폐쇄-부분군 정리

수학에서 폐쇄 부분군 정리(가끔 카르탄의 정리라고도 함)는 리 집단 이론에서 정리된 것이다. $H$ 가 Lie 그룹 $G$ 의 폐쇄적인 하위 그룹이라면 $H$ 는 임베딩에 동의하는 매끄러운 구조(따라서 그룹 토폴로지)를 가진 임베디드 Lie 그룹이라고 명시되어 있다.^[1]^[2]^[3] 카르탄의 정리라고 알려진 몇 가지 결과 중 하나로, 엘리 카르탄에 의해 1930년에 처음 출판되었는데,^[4] 그는 존 폰 노이만의 1929년 선형 변환 그룹에 대한 특별한 사례에 대한 증거에서 영감을 받았다.^[5]

개요

Let $G$ be a Lie group with Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ . Now let $H$ be an arbitrary closed subgroup of $G$ . Our goal is to show that $H$ is a smooth embedded submanifold of $G$ . Our first step is to $H$ $H$ 의 Lie 대수일 수 있는 것 $H$ 즉 정체성의 $H$ $H$ $H$ 의 접선 공간일 수 있는 것을 식별한다. 문제는 $H$ $H$ 이 $H$ (가) 어떠한 부드러움도 가지고 있지 않다고 가정하여 접선 공간을 어떻게 정의할 수 있는지 명확하지 않다는 점이다. 계속하려면 $H$ 으로 H $H$ ${\displaystyle$ H $}$ 의 ${\mathfrak {h}}$ "Lie 대수" h ${\displaystyle$ { $h$ $}$ 을(를) 정의하십시오.

{\mathfrak{h}=\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\,\forall t\in \mathb {R}\right\}.

그것은 g{\displaystyle{\mathfrak{g}의 h{\displaystyle{\mathfrak{h}}}은 리 subalgebra}특히 h{\displaystyle{\mathfrak{h}에서}.[6]}}g{\displaystyle{\mathfrak{g}의 부분 공간을 보여 주기 위해}}, 우리는 H{\displaystyle 것일 수도 있고, 접선 공간 희망은 어렵지 않다. H} $H$ 동일본으로 그러나 이 아이디어가 효과를 거두려면 ${\mathfrak {h}}$ ${\$ 이(가) $H$ ${\$ $displaystyle H$ $}$ 에 대한 몇 가지 흥미로운 정보를 캡처할 수 있을 만큼 크다는 ${\mathfrak {h}}$ 것을 알아야 한다 $H$ 예를 들어 $,$ $H$ $G$ 의 $G$ 일부 큰 부분군이지만 $H$ ${\mathfrak {h}}$ ${\$ {h $}$ 이 ${\mathfrak {h}}$ (으)로 $판명$ 되었다. 0이 되려면 ${\mathfrak {h}}$ ${\$ 이(가) 우리에게 도움이 되지 ${\mathfrak {h}}$ 않을 것이다.

그렇다면 중요한 단계는 ${\mathfrak {h}}$ ${\$ 이(가) $H$ H $H$ 의 $H$ 모든 요소를 캡처하고 있다는 것을 보여주는 것이다. 즉, 다음과 같은 중요한 보조정리기가 지탱하고 있다는 것을 보여줄 필요가 있다.

보조정리 — ${\mathfrak {g}}$ ${\$ $displaystyle {\mathfak{g}}$ 에 $있는$ 원점의 작은 $U$ $근린$ U ${\displaystyle$ U $}$ 을(를 $)$ 지수 맵이 G {\ $displaystyle$ G}에 있는 $V$ $V$ 의일부 근린 V {\ $displaystyle$ V $G$ 에 차별적으로 $U$ 보내도록 하고 ${\mathfrak {g}}$ $\log :V\to U$ : $\log :V\to U$ → $\log :V\to U$ ${\displaystystystystystystystystyone \lo$ . $g :V\to U}$ 은(는) 지수 지도의 역이다 $\log :V\to U$ . $그런$ 다음 더 작은 동네 $W\subset V$ $W\subset V$ $W\subset V$ ${\$ $displaystyle W$ $\subset V}$ 이 $W\subset V$ (가 $)$ $display$ H {\displaystyle $W\cap H}$ 에 $h$ $W\cap H$ 속하면 $\log(h)$ $\log(h)$ ( $\log(h)$ ) ${\displaystyle \log(h)$ 가 h ${\$ 에 속함 $\log(h)$ {h}에 속함 ${\mathfrak {h}}$ ^[7]

