오일러의 상수

오일러의 상수

푸른 지방의 면적은 오일러의 상수로 수렴된다.
표현
십진법	0.5772156649015328606065120900824024310421...
연속분수(선형)	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...][1] 알 수 없음(주기적) 알 수 없음(한정된 경우
이진수	0.1001001111000100011001111110001101111101...
16진법	0.93C467E37DB0C7A4D1BE3F810152CB56A1CEC3A...

오일러의 상수(Uler-Mascheroni 상수라고도 함)는 보통 소문자 그리스 문자 감마(감마)로 나타내는 수학적 상수다.

이 값은 고조파 영상 시리즈와 자연 로그 사이의 제한 차이로 정의되며, 여기에 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$로 표시된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \log :}$

${\displaystyle {\fracked}\regated &=\lim _{n\to \inflit }\reft\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}\right)\\[570]&=\int _{1}^{{1}^{\inflit }\frac{1}{1}{x}}+{\frac{1}{1}{\lploor }\dx.\end}}}}}}$

여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$은 바닥 기능을 나타낸다$$.

오일러의 상수에서 소수점 50자리까지의 수치는 다음과 같다.^[2]

0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...

역사

이 상수는 스위스 수학자 Leonhard Euler의 1734년 논문에서 De Progressibus Harmonicis 관찰(Eneström Index 43)이라는 제목으로 처음 나타났다.오일러는 상수에 C와 O라는 표기법을 사용했다.1790년 이탈리아의 수학자 로렌초 마스체로니는 상수에 A와 a라는 표기법을 사용했다.표기법 γ은 오일러나 마스체로니의 글에는 어디에도 나타나지 않으며, 상수의 감마함수와의 연관성 때문인지 나중에 선택되었다.^[3]예를 들어 독일의 수학자 칼 안톤 브레츠크나이더는 1835년에^[4] γ이라는 표기법을 사용했고 아우구스투스 드 모건은 1836년부터 1842년까지 일부에 걸쳐 출판된 교과서에 이를 사용하였다.^[5]

외모

오일러의 상수는 다른 곳 중에서도 다음과 같이 나타난다(여기서 '*'는 이 항목이 명시적 방정식을 포함하고 있음을 의미한다).

• 지수 적분*을 포함하는 표현
• 자연 로그의 라플라스 변환*
• Riemann zeta 함수에 대한 Laurent 시리즈 확장*의 첫 번째 용어, Steeltjes 상수 중 첫 번째 용어*
• 디감마 함수의 계산
• 감마함수에 대한 제품 공식
• 작은 인수에 대한 감마 함수의 점근 확장.
• 오일러의 토털함수에 대한 부등식
• 구분선 함수의 증가율
• 양자장 이론에서 파인만 도표의 치수 정규화
• 메셀-메르텐스 상수의 계산
• 머텐스의 세 번째 정리*
• 베셀 방정식에 대한 두 번째 종류의 해법
• 유한값으로서의 고조파 계열의 정규화/재수화에서
• Gumbel 분포의 평균
• Weibull 및 Lévy 분포의 정보 엔트로피, 그리고 1-2 자유도에 대한 카이-제곱 분포의 정보 엔트로피.
• 쿠폰 수집기 문제에 대한 답변*
• Zipf의 법칙의 일부 공식에서
• 코사인 적분*의 정의
• 최대 간격까지 하한
• 양자정보이론의^[6] 섀넌 엔트로피 상계
• 진화 생물학에서 적응 유전학을 위한 Fisher-Orr 모델

특성.

숫자 γ은 대수학이나 초월학으로 증명되지 않았다.사실 γ이 비이성적인지조차 알 수 없다.파파니콜라우는 1997년 지속적인 분율분석을 통해 γ이 합리적이면 그 분모가 10보다²⁴⁴⁶⁶³ 커야 한다는 것을 보여주었다.^[8][9]아래의 많은 방정식으로 드러난 ubiqu의 편재성은 수학에서 γ의 비합리성을 주요 공개문제로 만든다.^[10]

그러나 어느 정도 진전이 있었다.Kurt Mahler showed in 1968 that the number ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ is transcendental (here, ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ and ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ are Bessel functions).^[11][3]2009년에 알렉산더 압테카레프는 오일러의 상수 γ과 오일러-곰퍼츠 상수 Δ 중 적어도 하나가 비합리적임을 증명했고,^[12] 탕구이 리보알은 2012년에 그 중 적어도 하나가 초월적이라는 것을 증명했다.^[13][3]2010년 M. 람 머티와 N. 사라다는 폼의 숫자들 중 적어도 하나의 숫자를 보여주었다.

