해석수 이론

복소 평면에서의 리만 제타 함수 δ(s).포인트 s의 색상은 θ(s)의 값을 인코딩합니다.검은색에 가까운 색상은 0에 가까운 값을 나타내며, 색조는 값의 인수를 인코딩합니다.

수학에서, 해석수 이론은 ^[1]정수에 대한 문제를 해결하기 위해 수학적 분석의 방법을 사용하는 수 이론의 한 분야이다.종종 피터 구스타프 르준 디리클레의 1837년 디리클레 L-함수의 도입으로 산술 ^[1]^[2]급수에 대한 디리클레의 정리의 첫 번째 증거를 제시하면서 시작되었다고 한다.이는 소수(소수 정리 및 리만 제타 함수 포함)와 가산수 이론(골드바흐 추측과 와링 문제 등)에 대한 결과로 잘 알려져 있다.

해석수 이론의 분파

해석적 수 이론은 기술의 근본적인 차이보다는 그들이 해결하려는 문제의 유형에 따라 크게 두 부분으로 나눌 수 있다.

곱셈수론은 소수의 분포(구간에서의 소수수 추정 등)를 다루며, 산술 급수에서의 소수 정리와 디리클레 정리를 포함한다.
가법수 이론은 2보다 큰 모든 짝수가 두 소수의 합이라는 골드바흐의 추측과 같이 정수의 가법 구조와 관련이 있다.덧셈수 이론의 주요 결과 중 하나는 와링의 문제에 대한 해답이다.

역사

전구체

해석수론의 대부분은 소수정리에서 영감을 얻었다.임의의 실수 x에 대해서, θ(x)가 x보다 작거나 같은 소수 수를 주는 소수점 함수라고 하자. 예를 들어, 10보다 작거나 같은 4개의 소수(2, 3, 5, 7)가 있기 때문에 θ(10) = 4이다.그러면 소수 정리는 x가 무한대에 가까워질 때 두 함수 θ(x)와 x / ln(x)의 몫의 한계가 1이라는 점에서 x / ln(x)이 θ(x)에 대한 좋은 근사치임을 나타낸다.

\displaystyle \lim _{x\to\infty}{\frac {pi(x)}{x/\ln(x)}=1,}

소수 분포의 점근 법칙으로 알려져 있다.

Adrien-Marie Legendre는 1797년 또는 1798년에 γ(a)가 함수 a/(A ln(a) + B에 의해 근사된다고 추측했다. 여기서 A와 B는 불특정 상수이다.그리고 나서 수론에 관한 그의 책 제2판에서, 그는 A = 1과 B 1 -1.08366으로 더 정확한 추측을 했다.칼 프리드리히 가우스는 같은 질문을 고려했다: "임 자흐르 1792 oder 1793"은 거의 60년 후에 엥케에게 보낸 편지에 따르면, 그는 로그표에 "프림자흘렌 운터 $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ Primzahlen $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ ( $=$ $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ $fracty)"$ 라는 짧은 메모를 남겼다 $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ 하지만 가우스는 이 추측을 발표하지 않았다.1838년 피터 구스타프 르준 디리클레는 가우스에게 전달한 수열의 약간 다른 형태에서 로그 적분 li(x)라는 근사 함수를 생각해냈다.레전드르의 공식과 디리클레의 공식은 모두 위에 언급된 θ(x)와 x/ln(x)의 추측된 점근적 등가성을 의미하지만, 디리클레의 근사치는 지수 대신 차이를 고려하는 것이 훨씬 낫다는 것이 밝혀졌다.

디리클레

요한 피터 구스타프 르준 디리클레는 해석적 수 이론의 ^[3]창시자로 알려져 있는데, 이 분야에서 그는 몇 가지 깊은 결과를 발견했고, 그 결과들 중 많은 것들이 나중에 그의 이름을 따서 명명된 몇 가지 기본적인 도구들을 도입했다는 것을 증명했다.1837년에 그는 대수적 문제를 다루기 위해 수학적 해석 개념을 사용하여 해석적 수론의 분파를 창조하면서 산술 급수에 대한 디리클레의 정리를 발표했다.정리를 증명하는 과정에서 그는 디리클레 문자와 ^[3]^[4]L 함수를 도입했다.1841년에 그는 정수에서 가우스 $\mathbb {Z} [i]$ Z [ $\mathbb {Z} [i]$ ] \ $displaystyle \mathbb {Z}$ [ $i$ ^[5]의 환으로 산술 급수 정리를 일반화했다.

