정규분류

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카테고리 이론에서, 정규 카테고리는 커널 쌍이라고 불리는 한 쌍의 형태론의 유한한 한계와 동등제를 가진 카테고리로, 일정한 정확도 조건을 만족한다.그런 식으로 정규 카테고리는 부가성을 요구하지 않고 이미지의 존재와 같은 아벨리아 카테고리의 많은 속성을 탈환한다.이와 동시에, 정규 카테고리는 정규논리로 알려진 1차 논리학의 단편 연구 기반을 제공한다.

정의

범주 C가 다음과 같은 ^[1]세 가지 특성을 만족하는 경우 일반 범주라고 한다.

• C는 아주 완벽하다.
• 만약 f : X → Y가 C에서 형태론이라면

풀백(pullback)이면 p₀, p의₁ 동등제(coquareizer)가 존재한다.쌍(p₀, p₁)을 kernel pair of f라고 한다.풀백인 커널 쌍은 독특한 이소모르피즘에 이르기까지 독특하다.

• 만약 f : X → Y가 C에서 형태론이라면

풀백(pullback)이며, 만약 f가 규칙적인 경구형이라면 g는 또한 규칙적인 경구형이다.규칙적인 인식론은 어떤 한 쌍의 형태론의 동등분자로 나타나는 인식론이다.

예

정규 범주의 예는 다음과 같다.

• 세트, 세트 간 세트 및 함수 범주
• 더 일반적으로, 모든 초등학교 토포들은
• Grp, 그룹 및 그룹 동형성의 범주
• 링과 링 동형성의 범주
• 보다 일반적으로 모든 종류의 모델 범주
• 모든 경계선 일치-세밀라티치(주문 관계에 의해 주어진 형태)
• 모든 아벨 범주

다음 범주는 정규적이지 않다.

• 상단, 위상학적 공간 및 연속 함수의 범주
• 고양이, 작은 범주 및 펑커의 범주

에피-모노 인자화

정규 범주에서 정규-epimistics와 단모형은 인자화 체계를 형성한다.모든 형태론 f:X→Y는 규칙적인 인식론 e:X→E에 이어 단형주의 m:로 인수될 수 있다.E→Y, 그러니까 f=me.이 인자화는 e':X→E'가 또 하나의 규칙적인 인식론이고 m'이라면 다음과 같은 점에서 독특하다.E'→Y는 f=m'e'와 같은 또 다른 단형주의로, 그러면 h=e'와 m'h=m'과 같은 이형성 h:E→E'가 존재한다.단동형 m은 f의 이미지라고 불린다.

정확한 시퀀스 및 일반 펑커

일반 범주에서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R\rightarrow X\to Y}$ 형식의 도표는 동일 평준화와 커널 쌍인 경우 정확한 순서라고 한다$$.용어는 동음이의 대수에서 정확한 순서의 일반화다: 아벨의 범주에서, 도표.

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\wrightarrow }}\;X\xrightarrow {f}Y}$

이러한${\displaystyle }의미$에서 ${\displaystyle 0\stackrel{}{}}$→${\displaystyle \stackrel{}{R}}$ →${\displaystyle \stackrel{}{}}$( ${\displaystyle \stackrel{}{r}}$, ${\displaystyle s}$ ) ${\displaystyle \stackrel{}{}\to \stackrel{}{}}$X →${\displaystyle \stackrel{}{}}$(${\displaystyle \stackrel{}{f}}$ ,${\displaystyle \stackrel{}{}}$- f ) ${\displaystyle \mathrm{Y}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{}}${\$displaystyle 0\to$ R${\xwrightarrow {(r,s)}}X\oplus$ X${\xwrigharrow{(f,-f)}}Y\to 0}$가 통상적인 의미에서 짧은 순서일 경우에만 정확하다.

커널 쌍의 유한한 한계와 등가제를 보존하는 경우, 정규 범주 사이의 펑터를 정규 범주라고 한다.펑터는 유한한 한계와 정확한 시퀀스를 보존하는 경우에만 규칙적이다.이러한 이유로, 규칙적인 펑커들을 정확한 펑커라고 부르기도 한다.유한한 한계를 보존하는 펑커스는 종종 정확하게 남겨진다고 한다.

