수학 에서 무한 주기적인 연속 분수 는 형태에 배치할 수 있는 연속 분수 다.
x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + ⋱ ⋱ a k + 1 a k + 1 + ⋱ ⋱ a k + m − 1 + 1 a k + m + 1 a k + 1 + 1 a k + 2 + ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}} 여기 서 k + 1 부분분모의 초기 블록 다음에 반복적으로 반복되는 부분분모의 블록 [a k +1a k +2a k +m ad infinitum으로 이어진다. 예를 들어, 2 {\ displaystyle sqrt{2}}
부분 분모 {a i 그 일반적인 경우는 기사 정합화 문제 에서 다루어진다. 이 글의 나머지 부분은 또한 주기적인 단순 연속 분수 에 대한 주제에 초점을 맞추고 있다. 즉, 이 글의 나머지 부분은 모든 부분분모 i i ≥ 1)가 양의 정수라고 가정한다.
순수 주기율 및 주기율분수 규칙적으로 지속되는 분수에 있는 모든 부분적인 분자는 통일과 같기 때문에 위에서 표시한 지속 분수를 다음과 같이 쓰는 속기법을 채택할 수 있다.
x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a k , a k + 1 , a k + 2 , … , a k + m , a k + 1 , a k + 2 , … , a k + m , … ] = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a k , a k + 1 , a k + 2 , … , a k + m ¯ ] {\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}]\end{aligned}}} 두 번째 줄에서 빈쿨럼 은 반복 블록을 표시한다.[1] 일부 교과서는 이 표기법을 사용한다.
x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a k , a ˙ k + 1 , a k + 2 , … , a ˙ k + m ] {\displaystyle {\a}{0}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\a_{k+1},{\dot{a}_{k+1},a_{k+1}, {\dot{a}_{k+m}},\dot{a}}}, {a},\liged},},} 여기서 반복 블록은 첫 번째 및 마지막 항에 점으로 표시된다.[2]
초기 반복되지 않는 블록(k = -1인 경우)이 없는 경우0 , a = am 및
x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a m − 1 ¯ ] , {\displaystyle x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\reason,a_{m-1},},} 규칙적인 지속분수 x 는 순전히 주기적 인 것이라고 한다. 예를 들어 황금비율 φ에 대한 정기적인 지속분수([1; 1, 1, 1, 1, ...]는 순전히 주기적인 반면, 2의 제곱근에 대한 정기적인 지속분수([1; 2, 2, ...])는 주기적인 것이지만 순수하게 주기적인 것은 아니다.
단변형 행렬로서 그러한 주기적인 분수는 실제 이차적 비합리성 과 일대일 일치한다. 그 서신은 민코프스키의 물음표 기능 에 의해 명시적으로 제공된다. 그 기사는 또한 그러한 지속적인 분수를 가지고 작업하기 쉽게 하는 도구를 검토한다. 우선 순전히 주기적인 부분을 고려하라.
x = [ 0 ; a 1 , a 2 , … , a m ¯ ] , {\displaystyle x=[{\overline {0;a_{1},a_{2},\reason,a_{m}},} 이것은, 사실, 라고 쓰여질 수 있다.
x = α x + β γ x + δ {\displaystyle x={\frac {\fract x+\properties }{\put x+\properties }}} α β Δ Δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } α β = {\displaystyle \alpha \delta \bta gamma = .
S = ( 1 0 1 1 ) {\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}} '시프트'라고 불려서
S n = ( 1 0 n 1 ) {\displaystyle S^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}} 그리고 이와 유사하게 다음과 같은 반성이 주어진다.
T ↦ ( − 1 1 0 1 ) {\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}} T I {\displaystyle T^{2}=I}. 비정형 이며 임의 제품은 비정형이다. 그런 다음 위에서와같이 {\displaystyle x} [3]
S a 1 T S a 2 T ⋯ T S a m = ( α β γ δ ) {\displaystyle S^{a_{1}} TS^{a_{2}} T\cdots TS^{a_{m}={\begin{pmatrix}\알파 &\beta \\gamma &\delta \end{pmatrix}}}} 가지고 있다
x = [ 0 ; a 1 , a 2 , … , a m ¯ ] = α x + β γ x + δ {\displaystyle x=[{\overline {0;a_{1},a_{2},\reason,a_{m}}}]={\frac {\fract x+\reason }{\preason x+\}}}}}}} 명시적 형식으로서 모든 행렬 항목이 정수이므로 이 행렬은 모듈형 그룹 S ( 2 , Z . {\displaystyle SL(2,\mathb {Z}). }
이차 비합리성과 관계 이차 방정식 은 이차 방정식의 비합리적 인 진짜 뿌리다.
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 여기서 계수 a , b , c 는 정수이고 판별 인 b - 4ac 은2 0보다 크다. 2차 공식 에 의해 모든 2차적 비합리성은 그 형태로 쓰여질 수 있다.
