카헨 상수

수학에서 카헨 상수는 부호가 번갈아 나타나는 무한급수 단위 분수의 값으로 정의됩니다.

C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.643410546288...

{\displaystyle C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.643410546288...

}

(

C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.643410546288...

OEIS의 시퀀스 A118227)

여기서 $(s_{i})_{i\geq 0}$ ( $(s_{i})_{i\geq 0}$ $(s_{i})_{i\geq 0}$ ≥ 0 ${\displaystyle (s_{i$ }) $_{$ i\geq 0}}은 다음에 의해 재귀적으로 정의되는 실베스터 수열을 나타냅니다.

{\begin{array}{l}s_{0}~~~=2;\\s_{i+1}=1+\prod _{j=0}^{i}s_{j}{\text{ for }}i\geq 0.\end{array}}

이 분수들을 쌍으로 결합하면 실베스터 수열의 짝수 위치에 있는 항들로부터 형성된 일련의 양의 단위 분수로서 카헨 상수의 대안적인 확장으로 이어집니다. 카헨 상수에 대한 이 시리즈는 욕심 많은 이집트의 확장을 형성합니다.

C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots

이 상수는 외젠 카헨 [fr](카헨-멜린 적분으로도 알려져 있음)의 이름을 따서 지어졌는데, 이 상수는 이 상수를 처음으로 도입하고 그 비합리성을 증명했습니다.^[1]

계속분율팽창

자연적으로^[2] 발생하는 대부분의 수학 상수는 계속되는 분수 전개에서 알려진 단순한 패턴이 없습니다.^[3] 그럼에도 불구하고, 카헨 상수 $C$ $C$ 의 완전한 연속 분수 전개는 다음과 같이 알려져 $C$ 있습니다.

C=\left[a_{0}^{2};a_{1}^{2},a_{2}^{2},a_{3}^{2},a_{4}^{2},\ldots \right]=[0;1,1,1,4,9,196,16641,\ldots ]

여기서 계수열은

0, 1, 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (OEIS의 시퀀스 A006279)

재발 관계에 의해 정의됩니다.

a_{0}=0,~a_{1}=1,~a_{n+2}=a_{n}\left(1+a_{n}a_{n+1}\right)~\forall ~n\in \mathbb {Z} _{\geqslant 0}.

이 확장의 모든 부분 몫은 정수의 제곱입니다. Davison과 Shallit는 C

C

가 초월적이라는

C

것을 증명하기 위해 연속 분수 확장을 사용했습니다.^[4]

또는 실베스터 수열의 항을 통해 카헨 상수의 지속적인 분수 팽창에서 부분 몫을 표현할 수 있습니다. 이를 보기 위해 $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ ≥ 1 ${\displaystyle$ n\geq 1}에서 1 + $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ + $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ = $s$ n - 1 ${\displaystyle 1+$ a_{n} $a_$ {n+1}=s_{n-1}}를 $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ 하여 증명합니다 $1+a_{1}a_{2}=2=s_{0}$ 실제로 1 + a 1 a 2 = s 0 {\display 1+a_{1}a_{2}=2=s_{0}}, $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ 1 $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ + $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ + 1 = s $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ - 1 ${\displaystyle$ 1+ $a_$ {n}a_{n+1} = s_{n-1}}이(가) n개의 ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}에 대해 유지되면,