${\displaystyle \cHB(a,q)=\lim _{n\party \}\왼쪽(\sum _{k=0}^{n}{n}{\frac {1}{a+kq}\오른쪽)-{\frac {\log {(a+nq}})-{\frac {nq}}}{q}\오른쪽)}$

으로 q ≥ 2와 1≤<>q대수어 있다;이 가족 γ(2,4)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den은 특별한 경우{포함한다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬγ[3][14].2013년 M. Ram Murty와 A.자이체바는 γ을 포함하는 다른 가족을 발견했는데, 이것은 같은 성질을 가진 고정된 소수 목록으로 나눌 수 없는 정수의 왕복 합계를 기초로 한다.^[3][15]

감마함수와의 관계

γ은 digamma 함수 ψ, 따라서 감마 함수 γ의 파생상품과 관련이 있는데, 두 함수가 모두 1에서 평가된다.따라서 다음과 같다.

${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\psi(1)}$

이는 한계와 동일하다.

${\displaystyle {\begin}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\왼쪽(\Gamma(z)-{\frac {1}{z}\오른쪽)\\&=\lim _{z\to 0}\왼쪽(\PSI (z)+{\frac {1}{z}\오른쪽).\end{정렬}}}$

추가 제한 결과는 다음과 같다.^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{정렬}}}$

베타 함수와 관련된 한계(감마 함수의 관점에서 표현)는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}\gamma &=\lim _{n\to \inflt }\왼쪽({\frac {1}{n}\오른쪽)\감마(n+1)\,n^{1+{\frac{1}{n1}:{n2}}:{\Gamma \left(2+n+{1}{n1}\오른쪽)}-{\frac{n^{n+1}:{n+1}:{n+2}}:\오른쪽)\\&=\lim \limits _{m\to \inflt }\sum _{k=1}^{m} {m \cH}{\frac {(-1)^{k}}}}}{k}}}}}\big(}\Gamma (k+1){\big )}.\end{정렬}}}$

제타함수와의 관계

γ은 또한 리만 제타 함수를 포함하는 항을 양의 정수로 평가하는 무한 합으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{정렬}}}$

제타 기능과 관련된 다른 시리즈는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \inflt }\{{n}}}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\frac{2^{mn}}{(m+1)!}}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}-n\log 2+O\왼쪽({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}\오른쪽)).\end{정렬}}}$

마지막 방정식의 오차항은 n의 함수가 급격히 감소하는 것이다.따라서 이 공식은 상수에서 고정밀도의 효율적인 계산에 적합하다.

오일러의 상수에 해당하는 다른 흥미로운 한계는 대칭 한계다.^[17]

${\displaystyle {\regated}\cHB &=\lim _{s\to 1^{+}\sum _{n=1}^{\n^{n^}}-{\frac {1}{1}{s^}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\왼쪽(\zeta(s)-{\frac {1}{s-1}\오른쪽)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\frac {\zeta(1+s)+\zeta(1-s)}{2}}:\end{arged}}}}}$

그리고 드 라 발레-푸신(De la Valé-Pousin)이 1898년에 제정한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB =\lim _{n\to \frac {1}{n}\,\sum _{k=1}^{n}\좌측(\frac {n}{n}}\rceil -{\frac{n}}}}\우측)}$

여기서 ${\displaystyle \lceil }$ ${\displaystyle \lceil \,\rceil }$은(는) 천장 브래킷이다.이 공식은 양의 정수 n을 취하여 n보다 작은 각 양의 정수 k로 나눌 때, n이 무한대의 경향이 있으므로 n/k가 다음 정수에 미치지 못하는 평균 분율은 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$ $$$}$ (0.5가 아닌)을 경향이 있음을 나타낸다.

이와 밀접한 관련이 있는 것이 합리적 제타 시리즈 표현이다.위의 시리즈 중 처음 몇 항을 별도로 취함으로써 고전적인 시리즈 한계에 대한 추정치를 얻는다.