Once this has been established, one can use exponential coordinates on $W$ , that is, writing each $g\in W$ (not necessarily in $H$ ) as $g=e^{X}$ for $X=\log(g)$ . In these coordinates, the lemma says tha $T$ ${\displaystyle$ $X}$ 이(가 $)$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\displaystyle$ { $h}\mathfrak$ {h}\ $subset$ {\ $mathfrak$ { $g}$ 에 $X$ 속한다면 $H$ H{\ $displaystystyle$ $H$ }의 한 점에 $X$ 해당함 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 즉, 정체성에 가까운 지수 좌표에서 $H$ ${\displaystystystypector$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\$ daystypecturestypector}은 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 과 비슷하게 보인다 $H$ . ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ . Since ${\mathfrak {h}}$ is just a subspace of ${\mathfrak {g}}$ , this means that ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ is just like ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\subset \mathbb {R} ^$ ${n$ $k=\dim({\mathfrak {h}})$ = $){\displaystyle k=\dim({\mathfrak{h}},$ $n=\dim({\mathfrak {g}})$ = $){\displaystyle$ n $=\dim\\mathfrak{g$ $H\subset G$ $H\subset G$ $\mathbb {R} ^{k}\subset \mathbb {R} ^{n}$ G $H\subset G$ 이(가) $\mathbb {R} ^{k}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 로 R k ice R n {\ $displaystyle \mathb {R} ^{k}\subset \mathb {R}{n$ 과(가)와 $H\subset G$ 같은 "슬라이스 좌표계"를 전시했는데, 이것은 내장형 서브매니폴드의 조건이다.^[8]

그것은 Rossmann g{\displaystyle{\mathfrak{g}의 G의 어떤 서브 그룹 H{H\displaystyle}H{H\displaystyle}의{G\displaystyle}(반드시 마감했다), 리 대수 h{\displaystyle{\mathfrak{h}}}은 리 subalgebra}}.[9]Rossmann 뒤 허를 소개한지를 보여 준다 주목할 만하다.rdi $H$ $H$ 의 ID 구성요소를 Lie 그룹으로 만드는 $H$ $H$ H $H$ 의 네이트^[10]. 그러나 이러한 좌표에서 나오는 $H$ $H$ $H$ 의 위상은 부분집합 위상이 아니라는 점에 유의해야 한다. 즉, $H$ ${\displaystyle H$ }의 ID 구성요소는 $G$ $G$ 의 잠입 하위 관리본이지만 내장 $H$ $G$ 하위 관리본은 아니다.

특히 $H$ $H$ 을 $H$ (를) 닫지 않으면 위에 언급된 보조정리기가 고정되지 않는다.

닫히지 않은 부분군 예제

토러스

G. 휘어진 나선 표면에 만약 a=.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{H. 키스할 때 누워 상상해 보세요.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비: 낮은 측면에서 1px}p⁄q, 나선 자체에(1,1)에서 θ에 φ과q 회전에서 p회전 후에 문을 닫을 것이다.

a

가 비이성적이면 나선은 무한정 감긴다.

포함된 Lie 하위 그룹이 아닌 부분군의 예제의 경우, 토러스 및 "토루스의 비합리적인 권선"을 고려하십시오.

