슈타이니츠 교환 보조정리

슈타이니츠 교환 보조정리란 예를 들어 유한차원 벡터 공간에 대한 어떤 두 개의 베이스라도 동일한 수의 원소를 가지고 있다는 것을 보여주기 위해 사용되는 선형대수의 기본 정리다.그 결과는 독일의 수학자 에른스트 슈타이니츠의 이름을 따서 명명되었다.그 결과를 흔히 슈타인츠-맥 레인 교환 보조정리라고 부르기도 하는데, 슈타인츠 보조기구의 손더스 맥 레인이 성모에게 일반화를^[1] 인정하기도 한다.^[2]

성명서

$U$ $U$ 및 $U$ $W$ $W$ 을(를) 벡터 $공간$ V $V$ 의 유한 부분 집합으로 설정하십시오 $W$ $V$ $U$ ${\displaystyle$ U $}$ 이(가) $V$ ${\displaystystyle$ V $}$ 에 걸쳐 있는 $W$ $경우$ :

1. $|U|\leq |W|$ $|U|\leq |W|$ $|U|\leq |W|$ $displaystyle$ U $\leq W}$ ;

2. V $V$ 에 $U\cup W'$ $W'\subseteq W$ - $|W'|=|W|-|U|$ {\displaystyle W $'\subseteq W}$ 이 $W'\subseteq W$ $|W'|=|W|-|U|$ 가) $있고$ W $|W'|=|W|-|U|$ - U {\ $displaystyle$ W $'$ = W - U $}$ 이 $|W'|=|W|-|U|$ (가) 있고 $U\cup W'$ ∪ $U\cup W'$ $U\cup W'$ W $U\cup W'$ ${\$ W $'$ 가( $가$ )에 걸쳐 있다 $V$

증명

Suppose $U=\{u_{1},\dots ,u_{m}\}$ and $W=\{w_{1},\dots ,w_{n}\}$ . We wish to show that for each $k\in \{0,\dots ,m\}$ , we have that $k\leq n$ , and that the set $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ , $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ k $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ + 1 $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ , $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ w $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ $\{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}\}}$ 의 $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ $V$ ${\displaystystyle$ V $}($ $w_{j}$ 서는 w $w_{j}$ ${\displaystyle$ $w_{$ $j$ $})$ 에 따라 재배열이 달라진다 $w_{j}$ $.$ $k$ 는 k $k$ 를 유도하여 진행한다 $k$

기본 케이스의 경우 $k$ $k$ 이 $k$ (가) 0이라고 가정하십시오.이 경우, 벡터 ${\$ 가 없고 $u_{i}$ 집합 $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}$ { $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}$ , $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}$ … $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}$ , w $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}$ $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}$ $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}}}}}$ 이 가설로 V ${\displaystystyle$ V}에 걸쳐 $\{w_{1},\dotsc ,w_{n}\}$ $V$ 있기 때문에 클레임이 성립된다 $.$

귀납 단계로 그 개정안 일부 k<>m{\displaystyle k<입니다 나이}의 현실이다. u k+1∈ V{\displaystyle u_{k+1}\in V},{u1,…, uk, wk+1,…,w n}{\displaystyle\와 같이{u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},\ldots ,w_{n}\}}유도 hypot(에 의해 V{V\displaystyle}에 걸쳐 있다고 생각하고 있다.hesis), 계수 $\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}$ , $\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}$ … $\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}$ , $\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}$ ${\$ 등이 $\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}$ 있다.