${\displaystyle \cHB =\sum \sum \frac {1}{1}{k}-\log n-\sum _{m=2}^{\fract}{\frac {\n+1}{m,}},}$

여기서 ζ(s,k)은 허위츠 제타 함수다.이 방정식의 합은 고조파 숫자 H_n. H. Hurwitz zeta 함수의 일부 항을 확장하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{1}{2n}-{12n^{2}}+{\frac {1}{1}{120n^{4}}-\varepsilon ,}$

여기서 0 < ε < 1/252n⁶.

γ은 또한 A가 글라이셔-킨켈린 상수인 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{6}{\pi ^2}}\,\zeta '(2)}$

γ도 다음과 같이 표현할 수 있는데, 제타 기능을 로랑 시리즈로 표현하면 증명할 수 있다.

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \inflt}{{n+\zeta {\Bigl (}{\frac{n+1}{n}}{\Bigr )}}}}}}}{\Biggr )}}}}}}}}}}}$

통합

γ은 다수의 확정적 통합의 값과 동일하다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\gamma&=-\int _{0}^{\infty}e^{-x}\log x\,dx\\&,=-\int _{0}^{1}\log \left(\log{\frac{1}{x}}\right)dx\\&,=\int _ᆰ^ᆱ\left({\frac{1}{e^{x}-1}}-{\frac{1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&, =\int _{0}^{1}{\frac{1-e^{-x}}{)}}\,dx-\int _{1}^{\infty}{\frac{e^{-x}}{)}}\,dx\\&, =\int _{0}^{1}\left({\fra.c{1}{\log)}}와{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\end{aigned}}}$

여기서 H는_x 부분 고조파 수입니다.

적분 리스트의 세 번째 공식은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}}{dx\\[2pt]&=\int_{0}^{0}^{\inflt }{m=1}^{m=1}^{{m+1}x^{m+1){{m+1)}{{(m+1)![e^{x}-1]}dx=\sum _{m=1}^{\int _{0}^{0}^{0}^{0}^{{m+1}x^{m+1){{m+1}}{(m+1)![e^{x}-1]}dx=\sum _{m=1}^{\inflt }{\frac {(-1)^{m+1}{{(m+1)!}}}\int _{0}^{{0}^{\inflac{x^{m}{e^{x}-1-1.dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{m=1}^{\frac {(-1)^{m+1}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum_{n=1}^{\inflight}\{\frac {1}{n1}-\ln \left(1+{\frac {1}{n1}\right)\wright]=\messages \ended}}}}}$

방정식의 두 번째 라인에 있는 적분은 +∞의 데비 함수 값인 m!ζ(m + 1)을 나타낸다.

γ이 나타나는 명확한 통합에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{- x }\log x }{2}}\,dx&=\gamma \end{aligned}}}$

Hadjicostas의 공식의 특별한 경우를 등가계열의 이중 적분으로^[10][18] 사용하여 γ을 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{정렬}}}$

손도우의^[18] 흥미로운 비교는 이중 적분과 교대계열이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{정렬}}}$

그것은 로그 4/10을 "대체 오일러 상수"로 생각할 수 있다는 것을 보여준다.

두 상수는 또한^[19] 열 쌍에 의해서도 연관되어 있다.

${\displaystyle {\begin}\gamma &=\sum _{n=1}^{\inflit }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {4}{\pi }}}{\pi }}}}{n=1}^{n=1}{n1}^{\inflac {N_{0}}}{2n+1},\end{aigned}}}}}}}}}}}}$

여기서 N₁(n)과 N₀(n)은 각각 n의 베이스 2 확장에서의 1초와 0의 수입니다.

우리는 또한 카탈로니아의 1875년 통합형^[20] 제품도 가지고 있다.

${\displaystyle \cHB =\int _{0}^{1}\left \frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{{n}-1}\flight)\,dx.}$

시리즈 확장

대체적으로.

