오메가 상수

오메가 상수는 방정식을 만족시키는 고유 실수로 정의되는 수학적 상수다.

$\displaystyle \Oomega e^{\Oomega}=1.}$

W(1)의 값이며, 여기서 W는 램버트의 W 함수다. 이름은 램버트의 W함수의 대체 이름인 오메가함수에서 유래되었다^{[citation needed]}. Ω의 숫자 값은 다음과 같다.

Ω = 0.567143290409783872999968662210... (OEIS에서 시퀀스 A030178).

1/Ω = 1.763222834351896710225201776951... (OEIS에서 시퀀스 A030797).

특성.

고정점 표현

정의되는 정체성은 예를 들어 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \ln({\tfrac {1}{\Oomega }})=\Oomega.}$

또는

$(\displaystyle -\ln(\Oomega )=\Oomega }$

또는

${\displaystyle e^{-\Oomega}=\Oomega.}$

연산

Ω은 초기 추측 Ω으로₀ 시작하고 순서를 고려하여 반복적으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle \Oomega _{n+1}=e^{-\Oomega _{n}}.}$

이 시퀀스는 n이 무한대에 접근함에 따라 Ω으로 수렴된다. Ω은 함수 e의^−x 매력적인 고정점이기 때문이다.

반복을 사용하는 것이 훨씬 더 효율적이다.

${\displaystyle \Oomega _{n+1}={\frac {1+\Oomega_{n}{1+e^{\\오메가 _{n}}},}$

그 기능이 있기 때문에.

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

같은 고정점을 갖는 것 외에도, 거기서 사라지는 파생상품도 있다. 이것은 2차 정합성을 보장한다. 즉, 정확한 자릿수는 각 반복에 따라 대략 두 배가 된다.

Ω은 Halley의 방법을 사용하여 입방정합으로 근사치를 구할 수 있다(각 반복에 따라 정확한 자릿수가 대략 3배 증가한다). (Lambert W 함수 § 수치평가 참조).

${\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\오메가 _{j}+2}}.}$

적분표현

빅터 아담치크에^{[citation needed]} 의한 정체성은 그 관계에 의해 주어진다.

${\displaystyle \int_{-\infit _{-}^{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}={\frac {1}{1+\Oomega}}}}}}.}$

나 때문에 또 다른 관계. 메쯔는^[1][2]

${\displaystyle \Oba ={\frac {1}{\pi}\operatorname {Re} \int_{0}^{\pi }\\log \left({\frac {e^{e^}-e^{-it}}}}{e^{e^}}}}}-e^}}}\dt,},},},}},}$

${\displaystyle \Oomega ={\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}e^{t\cot t}\오른쪽)dt.}$

후자의 두 ID는 W 기능의 다른 값으로 확장될 수 있다(Lambert W 함수 § 표현 참조).

초월성

상수 Ω은 초월이다. 이것은 린데만-의 직접적인 결과로 볼 수 있다.위어스트라스 정리. 모순의 경우 Ω이 대수학이라고 가정한다. 정리상 e는^−Ω 초월이지만 Ω = e는^−Ω 모순이다. 그러므로 초월적이어야 한다.

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Omega Constant". MathWorld.
• "Omega constant (1,000,000 digits)", Darkside communication group (in Japan), retrieved 2017-12-25