G=\mathb {T}^{2}=\왼쪽\{\왼쪽.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\0\\e^{2\pi i\pi }\end{pmatrix}\right \theta,\phi \in \mathb {R}\right\},

및 그 하위 그룹

H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\e^{2\pi aa\}\end{pmatrix}\rie \mathb {R}\rie 대수학으로 \{\text}}}}}{\mathfrak {h}\왼쪽\{{{{{{왼쪽}}}}}}}.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right \theta \in \mathb {R}\right\}}

비이성적으로

그리고

나서

H

는 G로 밀도가 높아서 닫히지 않는다.^[11] 상대적 위상에서

H

의 작은 열린 부분집합은 토러스 표면에 무한히 많은 거의 평행한 선 세그먼트로 구성된다.

이것

은 H가 로컬로 연결된 경로가 아니라는 것을 의미한다. 그룹 토폴로지에서, 작은 오픈 세트는 토러스 표면의 단일 선 세그먼트와 로컬로 연결된 His

경로다.

이 예는 H $그룹$ 의 경우 $h$ 의 요소 지수인 ID의 상대적 $토폴로지 r$ in에서 임의로 작은 $이웃$ U에서 포인트를 찾을 수 있지만 $U$ 에 머무르는 경로로는 ID에 연결할 수 없다는 것을 보여준다.^[12] 그룹 $(H,$ $τ r)$ 은 Lie 그룹이 아니다. 지도 $exp$ : $h \to$ ( $H,$ $τ r)$ 는 분석적 편향인 반면, 그 역은 연속성이 없다. 즉, $U$ ⊂ $h$ 가 작은 개방간격 $-ε < ε$ < $ε$ >에 해당하는 경우, 세트 $V$ 의 외관으로 인해 $로그(V)$ ⊂ $U$ 와 함께 열린 $V$ $\subset$ ( $H,$ $τ r)$ 은 존재하지 않는다. 단, 그룹 토폴로지 $τ$ 과_g 함께 $,$ ( $H g$ , $))$ 는 Lie 그룹이다. 이 토폴로지에서 $주입$ ( : ( $H g, \to)$ → $G$ 는 분석적 주입 몰입이지만 동형성은 아니므로 임베딩이 아니다. $h$ 의 원소의 지수화되지 않은 정체성의 임의의 작은 근린(상대적 위상)에서 점을 찾을 $수$ 있는 H군의 예도 있다.^[12] 폐쇄된 부분군의 경우, 아래의 정리의 증거가 보여주는 바와 같이 이것은 해당되지 않는다.

적용들

정리의 결론 때문에, 일부 저자들은 선형 Lie 그룹이나 매트릭스 $Lie$ 그룹을 GL $(n,$ $R)$ 또는 $GL(n,$ C)의 폐쇄적인 하위 그룹으로 정의하기로 선택했다 $.$ ^[13] 이 설정에서, 정체성에 충분히 가까운 집단의 모든 요소들이 리 대수학의 한 요소의 지수라는 것을 증명한다.(^[14]증거는 실질적으로 아래에 제시된 닫힌 부분군 정리의 증명과 동일하다.) 모든 닫힌 부분군이 $GL(n,$ $C)$ ^[15]의 서브매니폴드인 것을 따른다.

균질 공간구축 정리는 다음과 같다 $—$ $H$ $subgroup$ G가 닫힌 Lie 부분군이라면, 왼쪽 코셋 $공간$ 인G/ $H$ 는 지수 지도 $g : G$ → G/ $H$ 가 분석적 침하일 정도로 독특한 실제 분석적 다지관 구조를 가지고 있다. $g 1 \cdot$ ( $gH 2) =$ ( $gg 12)$ 로 주어진 왼쪽 동작 $H$ 는 $G / H$ 를 균질 G-공간으로 바꾼다.

닫힌 부분군 정리는 이제 가설을 상당히 단순화하며, 선행은 균질한 공간의 종류를 넓힌다. 모든 닫힌 부분군은 균일한 공간을 산출한다.

비슷한 방법으로 폐쇄적인 부분군 정리는 다음과 같은 정리에서 가설을 단순화한다.

X

가 transitive 그룹 작용이 있는 집합이고

점

x ∈

X

의 동위원소 그룹 또는 스태빌라이저가 닫힌 Lie 하위그룹인 경우,

X

는 작용이 매끄러울 정도로 독특한 부드러운 다지관 구조를 가지고 있다.