체비셰프

1848년과 1850년의 두 논문에서, 러시아 수학자 파프누티 레보비치 체비셰프는 소수 분포의 점근 법칙을 증명하려고 시도했다.그의 연구는 1859년의 리만의 유명한 회고록에 앞서 제타 함수 δ(s) (1737년 초에 레온하르트 오일러의 작품과 같이)를 사용한 것으로 유명하며, 그는 점근 법칙의 약간 약한 형태, 즉 만약 x(ln)의 한계치가 x(ln)에 간다면 그것을 증명하는데 성공했다.암탉은 반드시 ^[6]1과 같다.그는 이 비율이 모든 ^[7]x에 대해 1에 가까운 두 개의 명시적으로 주어진 상수에 의해 위와 아래에 경계가 있다는 것을 무조건 증명할 수 있었다.체비셰프의 논문은 소수 정리를 증명하지 않았지만, θ(x)에 대한 그의 추정치는 정수 n θ 2에 대해 n과 2n 사이에 소수가 존재한다는 베르트랑의 가정을 증명하기에 충분했다.

리만

"…이것이 세어 와흐셰인리히, 다스 알레 뷔르젤른 릴 신드입니다. Hiervon wére allerdings ein bewis zu wünscen; ich habe indess die Aufschung deselben nach einigen vergeblichen Versuchchen vergebelassen versuchen vorlaefigi Seite gelassen, da er da er da urnnnnérnchtschtschtschtschtschtschruchrenzwen zwe 겔라센.

"…모든 뿌리가 진짜일 가능성이 매우 높습니다.물론 여기에 엄밀한 증거가 있으면 좋겠지만, 몇 번인가 헛된 시도를 한 후, 내 다음 조사 목적을 위해 불필요해 보이므로 당분간 이 조사를 보류해야 합니다."

Riemann's statement of the Riemann hypothesis, from his 1859 paper.^[8] (He was discussing a version of the zeta function, modified so that its roots are real rather than on the critical line. See, Riemann Xi Function.)

베른하르트 리만은 현대 해석수론에 몇 가지 유명한 공헌을 했다.단 하나의 짧은 논문에서, 그는 리만 제타 함수를 연구했고 소수 분포를 이해하는 것의 중요성을 확립했다.그는 제타 함수의 특성에 대해 일련의 추측을 했는데, 그 중 하나는 잘 알려진 리만 가설이다.

아다마르 드 라 발레 푸생

리만의 사상을 확장하면서, 두 개의 소수 정리의 증명은 자크 아다마르와 샤를 장 드 라 발레 푸생이 독립적으로 얻었고 같은 해(1896년)에 나타났다.두 증명 모두 복소 분석의 방법을 사용하여, t >^[9] 0인 s = 1 + it 형식을 갖는 변수 s의 모든 복소 값에 대해 리만 제타 함수 θ(s)가 0이 아니라는 증명의 주요 단계로 확립되었다.

근대

1950년 이후 가장 큰 기술적 변화는 체 ^[10]방법의 개발이었고, 특히 곱셈 문제에서 그러했다.이것들은 본질적으로 조합적이고 꽤 다양합니다.조합 이론의 극단적 분기는 그 대가로 양적 상한과 하한에 대한 해석적 수 이론의 값에 의해 큰 영향을 받았다.또 다른 최근의 발전은 확률론적 숫자 ^[11]이론으로, 이는 개수의 소수점과 같은 수 이론 함수의 분포를 추정하기 위해 확률 이론의 방법을 사용한다.

특히 이탕 장, 제임스 메이나드, 테렌스 타오, 벤 그린이 현장에서 이룬 혁신은 모두 Goldston-Pintz를 사용했습니다.YIldirmm법.원래 그걸 증명하기^[12]^[13]^[14]^[15]^[16] 위해 썼던 거야

$\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}$

해석적 수 이론 내의 발전은 종종 오류 항을 줄이고 적용 가능성을 넓히는 이전 기법의 개량이다.예를 들어, Hardy와 Littlewood의 원 방법은 복소 평면에서 단위 원 근처의 멱급수에 적용되는 것으로 생각되었습니다. 현재는 유한 지수합(단위 원에서, 그러나 멱급수가 잘린 경우)의 관점에서 생각됩니다.디오판틴 근사치의 요구는 함수를 생성하지 않는 보조 함수에 대한 것이다. 계수는 비둘기 구멍 원리를 사용하여 구성되며 여러 복잡한 변수를 수반한다.디오판틴 근사와 초월 이론의 분야는 모르델 추측에 적용될 정도로 확장되었다.