ζ = P + D Q {\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt{D}}{Q}}} 여기서 P , D, Q 는 정수 , D > 0은 완벽한 사각형은 아니며 (그러나 반드시 사각형이 없는 것은 아님), Q 는 P 2 - D 의 양을 나눈다(예: (6+√8 이러한 이차 비합리성은 이차 비합리성 에 대해 설명했듯이 정사각형 없는 수의 제곱근(예: (3+2
오일러 는 주기적인 연속 분수의 전체 인수 를 고려함으로써 x 가 정기적인 주기적인 연속 분율 이라면 x는 이차적인 비합리적인 수라는 것을 증명할 수 있었다. 그 증거는 간단하다. 분수 자체에서 x 가 충족해야 하는 적분 계수로 2차 방정식을 구성할 수 있다.
라그랑쥬 는 오일러의 정리의 역설을 증명했다: x 가 2차 비합리적인 것이라면 x 의 규칙적인 지속적인 분수 팽창은 주기적인 것이다.[4] 2차 비합리적인 x 가 주어진다면, 각각 동일한 판별력을 가진 m 의 다른 2차 방정식을 구성할 수 있으며, 이 공식 은 x의 규칙적인 지속적 부분 확장의 연속적인 전체 인용구와 관련이 있다. 이러한 방정식들 중 미세하게 많으므로(계수가 경계됨) x 를 나타내는 정규 지속분수에서 전체 인용구(및 부분분모)는 결국 반복해야 한다.
감소된 surds 그 2차 surd ζ)P+DQ{\displaystyle \zeta){\frac{P+{\sqrt{D}}}{Q}}}만약ζ를 감소시켜야 하고;1{\displaystyle \zeta 1}과 그 켤레 η)P− DQ{\displaystyle \eta){\frac{내{\sqrt{D}}}{Q}}}불평등을 1<>−을 충족, η<0{\displaystyle -1<, \eta<0}으로 알려졌다. . 예를 들어 t 그는 황금비율 ϕ 1 5 1.618033... {\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5})/2=1.618033... }} (1 5 2 618033... {\displaystyle(1-{\sqrt{5})/2=-0.618033... {} On the other hand, the square root of two 2 = ( 0 + 8 ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}=(0+{\sqrt {8}})/2} − 2 = ( 0 − 8 ) / 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}=(0-{\sqrt {8}})/2}
갈루아 는 2차 서드 ζ을 나타내는 규칙적인 지속 분수는 만약 ζ이 서드 감소인 경우에만 순수하게 주기적이라는 것을 증명했다. 사실 갈루아는 이것보다 더 많은 것을 보여주었다. 또한 ζ이 2차 변위 감소이고 η이 그 결합이라면 ζ과 (-1/η)의 연속 분수는 모두 순수하게 주기적이며, 그 연속 분율 중 하나의 반복 블록은 다른 분수의 반복 블록의 거울상임을 증명하였다. 우리가 가진 상징적으로
ζ = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a m − 1 ¯ ] − 1 η = [ a m − 1 ; a m − 2 , a m − 3 , … , a 0 ¯ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}]\,\end{aligned}}} 여기서 ζ은 감소된 2차 서드이고, η은 그 결합이다.
이 두 가지 갈루아의 이론으로부터 라그랑주에게 이미 알려진 결과를 추론할 수 있다. r > 1이 완벽한 정사각형이 아닌 합리적인 숫자라면,
r = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a 2 , a 1 , 2 a 0 ¯ ] . {\displaystyle {\sqrt{r}=[a_{0};{\overline {a_{1}, {2},\reason,a_{2},a_{1},2a_{0}}}] } 특히 n 이 어떤 비제곱 양의 정수인 경우, nn 의 규칙적인 지속분수확장은 길이 m 의 반복 블록을 포함하며, 여기서 첫 번째 m - 1 부분분모가 팔린드로믹 문자열을 형성한다.
반복 블록 길이 조합의 순서를 분석하여
P n + D Q n {\displaystyle {\frac {P_{n}+{\sqrt{D}}{Q_{n}}}}} ζ = (P + √D )/Q 가 정규 지속분수로 확장되었을 때 발생할 수 있는 가능성, 라그랑쥬 는 팽창에서 가장 큰 부분분모 i dD 미만이며 반복 블록의 길이가 2D 미만임을 보여주었다.
보다 최근에, 구분함수 에 기초한 보다 날카로운 주장은[5] [6] 차별성 D의 2차적 변수에 대한 반복 블록의 길이 인 L(D )에 의해 주어진다는 것을 보여주었다.
L ( D ) = O ( D ln D ) {\displaystyle L(D)={\mathcal {O}}({\sqrt {D}\ln {D})} 여기서 빅 O 는 "순서에 따라" 또는 "비례적으로"를 의미한다(빅 O 표기법 참조).
