슈타이너 미적분 문제

슈타이너(Steiner, 1850)가 묻고 답한 슈타이너의 문제는 함수의 최댓값을 구하는 문제입니다.

${\displaystyle f(x)=x^{1/x}\,}$^[1]

그것은 야콥 스타이너의 이름을 따서 지어졌습니다.

최대값은 $x$ = ${\$displaystyle x = e}이며, 여기서 e는 자연 로그의 밑을 나타냅니다. 최대화와 동등한 문제를 풀면 다음과 같이 결정할 수 있습니다.

${\displaystyle g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}.$

$1차{\displaystyle }$ 도함수 검정을 적용하면 g$${\$displaystyle g}$의 도함수는$$

${\displaystyle g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}},}$

${\displaystyle \mathrm{sog}{\text{'}}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle g'(x)}$이(0 < < e {\displaystyle $0< x<$ $e$$}$이면 양수이고$$, > ${\displaystyle x>$ e$}$이면 음수입니다 $이$는 g${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ g$(x)}$ $$– $따라서{\displaystyle }$ f ${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle$ f$(x)}$ $$– < < e${\displaystyle 0$< x < $e$> 에 대해 증가하고 > . ${\displaystyle x$> e 에 대해 감소함을 의미합니다$.$$}$$따라서$ x $=$ ${\$displaystyle x$=$e}는 f(x )의 고유한 전역 최대값입니다$.$ {\displaystyle f(x).$}$

참고문헌

• Steiner, J. (1850), "Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl" (PDF), Crelle, 40: 208