p-adic L-기능

수학에서 p-adic 제타 함수, 즉 보다 일반적으로 p-adic L-함수는 리만 제타 함수와 유사한 함수, 또는 보다 일반적인 L-함수와 유사하지만 그 영역과 대상이 p-adic(여기서 p는 프라임 숫자)이다.예를 들어, 영역은 p-adic 정수_p Z, 무한 p-그룹 또는 p-adic 계열의 갈루아 표현일 수 있으며, 이미지는 p-adic 숫자 Q_p 또는 그것의 대수적 폐쇄일 수 있다.

p-adic L 기능의 출처는 두 가지 유형 중 한 가지인 경향이 있다.구보타 토미오와 하인리히-울프강 레오폴트가 p-adic L-기능(Kubota & Leopoldt 1964)을 처음 구축한 출처는 L-기능의 특별한 가치의 p-adic 보간법을 통해서이다.예를 들면, 쿠보타-Leopoldt 베르누이 숫자를p-adic L-function,p-adic 리만 제타 함수 ζp(s), 부정적인 홀수에서 가치 있는 것은 리만 제타 함수의 부정적인 홀수에를 건설하기 위해(명시적 보정 계수까지).p-adic L-functions 이 패션에서 발생하는 전형적으로 analyt으로 언급됩니다. 버섯의 congruences을 사용했다.ic p-adic L 기능p-adic L 기능의 다른 주요 출처 - 이와사와 겐키치가 처음 발견한 - 사이클로토믹 필드의 산술적 또는 보다 일반적으로 사이클로토믹 필드의 탑이나 더 많은 일반 타워 위의 특정 갈루아 모듈에서 찾을 수 있다.이러한 방식으로 발생하는 p-adic L-함수는 관련된 Galois 모듈의 산술 데이터를 인코딩하기 때문에 일반적으로 산술 p-adic L-함수라고 불린다.이와사와 이론의 주요 추측(현재 배리 마주르와 앤드루 와일즈로 인한 정리)은 쿠보타--라는 진술이다.이와사와 이론에 의해 구성된 산술 아날로그와 레오폴트 p-adic L-함수는 본질적으로 동일하다.분석 p-adic L-기능과 산술 p-adic L-기능이 모두 구성(또는 예상)되는 보다 일반적인 상황에서는, 그들이 동의하는 진술을 그 상황에 대한 이와사와 이론의 주요 추측이라고 한다.그러한 추측은 L-기능의 특수 값이 산술 정보를 포함하고 있다는 철학에 관한 공식적인 진술을 나타낸다.

디리클레 L 기능

디리클레 L 함수는 다음 분석 연속성에 의해 주어진다.

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{n^}}}=\p{\text{prim}}{p{1}{1-\chi (p)^{-s}}}}}}}$

음의 정수에 대한 디리클레 L 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}$

여기서 B는_n,χ 버눌리(Bernouli)의 일반화된 번호로 정의된다.

${\displaystyle \sum \sum _{n=0}^{\inflt }B_{n,\chi }{\frac{t^{n}}}{n!}}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

도체 f가 있는 디리클레 캐릭터를 위해.

보간법을 사용한 정의

쿠보타-Leopoldt p-adic L-function_p L(s, χ)은 diriclet L-function을 p 제거에서 오일러 계수로 보간한다.보다 정확히 말하면, L_p(s, ))은 다음과 같은 p-adic number s의 고유 연속함수다.

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi(p)p^{n-1}L(1-n,\chi )}$

p - 1로 나눌 수 없는 양의 정수.오른손은 p에서 오일러 인자를 제거하지 않으면 p-ad적으로 연속되지 않는다는 점을 제외하고는 일반적인 디리클레 L 기능일 뿐이다.오른손의 연속성은 쿠메르 혼혈과 밀접한 관련이 있다.

n이 p - 1로 분할되지 않은 경우 이는 일반적으로 유지되지 않는다. 대신

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{n}(p)p^{n-1}L(1-n,\chi \omega ^{n})}$

양의 정수 n.여기서 χ은 테이크뮐러 문자 Ω의 힘에 의해 꼬인다.

p-adic 척도로 간주

p-adic L 기능은 p-profinite Galois 그룹에 대한 p-adic 측정(또는 p-adic 분포)으로도 생각할 수 있다.이 관점과 쿠보타-의 원점간의 번역.레오폴트(Z의_p Q 값_p 함수로서)는 Mazur-Mellin 변환(및 클래스 필드 이론)을 통해 이루어진다.

완전히 실제 필드

Deligne & Ribet(1980)은 세레(1973년)의 이전 작업을 바탕으로 실제 영역에 대한 p-adic L-기능을 구축했다.독립적으로 바르스키(1978)와 카소우노게스(1979)도 마찬가지였지만, 그들의 접근법은 신타니 다쿠로의 L값 연구에 대한 접근법을 따랐다.

참조

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