 결과를 통해 N = p 프라임 숫자에 대해 비교 한계가 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle O({\sqrt{p}).}$

표기법에 내포된 상수는 해당 곡선의 속에서는 선형이므로 (레전드르 기호 또는 과패프렐립트 케이스)는 F의 정도로서 취할 수 있다(N의 다른 값에 대해서는 더 일반적인 결과를 거기서부터 얻을 수 있다).

또한 Weil의 결과는 Burgess Bound로 이어졌고,^[2] R의 N의 힘이 1/4보다 클 경우 Polya-Vinogradov를 넘어서는 비견적 결과를 제공하려고 신청했다.

계수 N이 소수라고 가정하자.

${\displaystyle {\begin{aigned}\Sigma &\ll p^{1/2}\log p,\\[6pt]\시그마 &\ll 2R^{1/2}p^{3/16}\log p,\\[6pt]\시그마 &\ll rR^{1-1/r}p^{(r+1)/4r^{2}}(\log p)^{1/2r}\end{arged}}}}}$

모든 정수 r ≥ 3에 대해.^[3]

메모들

참조

• G. Pólya (1918). "Ueber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste". Nachr. Akad. Wiss. Goettingen: 21–29. JFM 46.0265.02.
• I. M. Vinogradov (1918). "Sur la distribution des residus and nonresidus des puissances". J. Soc. Phys. Math. Univ. Permi: 18–28. JFM 48.1352.04.
• D. A. Burgess (1957). "The distribution of quadratic residues and non-residues". Mathematika. 4 (02): 106–112. doi:10.1112/S0025579300001157. Zbl 0081.27101.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (1977). "Exponential sums with multiplicative coefficients" (PDF). Invent. Math. 43 (1): 69–82. doi:10.1007/BF01390204. hdl:2027.42/46603. Zbl 0362.10036.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press. pp. 306–325. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.

추가 읽기

• Korobov, N.M. (1992). Exponential sums and their applications. Mathematics and Its Applications (Soviet Series). Vol. 80. Translated from the Russian by Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9. Zbl 0754.11022.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "The Pólya–Vinogradov inequality". MathWorld.
• 폴랴-비노그라도프 불평등에 관한 플래닛매트릭스 기사