보조함수

수학에서 보조함수는 초월수 이론에서 중요한 구성이다.그것들은 수학의 이 영역에서 대부분의 증거에 나타나며 많은 논거에 대해 값 0을 취하거나 어느 시점에서 높은 순서의 0을 갖는 것과 같은 구체적이고 바람직한 성질을 가진 함수들이다.^[1]

정의

보조함수는 엄격하게 정의된 종류의 함수가 아니라, 명시적으로 구성되거나 최소한 존재하는 것으로 보여지고 일부 가정된 가설과 모순을 제공하거나 또는 다른 방법으로 문제의 결과를 증명하는 기능이다.그 결과를 증명하기 위해 증명 과정 중에 함수를 만드는 것은 초월 이론에 배타적인 기술은 아니지만, 일반적으로 "보조함수"라는 용어는 이 영역에서 만들어진 함수를 가리킨다.

명시적 함수

리우빌의 초월성 기준

위에서 언급한 명명 규칙 때문에, 부함수는 초월 이론에서 가장 이른 결과를 보는 것만으로 그 원천으로 거슬러 올라갈 수 있다.이러한 첫 번째 결과들 중 하나는 소위 리우빌 숫자들이 초월적이라는 것을 보여주었을 때 초월적인 숫자들이 존재한다는 리우빌의 증거였다.^[2]그는 이 숫자들이 만족하는 초월적 기준을 발견함으로써 이렇게 했다.이 기준을 도출하기 위해 그는 일반 대수 숫자 α로 시작했고 이 숫자가 반드시 충족시킬 몇 가지 특성을 발견했다.그가 이 기준을 증명하는 과정에서 사용한 보조 함수는 단순히 α의 최소 다항식이었으며, 이는 f(α) = 0과 같은 정수 계수를 갖는 불가역 다항식 f이다. 이 함수를 사용하여 대수적 수 α를 합리적인 숫자 p/q로 얼마나 잘 추정할 수 있는지를 추정할 수 있다.특히 α가 적어도 2도 d를 가지고 있다면 그는 그것을 보여주었다.

${\displaystyle \왼쪽 f\left({\frac {p}{q}\오른쪽)\오른쪽 \geq {\frac {1}{q^{d}}}}$

또한, 평균값 정리를 이용하여, α에 따라 일정하게 일정하게, c(α)라고 하며, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \f\left \frac {p}{q}\오른쪽)\오른쪽 \leq c(\req)(\flict )\왼쪽 \px - {p}{q}\오른쪽 .}$

이러한 결과를 결합하면 대수적 숫자가 만족해야 하는 특성이 주어진다. 따라서 이 기준을 충족하지 못하는 숫자는 초월적이어야 한다.

리우빌의 작품에서 보조적인 기능은 매우 간단하며, 단지 주어진 대수적 숫자로 사라지는 다항식일 뿐이다.이런 종류의 속성은 대개 보조기능이 만족하는 것이다.그들은 사라지거나 특정 지점에서 매우 작아지는데, 이것은 보통 그들이 사라지지 않거나 결과를 도출하기에 너무 작을 수 없다는 가정과 결합된다.

e의 비합리성에 대한 푸리에의 증거

또 다른 간단하고 일찍 일어나는 일은 비록 사용된 표기법이 보통 이 사실을 위장하지만 e의 불합리성에 대한 푸리에의 증거에 있다.^[3]푸리에의 증거는 지수함수의 파워 시리즈를 사용했다.

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{x^{n}}{n!}}.}$

예를 들어, N + 1항 뒤에 이 파워 시리즈를 잘라냄으로써, 어떤 의미에서는 함수^x e에 "가까이" 있는 N의 합리적 계수를 갖는 다항식을 얻게 된다.특히 나머지에 의해 정의된 보조 기능을 살펴보면 다음과 같다.