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$

어떤α>;− n{\displaystyle \alpha>-n}. 그러나 이러한 팽창으로 통합의 비율이 현격α{\displaystyle \alpha}에. 특히,γ n(1/2){\displaystyle \gamma_{n}(1/2)}은 전통적인 확장 γ n(0){\displaystyle 년보다 훨씬 더 많은 신속한 융합을 달려 있다.감마$_{n}(0)}$^[21][22].왜냐하면

${\displaystyle {\frac{1}{2(n+1)}<\property _{n}-\property <{\frac {1}{2}},}$

하는 동안에

${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\cHB _{n}(1/2)-\cHB <{\frac {1}{24n^{2}}.}$

그렇더라도 이것보다 더 빠르게 수렴되는 다른 시리즈 확장이 존재한다. 이들 중 일부는 아래에서 논의한다.

오일러는 다음과 같은 무한 시리즈가 γ에 접근한다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \cHB =\sum _{k=1}^{\inflit }\left \frac {1}-\log \left(1+{\frac{1}{1}}\right)\right)).}$

γ의 시리즈는 닐슨이 1897년에 발견한 시리즈와 같다.^[16][23]

${\displaystyle \cHB =1-\sum _{k=2}^{\infload }{k}{\frac {\좌측\lfloor \log_{2}k\right\loor }{k+1}}}}}$

1910년, Pepna는 밀접하게 연관된 시리즈를^{[24][25][26][27][28][16][29]} 발견했다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\gamma&=\sum _ᆭ^ᆮ())^{k}{\frac{\left\lfloor \log_{2}k\right\rfloor}{k}}\\[5pt]&, ={\tfrac{1}{2}}-{\tfrac{1}{3}}+2\left({\tfrac{1}{4}}-{\tfrac{1}{5}}와{\tfrac{1}{6}}-{\tfrac{1}{7}}\right)+3\left({\tfrac{1}{8}}-{\tfrac{1}{9}}와{\tfrac{1}{10}}-{\tfrac{1}{11}}+\cdots-{\tfrac{1}{15}}\right).+\cdots\end{정렬}}}$

여기서₂ log는 base 2까지의 logarithm이고 and는 floor 기능이다.

1926년에 그는 두 번째 시리즈를 발견했다.

${\displaystyle {\fraged}\jeta(2)&=\sum _{k=2}^{{k=2}^\\flt\frac {1}{{1}{k}}{\sqrt\l바닥 {\{k}}}-{1}{k}\frac {1}\rig}\rig}\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$

감마 함수의^[30] 로그에 대한 Malmsten-Kummer 확장으로부터 다음을 얻는다.

${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left)(\Gamma({\tfrac {3}{4}}\오른쪽)+{\frac {4}{\pi }}}}}}}}{k=1}^{k+1}{\frac {\k+1}.$

오일러의 상수를 위한 중요한 확장은 폰타나와 마스체로니 때문이다.

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac { G_{n} }{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$

여기서 G는_n Gregory 계수^[16][29][31] 이 시리즈는 팽창의 특별한$$ 케이스 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$이다.

${\displaystyle {\begin}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\frac {(n-1)!G_{n} }{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$

$k{\displaystyle }$= 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…$${\$displaystyle k=1,2,\ldots }$에 대한 수렴성

제2종 C의_n Cauchy 번호와 유사한 시리즈는^[29][32]

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\flac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}}=1-{\frac{1}{4}-{\frac {5}{72}-{\frac {1}{32}-{\frac {251}{14400}-{\frac {19}{1728}-\ldots }}}}$

Blagouchine(2018)은 폰타나-마스케로니 시리즈의 흥미로운 일반화를 발견했다.

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$

여기서 ψ_n(a)는 발생 함수에 의해 정의되는 두 번째 종류의 베르누이 다항식이다.

${\displaystyle {\frac{z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}}}=\sum _{n=0}^{\inflt }{n}\n}s),\qquad z <1,}$

이 시리즈는 합리적인 용어만을 포함하고 있다.예를 들어, a = 1에서는^[33][34]

${\displaystyle \proc{3}{4}-{4}-{\frac {11}{96}-{\frac {1}{1601}}-{\frac {5}{11252}-{\frac {7291}}-{2322432}-{100353}-ld}$

다항식이 동일한 다른 시리즈에는 다음과 같은 예가 포함된다.