마감조건

$H$ ⊂ $G$ 가 닫힐 수 있는 충분한 조건, 즉 내장된 Lie 그룹이 아래에 제시되어 있다.

모든 클래식 그룹은 $GL(F,$ $n$ )에서 닫히는데 $여기$ 서 $\mathbb {R}$ 는 R ${\$ $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {H}$ H ${\\$ 쿼터넌스 입니다 $.$
로컬로 닫힌 부분군은 닫힌다.^[16] $U$ 에서 $H$ ∩ $U$ 가 닫히는 것과 같이 모든 $점$ 이 U $gG$ 에 근접한 경우 부분군은 국부적으로 닫힌다.
$H$ = $AB =$ { $ab$ $a$ ∈ $A,$ $b$ ∈ $B},$ 여기서 $A$ 는 콤팩트 그룹이고 $B$ 는 닫힌 집합이면 $H$ 는 닫힌다.^[17]
$만일$ h ⊂ $g$ 가 X ∈ $g$ \ $h,$ [ $X,$ $h]$ ∈ $h$ 가 아닌 경우, $e$ 에^h 의해 생성된 그룹인 $γ(h$ )은 $G$ 에서 닫힌다.^[18]
$X$ ∈ $g$ 인 경우 $X$ 가 $\mathbb {C}$ ${\$ 을(를) 불합리한 비율의 두 항목이 있는 대각 행렬과 유사한 경우에만 $\mathbb {C}$ X에 $의해$ 생성된 1-모수 부분군이 닫히지 않는다.^[19]
$Lie$ 하위 상징이 되게 하라. $k$ 이소모르픽을 $h$ 로 단순하게 연결된 콤팩트 그룹 K가 있으면 $G$ 에서 $γ(h)$ 를 닫는다.
G가 단순하게 연결되고 $h$ ⊂ $g$ 가 이상이라면, Lie 대수 $h$ 와 연결된 Lie 하위 그룹은 닫힌다. ^[21]

컨버스

내장된 Lie 부분군 $H$ ⊂ $G$ 는 닫히므로^[22], 부분군이 닫힌 경우에만 내장된 Lie 부분군이 된다. 마찬가지로 $H$ 는 그룹 토폴로지가 상대 토폴로지와 동일한 경우에만 포함된 Lie 하위그룹이다.^[23]

증명

1929년 존 폰 노이만은 여기서 주어진 매트릭스 그룹의 경우에서 정리를 증명했다. 그는 양자역학, 세트 이론, 수학의 기초 등 많은 분야에서 두각을 나타냈다.

행렬과 그 지수적 매핑은 일반적인 경우보다 쉬운 개념이기 때문에 $G$ = $GL(n,$ $R)$ 을 가진 행렬 그룹에 대한 증거가 제시된다. 역사적으로 이 사건은 1929년 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 먼저 증명되었고, 1930년 카르탄에게 완전한 폐쇄적인 부분군 정리를 증명하도록 영감을 주었다.^[5] 일반 $G$ 에 대한 증명은 공식적으로 동일하다.^[24] 단, Lie 대수학의 요소는 $G$ 의 왼쪽 불변 벡터 필드이며 지수 매핑은 벡터 필드의 1회 흐름 시간이다. $GL(n,$ $R$ )에서 $G$ 와 $H$ 가닫히면 $GL(n,$ R $)$ 에서 $H$ 가 닫히므로 임의 $G n GL ($ n, $R)$ $대신$ $GL$ (n, R $)$ 에 대한 전문화는 거의 중요하지 않다 $.$

키 보조정리 증빙

우리는 위의 "개요" 섹션에서 언급된 핵심 보조정리부터 시작한다.