문제와 결과

해석적 수론 내의 정리 및 결과는 대수 및 기하학적 도구가 더 적합한 정수에 대한 정확한 구조적 결과가 아닌 경향이 있다.대신 다음 예시와 같이 다양한 수의 이론 함수에 대한 대략적인 경계와 추정치를 제공합니다.

곱셈수론

유클리드는 소수가 무한히 많다는 것을 보여주었다.중요한 질문은 소수의 점근 분포를 결정하는 것입니다. 즉, 주어진 수보다 작은 소수점의 개략적인 설명입니다.특히 가우스는 많은 소수 목록을 계산한 후, 큰 숫자 N보다 작거나 같은 소수 수가 적분 값에 가깝다고 추측했다.

\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}},dt.}

1859년 베른하르트 리만은 실수 x보다 작거나 같은 소수들의 수에 대한 해석식을 도출하기 위해 복소해석과 현재 리만 제타 함수로 알려진 특별한 자형함수를 사용했다. 놀랍게도, 리만 공식의 주요 항은 정확히 위의 적분이었고, 가우스의 추측에 상당한 무게를 부여했다.리만은 이 식에서 오차항과 소수가 분포되는 방식이 제타 함수의 복소수 0과 밀접한 관련이 있다는 것을 발견했다.리만의 아이디어와 제타 함수의 0에 대한 더 많은 정보를 얻음으로써, 자크 아다마르와 샤를 장 드 라 발레 푸상은 가우스의 추측의 증거를 완성하는데 성공했다.특히, 그들은 만약

\displaystyle \pi(x)=param\text{소수}}\leq x},}

그리고나서

_{x\to\infty}{\frac {pi(x)}{x/\log x}}=1.

이 놀라운 결과는 오늘날 소수 정리라고 알려진 것이다.그것은 해석적 수 이론의 중심 결과이다.대략적으로 말하면, N이 클 경우 N보다 작거나 같은 소수점의 수는 N/log(N) 정도임을 나타냅니다.

보다 일반적으로, 임의의 정수 n에 대한 임의의 산술 급수 a+nq의 소수점 수에 대해 동일한 질문을 할 수 있다.디리클레는 수론에 대한 분석 기술의 첫 번째 적용 중 하나에서 a와 q 코프리임을 갖는 어떤 산술 급수열도 무한히 많은 소수를 포함한다는 것을 증명했다.소수 정리는 이 문제로 일반화 될 수 있다;

{\displaystyle \pi (x,a,q)=syslog\text{number of prime }}\leq x(텍스트{})}a+nq,n\in \mathbf {Z}}}}},

a와 q가 공동 시간이라면

\displaystyle \lim _{x\to\infty}{\frac {pi(x,a,q)\phi(q)}{x/\log x}}= 1}

p + 2가 소수인 무한히 많은 소수 p가 있는지를 묻는 쌍둥이 소수 추측과 같이, 현재의 기술에 비해 증명은 너무 어려워 보이는 많은 깊고 광범위한 추측들이 있다.Elliott-Halberstam 추측을 가정하면 p + k가 최대 12의 양의 k에 대해 소수인 p가 무한히 많다는 것이 최근 증명되었다.또한 (증명되지 않은 추측에 의존하지 않고) p + k가 최대 246의 어떤 양의 k에 대해 소수인 p가 무한히 많다는 것이 무조건적으로 증명되었다.

덧셈수 이론

덧셈수 이론에서 가장 중요한 문제 중 하나는 와링의 문제인데, 어떤 k ÷ 2라도 k번째 거듭제곱의 유계수의 합으로 양의 정수를 쓰는 것이 가능한지 물어보는 것이다.

n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell}^{k}

제곱에 대한 경우 k = 2는 1770년에 라그랑주가 답했고, 라그랑주는 모든 양의 정수가 최대 4개의 제곱의 합이라는 것을 증명했다.일반적인 사례는 1909년 힐베르트에 의해 명시적인 한계를 주지 않는 대수기법을 사용하여 증명되었다.중요한 돌파구는 Hardy와 Littlewood의 문제에 대한 분석 도구의 적용이었습니다.이러한 기법은 원법이라고 하며, 비노그라도프의 한계와 같이 필요한 k번째 거듭제곱의 최소 개수인 G(k)에 대한 명시적 상한을 제공한다.

