/ 을(를) 대수적 확장자(즉, L은 K의 대수적 확장자)로 하여 의즉, L은 K의 대수적 폐쇄에 포함되어 있다)로 한다.그 다음 조건 중 어느 하나라도 정상 확장의 정의로 간주할 수 있는 조건은 다음과 같다.[3]
의에 L을 삽입할 때마다 L의 자동화가 유도된다.
L은 [ 에 있는 다항식 계열의 분할 영역이다
L에 루트가 있는[ 의 모든 수정 불가능한 다항식은 L의 선형 인자로 분할된다.
기타 속성
L을 필드 K의 연장이 되게 하라.다음:
L이 K의 정상적인 연장이고 E가 중간 연장(L ( E ⊃ K)이라면 L은 E의 정상적인 연장이다.[4]
E와 F가 L에 포함된 K의 정상적인 연장이라면 합성EF와 E ∩ F도 K의 정상적인 연장이다.[4]
정규성에 대한 등가 조건
/ 을(를) 대수학으로 한다.필드 L은 아래 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우에만 정상적인 확장이다.
L에 있는 모든 원소의 K에 대한 최소 다항식은 L로 분할된다.
[K[이(가) 필드인경우S가 F로 분할되지 않는 다항식을 갖는 다항식을 동시에 L 위로 분할한 집합이 있다.
모든 동형상 → L\의 이미지가 동일함.
자동화 그룹, ( / ), K의 요소를 고정하는 L의 은 동형성 →의 . 에 대해 전이적으로 작용한다.
예제 및 counterexample
For example, is a normal extension of since it is a splitting field of On the other hand, is not a normal extension of 는) 수정 불가능한 다항식 x - 에 루트가 한 개 있기 때문에(이름, {\sqrt}}개 모든 루트가 포함되어 있지는 않다(비실제 입방 루트를 가지고 있지 않음).대수적 숫자의 Q 필드 즉( ). }}}}{\sqrt2}}의 대수적 닫힘이라는 것을 기억하십시오 이후,
그리고, 만약 {\}이가) 단결의 원시 세제곱근이라면, 지도는
() 이 포함된 으로, Q{\{Q에 대한 제한이 ID가 된다.그러나 은(는) )의 자동형이 아니다
prime , p Q( ,) 는 p -1 ){\)이다- 2여기 p 는 원초적 통합 뿌리의 p 을 의미한다.필드 ( ,3 ){\는 Q( ){\}}}}})의 일반 닫힘(아래 참조
정상폐쇄
K가 필드이고 L이 K의 대수적 확장인 경우, M이 K의 정상적인 확장인 L의 일부 대수적 확장인 M이 있다.더욱이, 이등형성에 이르기까지 그러한 확장은 최소, 즉 L을 포함하고 K의 정상적인 확장인 M의 유일한 하위 영역은 M 그 자체일 뿐이다.이 연장을 K의 연장 L의 정상적인 폐쇄라고 한다.
![{\displaystyle K\left[X\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df88b677ba6f14402230c6b63b02002eb9fc4a9)
![{\displaystyle S\subseteq K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0eccea778750f0936ec7fbb45cddce453de8a04)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4682c6f3952f1b35a5db23be9b806fc79e771d30)
![{\sqrt[{3}]{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6d77c834cffd995a6d6aeae0a19afd3b1e1657)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876576c5ab85a4ed1f990b6ae0cb10a84ec30093)
![{\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99aad7bb4965e2d775d16df626dadaac39147685)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee98ba7f749a0274bb2c855a7d2706b345f2bba9)
의미한다.필드 ![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d2076f0dc6eaacf22314c7e3737b80bb39fc5c)
Q