${\displaystyle R(x)=e^{x}-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

그러면 이 함수(지수 다항식)는 x에 0에 가까운 작은 값을 가져야 한다.만약 e가 합리적인 숫자라면 위의 공식에서 x = 1을 허용함으로써 우리는 R(1)도 또한 합리적인 숫자임을 알 수 있다.그러나 푸리에르는 가능한 모든 분모를 제거함으로써 R(1)이 합리적일 수 없음을 증명했다.그러므로 e는 합리적일 수 없다.

에르미테의^r 불합리성에 대한 증거

헤르미테는 다항식이 아닌 합리적인 함수로 기능 e를^x 근사하여 푸리에의 작업을 확장시켰는데, 이는 두 다항식의 몫이다.특히 그는 다음과 같은 다항식 A(x)와 B(x)를 선택했다.

${\displaystyle R(x)=B(x)e^{x}-A(x)}$

x = 0 정도로 작게 만들 수 있다.그러나 e가^r 합리적이라면 R(r)은 특정 분모로 합리적이어야 하지만, Hermite는 그러한 분모를 가지기에는 R(r)을 너무 작게 만들 수 있으므로 모순이다.

E의 초월성에 대한 헤르미트의 증거

e가 실제로 초월적이라는 것을 증명하기 위해 헤르미테는 e함수뿐만^x 아니라 정수 k = 1, ...,m에 대한 함수^kx e를 근사하게 계산하여 한 걸음 더 나아가서 여기서 e가 m과 대수학이라고 가정했다.A_k(x) / B(x)라고 하는 동일한 분모를 가진 합리적인 함수에 의해 e를^kx 근사함으로써, 그는 다음과 같이 보조함수 R_k(x)을 정의할 수 있었다.

${\displaystyle R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x).}$

그의 모순에 대해 헤르미테는 e가 정수 계수₀ a + ae₁ + ...로 다항식 방정식을 만족시켰다고 추정했다.+ ae_m^m = 0. 이 표현에 B(1)를 곱하면 그는 이 표현이 함축되어 있음을 알아차렸다.

${\displaystyle R=a_{0}+a_{1}}R_{1}(1)+\cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+\cdots +a_{m}A_{m}(1)}$

오른손은 정수라 하여 보조함수를 추정하고 0 < R < 1 그가 필요한 모순을 도출했다는 것을 증명함으로써.

비둘기 구멍 원리의 보조 함수

위에 스케치된 보조 기능은 모두 명시적으로 계산하여 사용할 수 있다.20세기에 액셀 투에와 칼 루드비히 시겔에 의한 돌파구는 이러한 기능들이 반드시 명시적으로 알려질 필요는 없다는 것을 깨달은 것이다 – 그것은 그들이 존재하고 특정한 속성을 가지고 있다는 것을 아는 것으로 충분할 수 있다.예를 들어, 많은 다른 지점들에서 값을 0으로 잡거나, 더 작은 지점들의 집합에서 고차 0을 취하는 보조 기능의 존재를 가까스로 증명하는 데 성공했다.게다가 그들은 기능을 너무 크게 만들지 않고도 그러한 기능을 구성할 수 있다는 것을 증명했다.^[4]그들의 보조기능은 그렇다면 명시적인 기능이 아니었지만, 어떤 성질을 가진 어떤 기능이 존재한다는 것을 알음으로써 그 속성을 이용하여 19세기의 초월적 증명들을 단순화하고 몇 가지 새로운 결과를 주었다.^[5]

이 방법은 알렉산더 겔폰트와 테오도르 슈나이더를 포함한 몇몇 다른 수학자들에게 선택되어 사용되었는데, 그는 그것을 겔폰트-슈나이더 정리를 증명하기 위해 독립적으로 사용했다.^[6]앨런 베이커는 또한 1960년대에 로그의 선형 형태와 궁극적으로 베이커의 정리 작업에 이 방법을 사용했다.^[7]1960년대 이 방법의 사용에 대한 또 다른 예는 아래에 요약되어 있다.