\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}

디오판틴 문제

디오판틴 문제는 다항식의 정수 해법과 관련이 있다. 즉, 어떤 "크기"나 높이의 측정에 따라 해법을 세는 것을 연구할 수 있다.

중요한 예는 가우스 원 문제인데, 가우스 원 문제는 다음을 만족시키는 정수점(x y)을 요구한다.

x^{2}+y^{2}}\leq r^{2}.

기하학적 관점에서 반지름이 r인 평면에서 원점을 중심으로 하는 원이 주어진 경우, 문제는 원 위 또는 내부에 정수 격자 점이 몇 개 있는지 묻습니다.정답이 $\pi r^{2}+E(r)$ r $\pi r^{2}+E(r)$ + $\pi r^{2}+E(r)$ ( $\pi r^{2}+E(r)$ r ){ $displaystyle \pi$ r $^{$ $2}+$ $E($ $r$ $\pi r^{2}+E(r)$ 인 것을 증명하는 것은 어렵지 않습니다 $E(r)/r^{2}\to 0$ 서 $E(r)/r^{2}\to 0$ ( $E(r)/r^{2}\to 0$ r ) / $E(r)/r^{2}\to 0$ $2 →$ 0 $E(r)/r^{2}\to 0$ ( r ) $→$ r $r\to \infty$ r \ $displaystyle$ r \ $to$ \ infty $r\to \infty$ again $r\to \infty$ again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again again againE(r)

Gauss는 E $E(r)=O(r)$ ( $E(r)=O(r)$ ) $=$ ( $E(r)=O(r)$ ) { $displaystyle$ E $(r$ )= $O(r)$ } $E(r)=O(r)$ in in 。일반적으로 단위원(또는 보다 적절하게는 닫힌 단위 디스크)이 부분적인 평탄한 경계 영역의 확장으로 대체된 경우 O(r) 오차항이 가능할 것이라고 밝혔다.또한 단위원을 단위제곱으로 치환하면 일반문제의 오차항은 r의 선형함수만큼 클 수 있다.따라서 원의 경우 일부 $(\displaystyle\delta<1)$ 에 $\delta < 1$ 대해 O $))\displaystyle$ O $(r^{\delta$ }) $O(r^{\delta })$ 의 $O(r^{\delta})$ 오차범위를 얻는 것은 큰 개선이다.그 이를 이루는 것이 첫번째였다 Sierpiński 1906년 E(r)을 보였다)O.1915년에{E(r)=O(r^{2})\displaystyle}(r2/3), 하디, 란다우가 각각 한 E(r)을 가지지 않는다)O{E(r)=O(r^{1/2})\displaystyle}(r1/2). 이후 그 목표는 각 고정 ϵ 을을 위해;0{\displaystyl을 보여 주었음을 보여 주다.e $\epsilon >0$ $C(\epsilon )$ $epsilon$ > $0}$ 에는 $\epsilon >0$ 실수 $(\$ $displaystyle$ C $E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }$ $epsilon)$ 가 $C(\epsilon)$ 존재합니다 $E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }$ 그러면 E $r)\leq$ C $(\epsilon)r^{1/2+\epsilon$ 가 $E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }$

In 2000 Huxley showed^[18] that $E(r)=O(r^{131/208})$ , which is the best published result.

해석수 이론의 방법

디리클레 급수

곱셈수 이론에서 가장 유용한 도구 중 하나는 디리클레 급수이며, 이것은 형태의 무한 급수에 의해 정의된 복소 변수의 함수이다.

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}n^{-s}.

$a_{n}$ { $display style$ a _ { $n$ } $a_{n}$ , a of of of of of of depending depending depending depending 、어디서나 일부 하프플레인에 수렴할 수 있습니다.대부분의 경우 급수가 모든 곳에 수렴되지 않더라도, 급수가 정의하는 정형 함수는 전체 복소 평면에서 분석적으로 연속될 수 있습니다.곱셈 문제에서 이와 같은 함수의 효용은 형식적 동일성에서 볼 수 있다.

\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{-s}\infty =\left(\sum _{n}^{-s}\infty ={n}\right)\lefty(\lfty)\n}

따라서 두 디리클레 계열의 곱 계수는 원래 계수의 곱셈이다.또, 디리클레 급수에 관한 해석 정보로부터 계수에 관한 정보를 얻기 위해서, 부분 합계나 타우베리안 정리등의 기술을 사용할 수 있다.따라서 곱셈 함수를 추정하는 일반적인 방법은 디리클레 급수(또는 더 단순한 디리클레 급수의 산물)로 표현하고, 이 급수를 복소함수로 검사한 다음 이 분석 정보를 원래 함수에 대한 정보로 다시 변환하는 것입니다.