${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{n=1}{n1}^{n1}\psi _{n}{n}(a)}}}{n1},\qquad \re(a)-1}$

그리고

${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$

여기서 γ(a)는 감마함수다.^[31]

아키야마타니가와 알고리즘과 관련된 시리즈는

${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$

여기서 G_n(2)는 두 번째 순서의 그레고리 계수다.^[31]

일련의 소수:

${\displaystyle \cHB =\lim _{n\to \inflt }\왼쪽(\log n-\sum _{p\leq n}{p-1}{p-1}\오른쪽).}$

점근팽창

γ은 다음과 같은 점근 공식과 같다(여기서 H는_n n번째 고조파 번호임).

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{1}{2}}-{$$$$}}}+\cdots }($을러)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$ (Negoi)

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$ (Cesàro)

세 번째 공식은 라마누잔 팽창이라고도 불린다.

알라블둘모신은 이러한 근사치의 오차 합계에 대한 폐쇄형 표현식을 도출했다.^[32]그는 (테오렘 A.1)을 보여주었다.

지수적

상수 e는^γ 수 이론에서 중요하다.일부 저자는 이 양을 단순히 γ′으로 나타낸다. e는^γ 다음 한도와 같다. 여기서 p는_n n번째 소수다.

${\displaystyle e^{\p_}=\lim _{n\to \inflit }{\frac {1}{\log p_{n}}\pod _{i=1}{n}{p_{i}-1}.}$

이것은 머텐스의 이론 중 세 번째를 다시 말해준다.^[35]e의^γ 숫자 값은 다음과 같다.^[36]

1.78107241799019798523650410310717954916964521430343....

e와^γ 관련된 기타 무한 제품에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle{\frac{e^{1+{\frac{\frac{\pi}}{2}}:{\sqrt{2\pi }}}&=\prod _{n=1}{n=1}^{1+{{n}}}}\frac{1}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{n}\\{\frac {e^{3+2\pi }}}{{n=\prod _{n=1}^{n=1}^{{n}{-2+{n}}}}\frac{n}}}}{n}}}}}{n}}}.\end{정렬}}}$

이 제품들은 반스 G 기능에서 비롯된다.

게다가.

${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$

여기서 n번째 인자는 (n + 1)번째 루트

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \선택 k}}.}$

1926년 세르히오에 의해 처음 발견된 이 무한의 제품은 초지압 기능을 이용하여 손도우에 의해 재발견되었다.^[37]

그것은^[38] 또한 그것을 담고 있다.

${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$

연속분수

γ의 지속적인 분수 팽창은 뚜렷한 패턴이 없는 [0; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 4, 3, 3, 13, 5, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 40, ...]^[1]을 시작한다.지속분수는 최소 47만5,006개 항으로 알려져 있으며,^[8] if이 비합리적인 경우에만 무한히 많은 항을 가지고 있다.

일반화

오일러의 일반화된 상수는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \property \}=\lim_{n\flt }\flt(\sum_{k=1}^{{k^{\1}-{1}-int_{1}^{1}{x^{x^{}}}}}{x^{n}}}}\x\rig}오른쪽)}$

0 < α < 1의 경우, 특수 케이스 α = 1의 경우.^[39]이것은 에 더욱 일반화될 수 있다.

${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infit }\왼쪽(\sum _{k=1}^{n(k)-\int _{1}^{n(x)\,dx\right)}}}$

임의의 감소 함수 f.예를 들어,

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}{x}}}$

슈틸레트제스 상수를 낳고

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$

주다

${\displaystyle \cHB_{a}={\frac {(a-1)\제타(a)-1}{a-1}}$

다시 한 번 한계점.

${\displaystyle \cHB =\lim _{a\to 1}\왼쪽(\zeta(a)-{\frac {1}{a-1}\오른쪽)}$

등장하다

2차원 한계 일반화는 메서-그램 상수다.

오일러-레머 상수는 공통 모듈로 클래스에서 숫자의 역수를 합하여 주어진다.^[14]

${\displaystyle \cHB(a,q)=\lim _{x\to \inflit }\{0<n\leq x \\atopn\\equiv a{\pmod{q}{1}{n}-\frac {\log x}}\rig}\rig}\rig}}$

기본 속성은

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (0,q)&={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)&=\gamma ,\\q\gamma (a,q)&=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$

gcd(a,q) = d인 경우

${\displaystyle q\properties (a,q)={\frac {q}{d}\refrac\frac {a}{d},{\frac {q}}\log d.}$

게시된 숫자

오일러는 처음에 상수의 값을 소수점 6자리까지 계산했다.1781년에는 소수점 16자리까지 계산하였다.마스체로니는 소수점 32자리까지 상수를 계산하려고 했으나 20-22위, 31-32위 소수점에서는 오류를 범했고, 20자리부터 정확한 값이 ...0651209008240일 때 ...1811209008239를 계산했다.

