슈마누엘 추측

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특성.
자연로그 지수함수
적용들
복리 오일러 항등식 오일러 공식 반의 기하급수적인 성장과 쇠퇴
정의 e
비이성적이라는 증거 e의 표현 린데만-바이어스트라스 정리
사람
존 네이피어 레온하르트 오일러
관련주제
슈마누엘 추측
v t

수학에서, 특히 초월수 이론에서, 슈마누엘의 추측은 1960년대에 스티븐 슈마누엘이 유리수의 특정 필드 확장의 초월 정도에 대해 만든 추측입니다.

진술

추측은 다음과 같습니다.

Given any n complex numbers z₁, ..., z_n that are linearly independent over the rational numbers ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, the field extension ${\displaystyle \mathbb {Q} }$(z₁, ..., z_n, e^z₁, ..., e^z_n) has transcendence degree at least n over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

이 추측은 Lang(1966)에서 찾을 수 있습니다.^[1]

결과들

이 추측은 입증된다면, 초월수 이론에서 알려진 대부분의 결과를 일반화할 것입니다. 숫자₁ z,...,z가_n 모두 대수적인 특별한 경우는 린데만입니다.위어스트라스 정리. 반대로, 만약 숫자들이 exp(z₁),...,exp(z_n)를 모두 대수적으로 만들기 위해 선택된다면, 대수적 숫자들의 선형 독립적인 로그들이 대수적으로 독립적이라는 것을 증명할 것이고, 이는 베이커 정리의 강화입니다.

겔폰드-슈나이더 정리는 이 강화된 버전의 베이커 정리에서 따르며, 현재 증명되지 않은 4개의 지수 추측과 마찬가지입니다.

만약 증명된다면, Schanuel의 추측은 또한 e + π와 e와 같은 수들이 대수적인지 초월적인지를 결정하고, e와 π가 대수적으로 독립적이라는 것을 증명하고, 단순히 z = 1과 z = πi를 설정하고 오일러의 항등식을 사용함으로써 증명될 것입니다.

오일러의 항등식은 e + 1 = 0이라고 합니다. 만약 슈누엘의 추측이 사실이라면, 이것은 어떤 정확한 의미에서 지수 고리를 포함하는, 복소수에 대한 e, π, i 사이의 유일한 관계입니다.

비록 표면적으로는 숫자 이론의 문제이지만, 이 추측은 모델 이론에서도 의미를 갖습니다. 예를 들어, 앵거스 매킨타이어와 알렉스 윌키는 지수화를 가진 실수장 $이론{\displaystyle \mathbb{}}$ R$${\$displaystyle \mathbb {R}$이$($_exp가) 사실이라면 결정 가능하다는 것을 증명했습니다.^[3] 사실 그들은 이 결과를 증명하기 위해 아래 정의된 추측의 실제 버전만 필요했는데, 이는 타르스키의 지수 함수 문제에 대한 긍정적인 해결책이 될 것입니다.

관련 추측 및 결과

역 샤누엘 추측은^[4] 다음과 같습니다.

F를 특성이 0인 가산 가능한 필드라고 하고, e: F → F를 커널이 순환인 가산군 (F,+)에서 곱셈군 (F,·)으로의 동형이라고 가정합니다. $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 선형 독립인 F의 임의의 n개 원소₁ x,...,x에_n 대해$$확장 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ (x,...,x_1n,e(x₁),...,e(x_n))가 Q ${\$에 대해 적어도 n개의 초월 정도를 갖는다고 가정합니다$.$ 그렇다면 F의 모든 x에 대하여 h(e(x) = exp(h(x))가 되도록 필드 동형 h: F → $C$ {\$displaystyle \mathbb {C} }$가 존재합니다.

공식적인 멱급수에 대한 Schanuel의 추론 버전은 1971년에 James Ax에 의해 증명되었습니다.^[5] 다음과 같이 명시되어 있습니다.

$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 선형 독립적인 임의의 n개의 공식 멱급수₁ f,...,f_n t C ${\$ $$[t]가 주어지면$,$ 필드 확장 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$(t,f₁,...,f_n,exp(f₁),...,exp(f_n))는 C ${\$ (t$)$에 대해 적어도 n개의 초월 정도를 갖습니다.

위에서 언급한 바와 같이 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 결정 가능성은 다음과 같은 Schanuel 추측의 실제 버전에서 따릅니다$$_exp.^[6]

x₁,...,x가_n 실수이고 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 필드의 초월 정도$$(x₁,...,x_n, exp(x₁),...,exp(x_n))가 n보다 엄격하게 작으면, mx₁₁ +가 되는 정수 m₁,...,m_n, 전부 0은 아닙니다.+ mx = 0.

균일한 실제 Schanuel의 추측이라고 불리는 관련 추측은 본질적으로 같은 것을 말하지만_i 정수 m에 제한을 둡니다. 그 추측의 균일한 실제 버전은 표준 실제 버전과 동등합니다.^[6] Macintyre와 Wilkie는 그들이 약한 Schanuel 추측이라고 부르는 Schanuel $추측$의$$결과가 R {\$displaystyle$ \$mathbb$ {R$}$의 결정 가능성과 동일하다는 것을 보여주었습니다$.$_exp 이 추측은 지수 다항식의 시스템에 대한 비특이적 해의 규범에 계산 가능한 상한이 있다는 것을 말합니다. 이것은 명백하게 현실에 대한 Schanuel의 추측의 결과입니다.^[3]

또한 Schanuel의 추측은 동기 이론에서 추측 결과의 결과일 것이라고 알려져 있습니다. 이 설정에서 아벨 다양성 A에 대한 그로텐디크의 주기 추측은 주기 행렬의 초월 정도가 관련 뭄포드-테이트 그룹의 차원과 동일하며, 피에르 델리뉴의 작업에 의해 알려진 것은 차원이 초월 정도의 상한이라는 것입니다. 베르톨린은 일반화된 주기 추측이 어떻게 Schanuel의 추측을 포함하는지를 보여주었습니다.^[7]

질베르의 유사 지수

Schanuel의 추측에 대한 증명은 요원해 보이지만,^[8] 모델 이론과의 연관성으로 인해 추측에 대한 연구가 급증했습니다.

2004년에 보리스 질버는 대수적으로 닫혀 있고 특성이 0인 지수 필드_exp K를 체계적으로 구성하여 셀 수 없는 각 카디널리티에 대해 이러한 필드 중 하나가 존재하도록 했습니다.^[9] 그는 이 분야들을 공리화했고, 무한 논리학에서 범주성에 대한 셸라의 연구에서 영감을 받은 흐루쇼프스키의 구성과 기술을 사용하여 이 "의사-명확성" 이론이 셀 수 없는 각 추기경에 고유한 모델을 가지고 있다는 것을 증명했습니다. Schanuel의 추측은 이 공리화의 일부이며, 따라서 카디널리티 연속체의 고유한 모델이 실제로 복잡한 지수장과 동형이라는 자연스러운 추측은 Schanuel의 추측을 암시합니다. 사실, 질버는 이 추측이 Schanuel의 추측과 질버가 지수-대수 폐쇄성이라고 부르는 복잡한 지수장의 또 다른 입증되지 않은 조건이 모두 성립하는 경우에만 성립한다는 것을 보여주었습니다.^[10] 이 구성은 또한 Schanuel 추측의 반례를 가진 모델을 제공할 수 있기 때문에, 이 방법은 Schanuel의 추측을 증명할 수 없습니다.^[11]

참고문헌

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Schanuel's Conjecture". MathWorld.