내부 제품(예: Hilbert-Schmidt 내부 제품)을 포함한 $g$ 를 $내포$ 하고h = { $X ($ M $(R n$ ) = $g$ $e tX \forall H$ $tt$ ∈ $R}$ 로 정의된 $H$ 의 Lie 대수학으로 두십시오. $Lets =$ { $S$ ∈ $g$ ( $S,$ $T)$ = 0 $\forall T$ ∈ h $},$ 직교보완 $h$ . 그 $다음$ g는 직접 $합계$ g = $s h$ h로 분해되기 때문에 $각$ X $g$ g는 $S s$ s, $T h$ h와 $함께$ X = $S$ + $T$ 로 고유하게 표현된다.

$지도$ $,$ : g → $GL(n,$ $R)$ by ( $S$ , $T)$ ↦ $ee$ 를^S^T 정의한다 $.$ 지수 확장,

\Phi(S,T)=e^{tS}e^{t}=I+tS+T+O(t^{2}),

그리고 또는 차동 계전기 0에pushforward, Φ∗(S, T)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-o.Utput.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫd(tS, tT)t=0으로 S+T, 즉 Φ∗)Id, 정체성 보인다. 역함수 정리 가설은

φ

분석법으로 만족하며,

따라서

φ 1

U와

I

∈ V의 U ⊂

g,

V 1

⊂

GL(n,

R)

이 0 ∈

U

와₁ I ∈

V

의₁ 오픈 세트가 있어, φ는

u

에서₁ inverse는 역 inverse으로 U에서

V

로₁ 실제 분석적 분석적 편향이다.

U

와₁

V

가₁ 정리의 결론이 담고 있는 오픈 세트

U

와

V

를 포함하고 있다는 것을 보여줘야 한다.

0∈ g, 선형적으로 B1⊂ U1과 역 포함에 의해 명령된에서 가산 지역 기준 Β을 고려해 보세요.모순을 얻을 목적을 위해 모두에게 나는, Φ(비)∩ H요소는 들어 있는 형태 안녕에 없습니다 안녕하세요)eTi,Ti∈가 가정하자[25]그 비로 Φ은 bijection하자, 있는 고유한 시퀀스 자이)Si+Ti, 0≠ Si∈ s, 그리고 Ti∈ h과 같고 있다. $X i$ ∈ $B$ 는_i $eter S i T i$ = $h$ 와_i 함께 근린 기초가 되기 $때문$ 에 0으로 수렴한다. $e T i$ h $H$ 와_i h since H, $e S i as$ H 또한 그렇다.

$s$ 로 $시퀀스$ 를_i 정상화한다, $Y i$ = S $/$ $S i$ . 단위 구체에서 그 값을 $s$ 로 취하며, 콤팩트하기 $때문$ 에 Y $s$ s로 수렴하는 수렴이 있다.^[26] $향후$ 의 지수는 이러한 반복성을 가리킨다. $e tY$ ∈ $H, \forall t$ ∈ $R$ . $t$ 를 고정하고 m $S i i$ → $t$ 와 같은 정수의 $sequence i$ $m$ 을 i → $\infty$ 으로 선택한다는 것을 보여줄 것이다. 예를 들어, $m i i$ $S i t$ t $($ ( $m i$ + 1) $S$ 가_i $S i$ → 0으로 한다. 그러면

(e^{S_{i}})^{m_{i}}^{m_{i}S_{i}}}=e^{m_{i}\S_{i}\Y_{i}\오른쪽 화살표 e^{t}Y}

$H$ 는 집단이기 때문에 왼손은 $모두$ $H$ 에 있다. $H$ 가 닫혀 있기 때문에 $e tY$ ∈ $H, \forall t$ ,^[27] 따라서 $Y$ ∈ $h$ . 이것은 모순이다. 따라서 일부 $i$ 의 경우, $세트$ U = $β i$ 및 $V$ = $((β i)$ 가^{(U ∩ h)}e = $H$ v $V$ 를 만족시키고 오픈 세트 $(U$ ∩ $h)$ restricted $h$ 로 제한된 지수 는 오픈 세트 $φ(U)$ ∩ $H$ 와 $함께$ 분석적 편향에 있다. 이것은 보조마임을 증명한다.