발행된 소수점 확장 γ

날짜	십진수	작가	원천
1734	5	레온하르트 오일러
1735	15	레온하르트 오일러
1781	16	레온하르트 오일러
1790	32	로렌초 마스체로니, 20-22, 31-32로 틀렸다.
1809	22	요한 G. 폰 솔드너
1811	22	카를 프리드리히 가우스
1812	40	프리드리히 베른하르트 고트프리트 니콜라이
1857	34	크리스티안 프레드릭 린드먼
1861	41	루트비히 오팅거
1867	49	윌리엄 샨크스
1871	99	제임스 W.L. 글라이셔
1871	101	윌리엄 샨크스
1877	262	J. C. 애덤스
1952	328	존 윌리엄 렌치 주니어
1961	1050	헬무트 피셔와 칼 젤러
1962	1271	도널드 크누스	[40]
1962	3566	두라 W. 스위니
1973	4879	윌리엄 A.비이어와 마이클 S. 워터맨
1977	20700	리처드 P.브렌트
1980	30100	리처드 P.브렌트 & 에드윈 M. 맥밀런
1993	172000	조너선 보르웨이인
1999	108000000	패트릭 데미첼과 사비에르 구르돈
2009년 3월 13일	29844489545	알렉산더 J. 예 & 레이먼드 찬	[41][42]
2013년 12월 22일	119377958182	알렉산더 J.이이	[42]
2016년 3월 15일	160000000000	피터 트루브	[42]
2016년 5월 18일	250000000000	론 왓킨스	[42]
2017년 8월 23일	477511832674	론 왓킨스	[42]
2020년 5월 26일	600000000100	김승민&이언 커트리스	[42][43]

참조

• Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle's Journal (in Latin). 17: 257–285.
• Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09983-5.
• Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). "Euler–Lehmer constants and a conjecture of Erdos". Journal of Number Theory. 130 (12): 2671–2681. doi:10.1016/j.jnt.2010.07.004. ISSN 0022-314X.

각주

추가 읽기

• Borwein, Jonathan M.; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). Journal of Computational and Applied Mathematics. 121 (1–2): 11. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8. 리만 제타 함수에 대한 합으로 γ을 도출한다.
• Gerst, I. (1969). "Some series for Euler's constant". Amer. Math. Monthly. 76 (3): 237–275. doi:10.2307/2316370. JSTOR 2316370.
• Glaisher, James Whitbread Lee (1872). "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. 1: 25–30. JFM 03.0130.01.
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002). "Collection of formulae for Euler's constant, γ".
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004). "The Euler constant: γ".
• Karatsuba, E. A. (1991). "Fast evaluation of transcendental functions". Probl. Inf. Transm. 27 (44): 339–360.
• Karatsuba, E.A. (2000). "On the computation of the Euler constant γ". Journal of Numerical Algorithms. 24 (1–2): 83–97. doi:10.1023/A:1019137125281. S2CID 21545868.
• Knuth, Donald (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 1 (3rd ed.). Addison-Wesley. pp. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
• Lehmer, D. H. (1975). "Euler constants for arithmetical progressions" (PDF). Acta Arith. 27 (1): 125–142. doi:10.4064/aa-27-1-125-142.
• Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. 42: 5.
• Mascheroni, Lorenzo (1790), Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur, Galeati, Ticini
• Sondow, Jonathan (2002). "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant". Mathematica Slovaca. 59: 307–314. arXiv:math.NT/0211075. Bibcode:2002math.....11075S. doi:10.2478/s12175-009-0127-2. S2CID 16340929. 세르게이 조로빈의 부록으로.

외부 링크

• "Euler constant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Euler–Mascheroni constant". MathWorld.
• 조나단 손도.
• 빠른 알고리즘과 FEE 방법, E.A. 카라츠바(2005)
• 상수를 사용하는 추가적인 공식: 구르돈과 세바(2004)이다.