이와사와 이론의 주요 추측
Main conjecture of Iwasawa theory밭 | 대수적 수 이론 이와사와 이론 |
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에 의해 추측: | 이와사와 겐키치 |
추측: | 1969 |
에 의한 첫 번째 증명 | 배리 마주르 앤드루 와일스 |
첫 번째 증빙 인 | 1984 |
수학에서 이와사와 이론의 주요 추측은 p-adic L-기능과 사이클로토믹 분야의 이상적인 계급 집단 사이의 깊은 관계인데, 이와사와 겐키치가 쿠메르-반디버 추측을 만족시킨 프라임으로 증명했고, 마주르와 와일스(1984)에 의해 모든 프라임으로 증명되었다.헤르브란트-리벳의 정리나 그라스의 추측은 둘 다 주요 추론의 쉬운 결과들이다.주요 추측에 대한 몇 가지 일반화, 완전히 실제 필드, CM 필드, 타원 곡선 등이 있다.
동기
이와사와(1969a)는 제이코비안 품종에 대한 프로베니우스 내형성의 고유치 측면에서 유한한 분야에 걸친 대수곡선의 제타함수에 대한 웨일의 설명과 유추하여 부분적으로 동기부여가 되었다.이 비유로 말하자면
- 프로베니우스의 작용은 그룹 Ⅱ의 작용에 해당한다.
- 곡선의 Jacobian은 이상적인 등급 그룹으로 정의된 모듈 X over Ⅱ에 해당한다.
- 유한장에 걸친 곡선의 제타함수는 p-adic L-함수에 해당한다.
- 프로베니우스의 고유값을 곡선의 제타함수의 0에 관련시키는 와일의 정리는 이와사와 대수의 작용과 관련된 이와사와의 주요 추측과 일치한다.
역사
이와사와 이론의 주요 추측은 p-adic L-기능을 정의하는 두 가지 방법(모듈 이론에 의한, 보간법에 의한)이 일치해야 한다는 주장으로서, 그것이 잘 정의되어 있는 한, 공식화되었다.이것은 Q에 대해 Mazur & Wiles(1984)에 의해 증명되었고, Wiles(1990)에 의해 모든 실제 수 필드에 대해 증명되었다.이러한 증명들은 헤르브란드의 정리(Herbrand-Ribet 정리)에 대한 켄 리벳의 반향에 대한 증거(Herbrand-Ribet 정리)를 모델로 삼았다.
칼 루빈은 랭(1990년)과 워싱턴(1997년)에 기술된 테인의 방법과 콜리바긴의 오일러 시스템을 사용함으로써 마주르-와일즈 정리의 보다 기본적인 증거를 발견했고, 이후 가상의 2차 영역에 대한 주요 추측에 대한 다른 일반화를 증명했다.[1]
2014년, 크리스토퍼 스키너와 에릭 어번(Erich Urban)[2]은 다수의 모듈형 형태에 대한 몇 가지 주요 추측 사례를 입증했다.결과적으로, 합리적인 숫자에 대한 모듈형 타원곡선의 경우, 그들은 s = 1에서 E의 Hasse-Weil L-함수 L(E, s)이 소멸하는 것은 E의 p-adic Selmer 그룹이 무한하다는 것을 의미한다는 것을 증명한다.그로스-자기에와 콜리바긴의 이론과 결합하여, 이것은 (테이트-샤파레비치 추측에 관한) 조건부 증거를 제시했는데, 만약 L(E, 1) = 0이면 E가 무한히 많은 이성적인 포인트를 가지고 있다는 추측을 L(E, 1) = 0이면 버치-스위너튼-다이어 추측의 a (약한) 형태였다.이러한 결과는 타원곡선의 양의 비율이 버치-스윈너턴-다이어 추측을 만족한다는 것을 증명하기 위해 만줄 바르르가바, 스키너, 위장이 사용하였다.[3][4]
성명서
- p는 소수다.