보조 다항식 정리

β를 등식 도끼³ + bx³ = c에서 b/a의 큐브 루트와 같게 하고 m을 m + 1 > 2n/3 ≥ m ≥ 3을 만족하는 정수라고 가정한다. 여기서 n은 양의 정수다.

그럼 존재하는 것이다.

$F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)}$

그런

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X),}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X)}$

보조 다항식 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle \max _{0\leq i\leq m+n}{{(u_{i}, v_{i} )}\leq 2b^{9(m+n)}.}$

랑의 정리

1960년대에 Serge Lang은 이러한 모호하지 않은 형태의 보조 기능을 사용하여 결과를 증명했다.그 정리는 헤르미트-린데만과 겔폰-슈나이더 양쪽의 정리를 내포하고 있다.^[8]정리는 숫자 필드 K와 mer에서 순서 f₁, ..., f를_N 다루는데, 그 중 적어도 두 가지는 대수적으로 독립적이며, 이러한 함수들 중 하나를 우리가 구별하면 결과는 모든 함수에서 다항식이 된다.이러한 가설에서 정리는 i와 j의 모든 조합에 대해_i f(Ω_j )가 K에 있도록 m 구별되는 복합수 Ω₁, ...,Ω이_m 있는 경우 m은 다음과 같이 제한된다.

${\displaystyle m\leq 20\rho [K:\mathb {Q} ]}$

그 결과를 증명하기 위해 랭은 f₁, ...,f_N, say f, g로부터 두 개의 대수적으로 독립된 함수를 취했고, 그리고 나서 f와 g에서 간단히 다항식 F인 보조 함수를 만들었다.f와 g가 명시적으로 알려져 있지 않기 때문에 이 보조 기능은 명시적으로 명시될 수 없었다.그러나 시겔의 보조정리 랑(Lang)을 사용하면 m 콤플렉스 숫자 Ω₁, ..., Ω에서_m 높은 순서로 사라지도록 F를 만드는 방법을 알 수 있었다.이 높은 순서가 사라지기 때문에 F의 고차분수 파생상품은 Ωs의_i 작은 크기, 즉 숫자의 대수적 특성을 나타내는 여기서 "크기"의 값을 취한다는 것을 알 수 있다.Lang은 또한 최대 계량 원리를 이용하여 F의 파생상품의 절대값을 추정할 수 있는 별도의 방법을 찾았으며, 숫자의 크기와 절대값을 비교한 표준 결과를 사용하여 m에 대한 클레임 바운드가 유지되지 않는 한 이러한 추정치는 모순된다는 것을 보여주었다.

보간결정인자

현존하지만 명시적이지는 않은 보조기능을 사용함으로써 얻은 무수한 성공 후, 1990년대에 미셸 로랑은 보간 결정요인의 개념을 도입했다.^[9]이들은 대체 요인 – 형태 행렬의 결정 요인

${\displaystyle {\mathcal{M}=\왼쪽(\varphi) _{i}(\zeta _{j}\오른쪽)_{1\leq i,j\leq N}}$

여기서 φ은_i 일련의 지점에서_j 보간되는 기능의 집합이다.결정요소는 행렬의 항목에서 다항식일 뿐이므로 이러한 보조함수는 분석적 수단으로 연구에 굴복한다.이 방법의 문제점은 매트릭스를 사용할 수 있기 전에 기준을 선택해야 한다는 것이었다.장베누트 보스트의 개발로 아라켈로프 이론의 사용으로 이 문제가 제거되었으며,^[10] 이 분야에 대한 연구가 진행 중이다.아래의 예는 이 접근방법의 맛에 대한 아이디어를 제공한다.