$1+a_{n+1}a_{n+2}=1+a_{n+1}\cdot a_{n}(1+a_{n}a_{n+1})=1+a_{n}a_{n+1}+(a_{n}a_{n+1})^{2}=s_{n-1}+(s_{n-1}-1)^{2}=s_{n-1}^{2}-s_{n-1}+1=s_{n},$ ${\displaystyle 1+a_{n+1}a_{n+2}=1+a_{n+1}\cdot a_{n}(1+a_{n}a_{n+1})=1+a_{n}a_{n+1}+(a_{n}a_{n+1})^{2}=s_{n-1}+(s_{n-1}-1)^{2}=s_{n-1}^{2}-s_{n-1}+1=s_{n},$ $}$ 첫 번째 단계에서 $(a_{n})_{n\geq 0}$ ( $(a_{n})_{n\geq 0}$ $n$ $≥$ 0 ${\displaystyle (a_{$ n}) $_{$ n\geq 0}에 대한 재귀를 사용했습니다. 마지막 단계에서 (n) n $≥$ 0 {\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}에 대한 재귀를 사용했습니다. 결과적으로 $n\geq 1$ $a_{n+2}=a_{n}\cdot s_{n-1}$ $n\geq 1$ = $n$ $a_{n+2}=a_{n}\cdot s_{n-1}$ - 1 {\ $displaystyle$ a_{n+2} = a_{n}\cdots_{n-1}}는 n개의 ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}마다 유지되며, 이로부터 다음과 같은 결론을 내리기 쉽습니다.

$C=[0;1,1,1,s_{0}^{2},s_{1}^{2},(s_{0}s_{2})^{2},(s_{1}s_{3})^{2},(s_{0}s_{2}s_{4})^{2},\ldots ]$ = $C=[0;1,1,1,s_{0}^{2},s_{1}^{2},(s_{0}s_{2})^{2},(s_{1}s_{3})^{2},(s_{0}s_{2}s_{4})^{2},\ldots ]$ [ $C=[0;1,1,1,s_{0}^{2},s_{1}^{2},(s_{0}s_{2})^{2},(s_{1}s_{3})^{2},(s_{0}s_{2}s_{4})^{2},\ldots ]$ 1, 1, 1, s 02, s 12, (s 0 s 2) 2, (s 1 s 3) 2, (s 0 s 2 s 4) 2, …] {\displaystyl $C=[0;1,1,1,s_{0}^{2},s_{1}^{2},(s_{0}s_{2})^{2},(s_{1}s_{3})^{2},(s_{0}s_{2}s_{4})^{2},\ldots ]$ C = [0;1, 1, 1, s_{0}^{2}, s_{1}^{2}, (s_{0}s_{2})^{2}, (s_{1}s_{3})^{2}, (s_{0}s_{2}s_{4})^{2},\ldots]}.

최적근사순서

Cahen의 $상수$ C{\ $displaystyle$ C $}$ 는 $C$ 가장 좋은 근사 $q^{-3}$ $q^{-3}$ - 3 $q^{-3}$ {\ $displaystyle q^{-3}$ 을 갖습니다 $q^{-3}$ 즉, $K_{1},K_{2}>0$ $K_{1},K_{2}>0$ 1 $K_{1},K_{2}>0$ $K_{1},K_{2}>0$ 2 $K_{1},K_{2}>0$ > $K_{1},K_{2}>0$ $K_{1$ 이 존재합니다. $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{1}}{q^{3}}}$ $2}>0}$ 따라서 부등식 $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{1}}{q^{3}}}$ 0 < $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{1}}{q^{3}}}$ - $q$ < K 1 q 3 {\displaystyle $0<{\big }C-{\frac {p}{q}}{\big }<{\frac {K_{1}}{q^{3}}$ 는 무한히 많은 해를 갖는다 $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ $∈$ Z × N ${\displaystyle ($ p $,q$ )\in $\mathbb$ {Z $}$ $\times \mathbb$ $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ N}, 부등식 $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{2}}{q^{3}}}$ < $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{2}}{q^{3}}}$ - p $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{2}}{q^{3}}}$ < $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{2}}{q^{3}}}$ 2 $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{2}}{q^{3}}}$ 3 ${\displaystyle 0<{\big$ } $C-{\frac {p}{q}}{\big }{\frac {K_{2}}{q^{3}}}$ 는 $\mathbb$ {Z $}$ $\times \mathbb$ $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ N}에서 많아야 많은 해 $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ ∈ Z × N ${\displaystyle$ (p, q)\를 가집니다. 이는 $C$ ${\displaystyle$ C $}$ 에 비합리성 척도 3이 있다는 $C$ 사실을 의미하며, 이는 Duberney & Shiokawa(2020)에 의해 처음 관찰되었습니다.