- F는n Q(ζ) 분야로, 여기서 ζ은 질서n+1 p의 통합의 뿌리인 것이다.
- γ은 p-adic 정수에 대한 F∞ 이형체의 절대 갈루아군 중 가장 큰 부분군이다.
- γ은 γ의 위상학적 발생원이다.
- L은n F의n p-힐버트 클래스 분야다.
- H는n 갈루아 그룹 갈(Ln/Fn)이며, 순서가 p의 힘인 F의n 이상적인 등급 그룹의 요소들의 하위그룹에 이형성이다.
- H는∞ 갈루아 그룹 H의n 역한계다.
- V는 벡터 공간 H∞⊗ZpQ이다p.
- Ω은 타이히뮐러 문자다.
- V는i V의 Ωi 아이겐스페이스다.
- hp(Ωi,T)는 벡터 공간 V에i 작용하는 γ의 특성 다항식이다.
- L은p Lp(Ωi,1–k) = –Bk(Ωi–k)/k를 갖는 p-adic L 함수인데, 여기서 B는 일반화된 베르누이 수이다.
- u는 통일의 모든 p-power 뿌리에 대해 γ(ζ) = ζ을u 만족하는 고유한 p-adic 수이다.
- G는p Gp(Ωi,us–1) = Lp(Ωi,s)을 갖는 전력 시리즈임
이와사와 이론의 주요 추측에 의하면, 내가 1모드 p–1에 부합하지 않는 홀수 정수라면, h(Ωpi,T)와 Gp(Ω1–i,T)에 의해 생성되는p Z – T –의 이상이 동일하다고 한다.
메모들
원천
- Baker, Matt (2014-03-10). "The BSD conjecture is true for most elliptic curves". Matt Baker's Math Blog. Retrieved 2019-02-24.
- Bhargava, Manjul; Skinner, Christopher; Zhang, Wei (2014-07-07). "A majority of elliptic curves over $\mathbb Q$ satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture". arXiv:1407.1826 [math.NT].
- Coates, John; Sujatha, R. (2006), Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl 1100.11002
- Iwasawa, Kenkichi (1964), "On some modules in the theory of cyclotomic fields", Journal of the Mathematical Society of Japan, 16: 42–82, doi:10.2969/jmsj/01610042, ISSN 0025-5645, MR 0215811
- Iwasawa, Kenkichi (1969a), "Analogies between number fields and function fields", Some Recent Advances in the Basic Sciences, Vol. 2 (Proc. Annual Sci. Conf., Belfer Grad. School Sci., Yeshiva Univ., New York, 1965-1966), Belfer Graduate School of Science, Yeshiva Univ., New York, pp. 203–208, MR 0255510
- Iwasawa, Kenkichi (1969b), "On p-adic L-functions", Annals of Mathematics, Second Series, 89 (1): 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR 0269627
- Lang, Serge (1990), Cyclotomic fields I and II, Graduate Texts in Mathematics, vol. 121, With an appendix by Karl Rubin (Combined 2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl 0704.11038
- Manin, Yu I.; Panchishkin, A. A. (2007), Introduction to Modern Number Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 49 (Second ed.), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396, Zbl 1079.11002
- Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), "Class fields of abelian extensions of Q", Inventiones Mathematicae, 76 (2): 179–330, doi:10.1007/BF01388599, ISSN 0020-9910, MR 0742853, S2CID 122576427
- Skinner, Christopher; Urban, Eric (2014). "The Iwasawa Main Conjectures for GL2". Inventiones Mathematicae. 195 (1): 1–277. CiteSeerX 10.1.1.363.2008. doi:10.1007/s00222-013-0448-1. ISSN 0020-9910. S2CID 120848645.
- Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
- Wiles, Andrew (1990), "The Iwasawa conjecture for totally real fields", Annals of Mathematics, Second Series, 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971468, MR 1053488