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

+

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

=

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

+

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

j

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

=

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

k +

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}

j

{\

}{

j}u_{j}+\sum _{j=k+1

}^{

n}\

mu

_{j}w_{j

At least one of $\{\mu _{k+1},\ldots ,\mu _{n}\}$ must be non-zero, since otherwise this equality would contradict the linear independence of $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1}\}$ ; note that this additionally implies that ${\displaystyle k+1$ $\leq n}.$ $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ + 1 $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ + 1 $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ , $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ ${\$ $\$ $mu _{k+1}w_{k+1},\dots,\mu$ $_{$ $n}$ $w_{$ $n$ }{n}w_{ $n}}}}}}}$ 을 다시 주문하면 $\mu _{k+1}$ + $\mu _{k+1}$ { $k+1$ }이 0이 아니라고 $\mu _{k+1}$ 가정할 수 있다 $\mu _{k+1}w_{k+1},\ldots ,\mu _{n}w_{n}$ 그러므로, 우리는

w_{k+1}={\frac {1}{\mu _{k+1}}}\left(u_{k+1}-\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}-\sum _{j=k+2}^{n}\mu _{j}w_{j}\right)

.

즉 $w_{k+1}$ + $w_{k+1}$ ${\$ 의 범위는 $w_{k+1}$ $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ 1, $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ … , $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ + $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ , $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ w $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ + 2 $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ , $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ {n $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ ${\displaysty \{u_{1},\dots, u_{k+1},$ { $k+$ 1},\ $dots, w_{$ n}\ $n}$ 의 범위 내에 있다 $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ 따라서 후자의 스팬은 각각 벡터 $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ 1 $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ , $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ … $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ k , $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ + $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ 1, $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ k + $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ , $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ $u_{1},\ldots ,u_{k},w_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}$ ${\$ +2 $n}$ 를 포함하므로 이러한 후자의 벡터의 스팬을 하위 집합으로 포함해야 한다.But since the latter span is $V$ (by the induction hypothesis), this simply means that the span of $\{u_{1},\ldots ,u_{k+1},w_{k+2},\ldots ,w_{n}\}$ contains $V$ as a subset (thus is $V$ ).따라서 우리는 귀납 단계를 완료한 $k+1$ k + ${\displaystyle$ k+1}에 $대한$ 우리의 주장이 사실임을 보여주었다.

We have thus shown that for each $k\in \{0,\dots ,m\}$ , we have that $k\leq n$ , and that the set $\{u_{1},\dotsc ,u_{k},w_{k+1},\dotsc ,w_{n}\}$ spans $V$ (where the ${\$ 디스플레이 $스타일 w_{j}}$ 이(가) 다시 정렬되었을 $w_{j}$ 가능성이 있으며, $k$ 는 k ${\displaystyle$ k $}$ 에 따라 달라진다. $k$

$m\leq n$ $m\leq n$ $m\leq n$ 이(가) 이 결과에서 $k=m$ $k=m$ = $k=m$ $k=m$ 을(를) 설정함으로써 나타난다는 $m\leq n$ 사실은 다음과 같다.

적용들

슈타이니츠 교환 보조마사는 계산 수학, 특히 선형 대수학 및 결합 알고리즘에서 기본적인 결과물이다.^[3]

참조

^ Mac Lane, Saunders (1936), "Some interpretations of abstract linear dependence in terms of projective geometry", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 58 (1): 236–240, doi:10.2307/2371070, JSTOR 2371070.
^ Kung, Joseph P. S., ed. (1986), A Source Book in Matroid Theory, Boston: Birkhäuser, doi:10.1007/978-1-4684-9199-9, ISBN 0-8176-3173-9, MR 0890330.
^ Stiefel의 페이지 v:

훌리오 R.바스티다, 필드 확장 및 갈루아 이론, 애디슨-웨슬리 출판사(1984)

외부 링크

Mizar 시스템 증명: http://mizar.org/version/current/html/vectsp_9.html#T19

[1] Mac Lane, Saunders (1936), "Some interpretations of abstract linear dependence in terms of projective geometry", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 58 (1): 236–240, doi:10.2307/2371070, JSTOR 2371070.

[2] Kung, Joseph P. S., ed. (1986), A Source Book in Matroid Theory, Boston: Birkhäuser, doi:10.1007/978-1-4684-9199-9, ISBN 0-8176-3173-9, MR 0890330.

[3] Stiefel의 페이지 v:

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