정리증거

$j$ ≥ $i$ 의 경우, $φ$ 에 $따른 j$ $B$ 의 H의 $이미지$ 는 I에서 근린적 기반을 형성한다. 이는 구성 방식에 따라 그룹 토폴로지와 상대 토폴로지에서 모두 근린 기반이다. $G$ 의 곱셈은 분석적이기 때문에, 그룹 요소 $g$ 에 $의한$ 이 동네의 좌우 번역은 $g$ 에서 이웃의 기초를 제공한다 $.$ $이$ 기지들은 H로 제한되어 $있으며$ , H로 제한되어 있다. 이러한 기초에 의해 생성된 위상은 상대 위상이다. 결론은 상대적 위상이 그룹 위상과 동일하다는 것이다.

다음으로 $H$ 에 좌표 차트를 생성한다. 먼저 $φ 1$ : $e (U)$ ⊂ G → g, $g$ ↦ $log(g$ )를 정의한다 $.$ 이것은 역분석을 이용한 분석적 편향이다. 더욱이 $h$ ∈ $H$ 인 경우, $φ 1$ $(h)$ ∈ $h$ . g = $h$ ⊕ $s$ 에 대한 근거를 고정하고 R $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n$ 로 $g$ 를 식별함으로써, 이 좌표 $φ 1 (h) =$ ( $x 1 (h),$ … $x m (h), 0, \dots, 0)$ 에서 $m$ 은 $h$ 의 차원이다. 이것은 ( $e U,$ $φ 1)$ 가 슬라이스 차트라는 것을 보여준다. 위에 사용된 카운트 가능한 주변 기준에서 얻은 차트를 번역하여 $H$ 의 모든 점을 중심으로 슬라이스 차트를 얻는다. 이것은 $H$ 가 $G$ 의 내장 하위 관리형이라는 것을 보여준다.

Moreover, multiplication $m$ , and inversion $i$ in $H$ are analytic since these operations are analytic in $G$ and restriction to a submanifold (embedded or immersed) with the relative topology again yield analytic operations $m : H \times H \to G$ and $i : H \times H \to G$ .^[28] But since $H$ is embedded, $m : H \times H \to H$ and $i : H \times H \to H$ are analytic as well.^[29]

참고 항목

메모들

^ Lee 2003 정리 20.10. Lee는 이 정리를 모든 일반성으로 진술하고 증명한다.
^ 로스만 2002 정리 1, 2.7절 로스만은 선형 집단에 대한 정리를 기술하고 있다. $U$ × $H$ → G $\to$ ( $X,$ H $)$ → $eH$ 가^X $G$ 에서 $H$ 의 개방된 근방에 대한 분석적 바이어스인 오픈 서브셋 U ⊂ $g$ 가 있다는 것이다.
^ 홀 2015 선형 그룹에 대해 홀은 코롤라리 3.45에서 유사한 결과를 증명한다.
^ 카르탄 1930 § 26을 참조하라.
^ ^a ^b 폰 노이만(1929년), 보치너(1958년).
^ 홀 2015 정리 3.20
^ 홀 2015 정리 3.42
^ Lee 2003 제5장
^ 로스만 2002장 제2장 발의안 제1호 및 코롤라리 7호
^ 로스만 2002 섹션 2.3
^ Lee 2003 사례 7.3
^ ^a ^b Rossmann 2002 섹션 2.2의 Corolary 5, 코롤라리 5, 코멘트 참조.
^ 예: 2015 홀. 1장의 정의를 참조하십시오.
^ 홀 2015 정리 3.42
^ 홀 2015 코롤라리 3.45
^ 로스만 2002년 문제 1. 섹션 2.7
^ 로스만 2002년 문제 3. 섹션 2.7
^ 로스만 2002년 문제 4. 섹션 2.7
^ 로스만 2002년 문제 5. 섹션 2.7
^ 홀 2015, 정리 5.6에 따른 결과
^ 홀 2015 연습 3장 14
^ Lee 2003 Corolary 15.30.
^ 로스만 2002년 문제 2. 섹션 2.7
^ Lee 2002 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFLee2002 (도움말) 21장 참조
^ $이$ 를₁ 위해 개방 공(open $ball$ )을 선택할 수 있기 때문에, $일부 1$ 충분히 큰 $m$ 에 대해 $β$ ( $B k k) = ½$ $($ $k$ + $m),$ $k$ ∈ $N}$ 을 선택할 수 있다. 여기서 Hilbert-Schmidt 내측 제품에서 얻은 메트릭이 사용된다.
^ Willard 1970 문제 17G에 의해 s는 순차적으로 콤팩트하다. 즉, 모든 시퀀스에는 수렴 연속성이 있다는 뜻이다.
^ Willard 1979 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFWillard1979 (도움말) Corollary 10.5. Corollary 10.5.
^ 2003년 발의안 8.22.
^ Lee 2003 Corolary 8.25.