증명을 위해서는 $(p_{n}/q_{n})_{n\geq 0}$ n $(p_{n}/q_{n})_{n\geq 0}$ / $(p_{n}/q_{n})_{n\geq 0}$ n $(p_{n}/q_{n})_{n\geq 0}$ ) $n$ ≥ 0 {\ $displaystyle (p_{n}/q_{n$ })_{n\geq 0}}개의 카헨 상수에 대한 수렴 순서(즉, q n - 1 = n ≥ 1 {\displaystyle q_{n-1}= a_{n}{\text{ ever } n\geq 1})로 표시합니다.

그러나 이제 $a_{n+2}=a_{n}\cdot s_{n-1}$ + $a_{n+2}=a_{n}\cdot s_{n-1}$ = $n$ - $a_{n+2}=a_{n}\cdot s_{n-1}$ ⋅ n - 1 ${\displaystyle$ a_{n+2} = a_{n $}\$ cdots_{n-1}과 (s) n ≥ 0 {\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}의 재귀가 뒤따릅니다.

{\frac {a_{n+2}}{a_{n+1}^{2}}}={\frac {a_{n}\cdot s_{n-1}}{a_{n-1}^{2}\cdot s_{n-2}^{2}}}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}\cdot {\frac {s_{n-2}^{2}-s_{n-2}+1}{s_{n-1}^{2}}}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}\cdot {\Big (}1-{\frac {1}{s_{n-1}}}+{\frac {1}{s_{n-1}^{2}}}{\Big )}

$n\geq 1$ $n개의$ ≥ 1 ${\displaystyle$ n\geq 1}에 대하여. 결과적으로, 극한은

\alpha :=\lim _{n\to \infty }{\frac {q_{2n+1}}{q_{2n}^{2}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\Big (}1-{\frac {1}{s_{2n}}}+{\frac {1}{s_{2n}^{2}}}{\Big )}

and

\beta :=\lim _{n\to \infty }{\frac {q_{2n+2}}{q_{2n+1}^{2}}}=2\cdot \prod _{n=0}^{\infty }{\Big (}1-{\frac {1}{s_{2n+1}}}+{\frac {1}{s_{2n+1}^{2}}}{\Big )}

2

}}}{\Big )}}

( $s_{0}=2$ $s_{0}=2$ = $s_{0}=2$ 2 {\ $displaystyle$ s_{0}=2}인 recall) 둘 다 무한 곱의 기본 속성에 의해 존재하며, 이는 ∑ n = 0 ∞ 1 s n - 1 s n 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\big}{\frac {1}{s_{n}}-{\frac {1}{s_{n}^{2}}{\big}}}. 수치적으로, $0<\alpha <1<\beta <2$ < $0<\alpha <1<\beta <2$ < $0<\alpha <1<\beta <2$ < $0<\alpha <1<\beta <2$ < 2 ${\displaystyle 0 <\ alpha$ < 1 $<\$ beta $0<\alpha <1<\beta <2$ < 2 } 를 확인할 수 있습니다. 따라서 잘 알려진 부등식은

{\frac {1}{q_{n}(q_{n}+q_{n+1})}}\leq {\Big  }C-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}{\Big  }\leq {\frac {1}{q_{n}q_{n+1}}}

수확량

{\displaystyle {\Big }C-{\frac {p_{2n+1}}{q_{2n+1}}}{\Big }\leq {\frac {1}{q_{2n+1}q_{2n+2}}}={\frac {1}{q_{2n+1}^{3