정규 논리 및 정규 범주

정규논리는 서식의 진술을 표현할 수 있는 1차논리의 단편이다.

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$(${\displaystyle \varphi }$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \psi }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle \forall$ x$(\phi (x)\to$\ \ $(x$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$ 및 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은 정규 공식이다. 즉, 원자 공식으로부터 구축된 공식, 진리 상수, 이진 만남(meets), 실존적 정량화.그러한 식 규칙적인 범주는 당연한 ∀의 해석은 모델 경우-ϕ{\displaystyle \phi}요소의ψ{\displaystyle \psi}의 해석을 통해 해석 .[2](ϕ())→ψ())){\displaystyle \forall x(\phi())\to\psi()))}, 이것은 각 이론에 대한(얼마나 자주'o'를 세트를 준다 해석될 수 있f시퀀스) T 및 각 일반 범주 C에 대해 C에서 T 모델의 범주 Mod(T,C)이 구조는 소형 정규 범주의 RegCat 범주에서 소형 범주로 Functor Mod(T,-):RegCat→Cat을 제공한다.각 이론 T에 대해 정규 범주 R(T)이 있다는 것은 중요한 결과로서, 각 정규 범주 C에 대해 동등성이 있다는 것이다.

${\displaystyle \mathbf{M}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\displaystyle \mathbf{d}}$( T${\displaystyle }$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\displaystyle \mathbf{G}}$ ${\displaystyle \mathbf{C}}$ a ${\displaystyle \mathbf{t}}$( ${\displaystyle R}$( ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle \mathbf {Mod}(T,C)\cong \mathbf {RegCat}(R(T,$ ${\displaystyle C}$)}, \mathbf {$RegCat$},$$}, \c$)},$

C에서는 자연스럽다.여기서 R(T)을 정규 이론 T의 분류 범주로 부른다.균등성까지 작은 정규 범주는 이러한 방식으로 일부 정규 이론의 분류 범주로 발생한다.^[2]

정확한(유효한) 범주

균등관계 이론은 정설이다.정규 범주의 객체$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 동등성 관계는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ X {\$displaystyle$ $\times X}$에 대한 단형성으로, 반사성, 대칭성 및 과도성 조건의 해석을 만족한다$$.

모든 커널 쌍 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{0},p_{1}:$$R\rightarrow X}$은 ${\displaystyle \mathrm{동등성}}$ $관계{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ X$${\$displaystyle R\rightarrow X\time X}$를 정의하고 있으며$,$ 반대로 동등성 관계는 커널 쌍으로 발생할 경우 유효하다고 한다.^[3]동등성 관계는 동일성이 있고 이것의 커널 쌍인 경우에만 유효하다.

정규 범주는 모든 등가 관계가 유효할 경우 바의 의미로 정확하거나 정확하다고 하며, 유효 정규 범주는 ^[4]퀼렌의 의미에서 "정확한 범주"라는 용어도 다르게 사용된다.

정확한 범주의 예

• 세트 카테고리는 이런 의미에서 정확하고, 어떤 (초등) 토포도 그렇다.모든 동등성 관계에는 동등성 등급을 통해 발견되는 동등성이 있다.
• 모든 아벨의 범주는 정확하다.
• 세트 카테고리에 대해 단일화된 모든 카테고리는 정확하다.
• 스톤 스페이스의 범주는 규칙적이지만 정확하지는 않다.

참고 항목

• 알레고리 (범주론)
• 토포스
• 정확한 완료

참조

• 마이클 바, 피에르 A.그릴렛, 도노반 반 오스돌.정확한 표피, 스프링거, 수학 강의 노트 236. 1971.
• Francis Borceux, Cambridge University Press(1994)의 Categular 대수학 2편.
• Stephen Lack, 정규 카테고리의 정확한 완료와 그 비위생적인 일반화에 관한 노트." 범주의 이론 및 적용, Vol.5, No.3, (1999).
• Jaap van Oosten (1995년), BRICS 강의 시리즈 LS-95-1, (1995년)
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.