참조

Bochner, S. (1958), "John von Neumann 1903–1957" (PDF), Biographical Memoirs of the National Academy of Sciences: 438–456. 441 페이지 참조.
Cartan, Élie (1930), "La théorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs", Mémorial Sc. Math., XLII, pp. 1–61
Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Springer Graduate Texts in Mathematics, 218, ISBN 0-387-95448-1
von Neumann, John (1929), "Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen", Mathematische Zeitschrift (in German), 30 (1): 3–42, doi:10.1007/BF01187749
Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9
Willard, Stephen (1970), General Topology, Dover Publications, ISBN 0-486-43479-6

[1] Lee 2003 정리 20.10. Lee는 이 정리를 모든 일반성으로 진술하고 증명한다.

[2] 로스만 2002 정리 1, 2.7절 로스만은 선형 집단에 대한 정리를 기술하고 있다. $U$ × $H$ → G $\to$ ( $X,$ H $)$ → $eH$ 가^X $G$ 에서 $H$ 의 개방된 근방에 대한 분석적 바이어스인 오픈 서브셋 U ⊂ $g$ 가 있다는 것이다.

[3] 홀 2015 선형 그룹에 대해 홀은 코롤라리 3.45에서 유사한 결과를 증명한다.

[4] 카르탄 1930 § 26을 참조하라.

[vnb-5] 폰 노이만(1929년), 보치너(1958년).

[6] 홀 2015 정리 3.20

[7] 홀 2015 정리 3.42

[8] Lee 2003 제5장

[9] 로스만 2002장 제2장 발의안 제1호 및 코롤라리 7호

[10] 로스만 2002 섹션 2.3

[11] Lee 2003 사례 7.3

[Rossmann_2002-12] Rossmann 2002 섹션 2.2의 Corolary 5, 코롤라리 5, 코멘트 참조.

[13] 예: 2015 홀. 1장의 정의를 참조하십시오.

[14] 홀 2015 정리 3.42

[15] 홀 2015 코롤라리 3.45

[16] 로스만 2002년 문제 1. 섹션 2.7

[17] 로스만 2002년 문제 3. 섹션 2.7

[18] 로스만 2002년 문제 4. 섹션 2.7

[19] 로스만 2002년 문제 5. 섹션 2.7

[20] 홀 2015, 정리 5.6에 따른 결과

[21] 홀 2015 연습 3장 14

[22] Lee 2003 Corolary 15.30.

[23] 로스만 2002년 문제 2. 섹션 2.7

[24] Lee 2002 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFLee2002 (도움말) 21장 참조

[25] $이$ 를₁ 위해 개방 공(open $ball$ )을 선택할 수 있기 때문에, $일부 1$ 충분히 큰 $m$ 에 대해 $β$ ( $B k k) = ½$ $($ $k$ + $m),$ $k$ ∈ $N}$ 을 선택할 수 있다. 여기서 Hilbert-Schmidt 내측 제품에서 얻은 메트릭이 사용된다.

[26] Willard 1970 문제 17G에 의해 s는 순차적으로 콤팩트하다. 즉, 모든 시퀀스에는 수렴 연속성이 있다는 뜻이다.

[27] Willard 1979 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFWillard1979 (도움말) Corollary 10.5. Corollary 10.5.

[28] 2003년 발의안 8.22.

[29] Lee 2003 Corolary 8.25.

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