}\cdot {\frac {q_{2n+2}}{q_{2n+1}^{2

}}}}}<{\frac {1}{q_{2n+1}^{3

}}}}

and

{\Big  }C-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}{\Big  }\geq {\frac {1}{q_{n}(q_{n}+q_{n+1})}}>{\frac {1}{q_{n}(q_{n}+2q_{n}^{2})}}\geq {\frac {1}{3q_{n}^{3}}}

충분히 큰 $모든$ n{\ $displaystyle$ n $}$ 에 대하여 $n$ $C$ C $C$ 는 ( $K_{1}=1{\text{ and }}K_{2}=1/3$ 1 = $K_{1}=1{\text{ and }}K_{2}=1/3$ 및 $K_{1}=1{\text{ and }}K_{2}=1/3$ $K_{1}=1{\text{ and }}K_{2}=1/3$ = $K_{1}=1{\text{ and }}K_{2}=1/3$ / 3 ${\displaystyle K_{1$ } = 1{\text{ and }}K_{2} = 1/3}에서 최적의 근사 차수 3을 갖습니다. 여기서 우리는 \mathbb {Z} \times \mathbb {N} \times \n을 사용합니다.

0<{\Big  }C-{\frac {p}{q}}{\Big  }<{\frac {1}{3q^{3}}}

반드시 카헨 상수에 대한 수렴일 필요가 있습니다.

메모들

^ 카헨 (1891).
^ 소수나 계속되는 분수 전개를 통해 정의된 *not*이면 수는 자연적으로 발생하는 것이라고 합니다. 예를 들어, 오일러의 $e=\lim _{n\to \infty }{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}$ e = $lim$ $e=\lim _{n\to \infty }{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}$ → ∞ (1 + 1 n) n {\displaystyle e =\lim _{n\to \infty}{\big(}1+{\frac {1}}{\big)}^{n}}는 자연적으로 발생하고 있습니다.
^ Borwein et al. (2014), 페이지 62.
^ Davison & Shallit (1991).
^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A006279", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation

참고문헌

Cahen, Eugène (1891), "Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues", Nouvelles Annales de Mathématiques, 10: 508–514
Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991), "Continued fractions for some alternating series", Monatshefte für Mathematik, 111 (2): 119–126, doi:10.1007/BF01332350, S2CID 120003890
Borwein, Jonathan; van der Poorten, Alf; Shallit, Jeffrey; Zudilin, Wadim (2014), Neverending Fractions: An Introduction to Continued Fractions, Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 23, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511902659, ISBN 978-0-521-18649-0, MR 3468515
Duverney, Daniel; Shiokawa, Iekata (2020), "Irrationality exponents of numbers related with Cahen's constant", Monatshefte für Mathematik, 191 (1): 53–76, doi:10.1007/s00605-019-01335-0, MR 4050109, S2CID 209968916

외부 링크

Weisstein, Eric W., "Cahen's Constant", MathWorld
"The Cahen constant to 4000 digits", Plouffe's Inverter, Université du Québec à Montréal, archived from the original on March 17, 2011, retrieved 2011-03-19
"Cahen's constant (1,000,000 digits)", Darkside communication group, retrieved 2017-12-25

[FOOTNOTECahen1891-1] 카헨 (1891).

[2] 소수나 계속되는 분수 전개를 통해 정의된 *not*이면 수는 자연적으로 발생하는 것이라고 합니다. 예를 들어, 오일러의 $e=\lim _{n\to \infty }{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}$ e = $lim$ $e=\lim _{n\to \infty }{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}$ → ∞ (1 + 1 n) n {\displaystyle e =\lim _{n\to \infty}{\big(}1+{\frac {1}}{\big)}^{n}}는 자연적으로 발생하고 있습니다.

[FOOTNOTEBorweinvan_der_PoortenShallitZudilin201462-3] Borwein et al. (2014), 페이지 62.

[FOOTNOTEDavisonShallit1991-4] Davison & Shallit (1991).

[5] Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A006279", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation

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