헤르미트-린데만 정리의 증거

이 방법의 가장 간단한 적용 중 하나는 헤르미테-린데만 정리의 실제 버전을 증명하는 것이다.즉, α가 0이 아닌 실제 대수 숫자라면, e는^α 초월이다.먼저 우리는 k를 몇 개의 자연수가 되게 하고 n은 k의 큰 배수가 되게 한다.고려된 보간 결정요소는 n⁴×n⁴ 행렬의 결정요인 Δ이다.

${\displaystyle \left(\\exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1\}^{{1}-1){\\Big }_{x=(i_{2}-1)\알파 }\오른쪽).}$

이 행렬의 행은 1 ≤ i₁ ≤ n⁴/k와 1 ≤ i₂ ≤ by k에 의해 색인되는 반면, 열은 1 ≤ j₁ ≤ n과³ 1 ≤ j ≤ n₂. 따라서 우리 행렬의 함수는 x와 e와^x 그 파생상품의 단항수로서 k 지점 0,α,2α, ..., (k - 1)α에서 보간하고 있다.e가^α 대수학이라고 가정하면, 우리는 Q에 걸쳐 도 m의 숫자 필드 Q(α,e^α)를 형성한 다음, Δ에 필드 Q(α,e^α)의 내장 하에 있는 모든 이미지뿐만 아니라 적절한 분모를 곱할 수 있다.대수적 이유로 이 제품은 반드시 정수이며, Wronskians와 관련된 인수를 사용하면 0이 아니므로 절대값이 정수 Ω ≥ 1임을 나타낼 수 있다.

행렬에 대한 평균값 정리 버전을 사용하면 Ω에서도 분석 바인딩을 얻을 수 있으며, 실제로 빅 O 표기법을 사용하면

${\displaystyle \O\왼쪽(\exp \left)(\frac {m+1}{k}-{\frac {3}{2}}\오른쪽)n^{8}\log n\right)\오른쪽).}$

숫자 m은 필드 Q(α,e^α)의 정도에 의해 고정되지만 k는 우리가 보간하고 있는 포인트의 수이므로 마음대로 늘릴 수 있다.그리고 일단 k > 2(m + 1)/3이 되면 Ω → 0이 되며, 결국 Ω ≥ 1과 모순된다.그러므로 e는^α 결국 대수학일 수 없다.^[11]

메모들

참조

• Waldschmidt, Michel. "An Introduction to Irrationality and Transcendence Methods" (PDF).
• Liouville, Joseph (1844). "Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques". J. Math. Pures Appl. 18: 883–885, and 910–911.
• Hermite, Charles (1873). "Sur la fonction exponentielle". C. R. Acad. Sci. Paris. 77.
• Thue, Axel (1977). Selected Mathematical Papers. Oslo: Universitetsforlaget.
• Siegel, Carl Ludwig (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Abhandlungen Akad. Berlin. 1: 70.
• Siegel, Carl Ludwig (1932). "Über die Perioden elliptischer Funktionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 167: 62–69. doi:10.1515/crll.1932.167.62.
• Gel'fond, A. O. (1934). "Sur le septième Problème de D. Hilbert". Izv. Akad. Nauk SSSR. 7: 623–630.
• Schneider, Theodor (1934). "Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen". J. reine angew. Math. 172: 65–69.
• Baker, Alan; Wüstholz, G. (2007), "Logarithmic forms and Diophantine geometry", New Mathematical Monographs, Cambridge University Press, vol. 9, p. 198
• Lang, Serge (1966). Introduction to Transcendental Numbers. Addison–Wesley Publishing Company.
• Laurent, Michel (1991). "Sur quelques résultats récents de transcendance". Astérisque. 198–200: 209–230.
• Bost, Jean-Benoît (1996). "Périodes et isogénies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d'après D. Masser et G. Wüstholz)". Astérisque. 237: 795.
• Pila, Jonathan (1993). "Geometric and arithmetic postulation of the exponential function". J. Austral. Math. Soc. A. 54: 111–127. doi:10.1017/s1446788700037022.