리만 제타 함수

오일러는 산술의 기본 정리가 (적어도 형식적으로는) 오일러 곱을 의미한다는 것을 보여주었다.

_{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{s}}=\frac {{p}^{\infty}{\frac {1}{-p^{-s}}}{\text{ for }s>1

여기서 제품이 모든 소수 p를 이어받습니다.

오일러의 소수 무한의 증명은 순수하게 분석적인 결과인 s = 1 (일명 조화 급수)에 대해 왼쪽의 항의 분산을 이용한다.오일러는 또한 정수, 특히 생성력 급수를 구성함으로써 정수의 특성을 연구하기 위한 목적으로 분석적 논거를 사용한 최초의 사람이기도 하다.이것이 해석수론의 ^[17]시작이었다.

나중에 리만은 s의 복소수에 대해 이 함수를 고려했고, 이 함수는 s = 1에서 단순한 극을 사용하여 전체 평면에서 meromape 함수로 확장될 수 있음을 보여주었다.이 함수는 현재 리만 제타 함수로 알려져 있으며 θ(s)로 표시됩니다.이 함수에 대한 문헌이 너무 많고, 이 함수는 더 일반적인 디리클레 L 함수의 특수한 경우이다.

해석수 이론가들은 종종 소수 정리와 같은 근사치의 오차에 관심을 가진다.이 경우 오차는 x/log x보다 작다. θ(x)에 대한 리만의 공식은 이 근사치의 오차항을 제타 함수의 0으로 나타낼 수 있음을 보여준다.1859년 논문에서 리만은 θ의 모든 "비불규칙" 0이 $\Re (s)=1/2$ ( $\Re (s)=1/2$ ) $\Re (s)=1/2$ / $\Re (s)=1/2$ ({ $디스플레이$ 스타일 $\Re (s$ ) = $\Re (s)=1/2$ 1/2 $)$ 선 위에 $\Re (s)=1/2$ 있다고 추측했지만 이 진술의 증거를 제시하지는 않았다.이 유명하고 오랜 추측은 리만 가설로 알려져 있고 수 이론에서 많은 깊은 의미를 가지고 있다; 사실, 많은 중요한 이론들이 가설이 사실이라는 가정 하에 증명되었다.예를 들어, 리만 가설의 가정 하에, 소수 정리의 오차항은 O $O(x^{1/2+\varepsilon })$ ( $O(x^{1/2+\varepsilon })$ / $O(x^{1/2+\varepsilon })$ + $O(x^{1/2+\varepsilon })$ ) { $displaystyle$ O ( x $O(x^{1/2+\varepsilon })$ ^ { $1$ / 2 + \ varepsilon $}$ $O(x^{1/2+\varepsilon })$ 입니다.

20세기 초에 G. H. 하디와 리틀우드는 리만 가설을 증명하기 위해 제타 함수에 대한 많은 결과를 증명했다.사실 1914년, 하디는 임계선에 제타 함수의 0이 무한히 많다는 것을 증명했다.

{\displaystyle\Re(z)=1/2}

이를 통해 임계선상의 0의 밀도를 설명하는 몇 가지 이론이 도출되었습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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레퍼런스

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추가 정보

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H. Iwaniec와 E. Kowalski, 해석수 이론.
D. J. 뉴먼, 스프링거, 1998년 해석수론

전문적 측면에서는 다음과 같은 책이 특히 많이 알려져 있습니다.

Titchmarsh, Edward Charles (1986), The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd ed.), Oxford University Press
H. Halberstam 및 H. E. Licht, 체 방법
R. C. Vaughan, The Hardy-Littlewood method, 2번째. edn.

어떤 주제들은 아직 책의 형식에 깊이까지 이르지 못했다.몇 가지 예로는 (i) 몽고메리의 쌍 상관관계 추측과 그것으로부터 시작된 연구, (ii) 소수 사이의 작은 간격에 대한 골드스턴, 핀츠 및 일리드림의 새로운 결과, (ii) 소수점의 임의의 긴 산술적 진행이 존재한다는 것을 보여주는 그린-타오 정리 등이 있다.

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v t 수론
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