박스카운팅 콘텐츠

이 글은 수학 전문가의 주의가 필요하다.특정 문제는 다음과 같다: 중복 기사 또는 시리즈의 일부일 가능성이 있다. 위키프로젝트 수학이 전문가 영입에 도움이 될 수도 있다(2017년 3월)

수학에서 박스카운팅 콘텐트는 민코스키 콘텐트의 아날로그다.

정의

$박스{\displaystyle }$ 카운팅 차원 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$이$($가) 존재하도록$$$$ $A{\displaystyle }$${\$$displaystyle m}$ -차원$$ 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ m$${\$displaystyle \mathb{R}$^{$m}$의 경계 부분 집합으로 한다$$.$A$ ${\displaystyle A}$의 상자 수 상한 및 하한 내용은

${\displaystyle {\mathcal{B}^{*}(A):=\limsup _{x\오른쪽 화살표 \}{\frac {N_{B}(A,x)}}{x^{D_}}}}}}\quad \quad \text{and}}\quad \quad \cal {B}}{*}(A):=\liminf _{x\rightarrow \infit }{\frac {N_{B}(A,x)}{x^{D_{B}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$( ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle N_{B}(A,x)}$은${\displaystyle }$} A[\$displaystyle a\in A}$ 및 radii - > 0$[\displaysty x^{-1}]0}$ $중심$을 갖는 분리형 닫힌 볼의 최대 수입니다

If ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}(A)={\mathcal {B}}_{*}(A)}$, then the common value, denoted ${\displaystyle {\mathcal {B}}(A)}$, is called the box-counting content of ${\displaystyle A}$.

< ( )< ( A) > ${\displaystyle$ 0$<{\mathcal{B}_{**}(A){\mathcal{B}^{*}(A$ 그렇다면 $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A}$는 박스 카운팅을 측정할 수 있다고 한다$$.

예

Let $I{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$은 단위 간격을 나타낸다$$.박스 카운트 치수 ${\displaystyle {치수}_{}}$ B ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \dim _{B}$$I}$과(와) 민코프스키 치수 ${\displaystyle {보조}_{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle \dim _{M}I}$는 공통 값 1과 일치한다.

${\displaystyle \dim _{B}I=\dim _{M}I=1.}$

Now observe that ${\displaystyle N_{B}(I,x)=\lfloor x/2\rfloor +1}$, where ${\displaystyle \lfloor y\rfloor }$ denotes the integer part of ${\displaystyle y}$. Hence ${\displaystyle I}$ is box-counting measurable with ${\displaystyle {\mathcal {B}}(I)=1$$/2}$.

대조적으로 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는${\displaystyle )}$ $M{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle \mathrm{I}}$ )${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle {\mathcal {\m}(I)=1}$으로 $측정$할 수 있는 Minkowski 입니다$.$

참고 항목

• 상자수

참조

• Dettmers, Kristin; Giza, Robert; Morales, Rafael; Rock, John A.; Knox, Christina (January 2017). "A survey of complex dimensions, measurability, and the lattice/nonlattice dichotomy". Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S. 10 (2): 213–240. arXiv:1510.06467. doi:10.3934/dcdss.2017011.