표준 형식 및 반복 다음과 같은 반복 알고리즘을[7] S 는 완벽한 정사각형 이 아닌 자연수 임).
m 0 = 0 {\displaystyle m_{0}=0\,\! } d 0 = 1 {\displaystyle d_{0}=1\,\!} a 0 = ⌊ S ⌋ {\displaystyle a_{0}=\왼쪽\lp바닥 {\sqrt {S}\오른쪽\rfloor \,\!} m n + 1 = d n a n − m n {\displaystyle m_{n+1}=d_{n}a_{n}-m_{n}\,\!} d n + 1 = S − m n + 1 2 d n {\displaystyle d_{n+1}={\frac {S-m_{n+1}^{2}}:{d_{n}}\,\!} a n + 1 = ⌊ S + m n + 1 d n + 1 ⌋ = ⌊ a 0 + m n + 1 d n + 1 ⌋ . {\daystyle a_{n+1}=\좌측\frac {{\sqrt{S}+m_{n+1}{d_{n+1}{n+1}{n+1}}}\좌측\lploor =\frac {a_{0}+m_{n+1}}}}{d_{n+1}}}\rfloor! } m n , d n , a 는n 항상 정수라는 것에 주목하라. 이 세 쌍둥이가 이전에 마주친 것과 같을 때 알고리즘은 종료된다. 알고리즘은 또한i i a = 20 a에 대해 종료할 수 있으며,[8]
그 확장은 그때부터 반복될 것이다. [a 0 ; a 1 , a 2 , a, a 3 , a, ...] 순서는 계속적인 분수 확장이다.
S = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + ⋱ {\displaystyle {\sqrt{S}=a_{0}+{1}{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\dddots }}}}}}}}}}}} 예 4114 얻으려면 0 m = 0, d 0 = 1, a = 10 0 (10 = 1002 , 112 = 121 > 114 그래서 10)로 시작한다.
114 = 114 + 0 1 = 10 + 114 − 10 1 = 10 + ( 114 − 10 ) ( 114 + 10 ) 114 + 10 = 10 + 114 − 100 114 + 10 = 10 + 1 114 + 10 14 . {\displaystyle {\displaysty}{\sqrt {&}&={\frac {{\sqrt{ {}+0}{1} }}}=10+{\sqrt {{\sqrt{{\sqrt}-10}{1}}}}=10+{{\sqrt{sqrt}-10){\sqrt{sqrt}+10}}{\sqrt}}}{\sqrt}}}}}}}}\ \&=10+{\frac{\frac-100}{{\sqrt{{114}}}+10}=10+}{\frac {1}{\frac {{\sqrt}+10}{14}}}}}. \end{정렬}}} m 1 = d 0 ⋅ a 0 − m 0 = 1 ⋅ 10 − 0 = 10 . {\displaystyle m_{1}=d_{0}\cdot a_{0}-m_{0}=1\cdot 10-0=10\, } d 1 = S − m 1 2 d 0 = 114 − 10 2 1 = 14 . {\displaystyle d_{1}={\frac {S-m_{1}^{{0}}}={\frac {114-10^{2}}:{1}=14\, } a 1 = ⌊ a 0 + m 1 d 1 ⌋ = ⌊ 10 + 10 14 ⌋ = ⌊ 20 14 ⌋ = 1 . {\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {a_{0}+m_{1 }}{d_{1}}\오른쪽\{1}\frac {10+10}{14}}\frac {\frac {10+10}}}\frac {\flac}{14}\오른쪽\floor =1.} 즉 1 , m = 10, d 1 = 14, a 1 = 1이다.
114 + 10 14 = 1 + 114 − 4 14 = 1 + 114 − 16 14 ( 114 + 4 ) = 1 + 1 114 + 4 7 . {\displaystyle {{\sqrt {{}}+10}{14}=1+{{\prac {{\sqrt}-4}{14}}}{14+}{14({\sqrt}{14({\sqrt}}}}}}}}=1+{\frac {{sqrac {{sqrt+4}{7}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} } 다음 으로2 2 , m = 4, d 2 = 7 및 a = 2
114 + 4 7 = 2 + 114 − 10 7 = 2 + 14 7 ( 114 + 10 ) = 2 + 1 114 + 10 2 . {\displaystyle {{\sqrt {{}}+4}{7}=2+{\prac {{\sqrt{114}-10}{7}}}}{7}}}{7}}{7\\sqrt{14}}}}}}}}}=2+{\frac {{\sqrt}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}} }}}.} 114 + 10 2 = 10 + 114 − 10 2 = 10 + 14 2 ( 114 + 10 ) = 10 + 1 114 + 10 7 . {\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}+10}{2} }}}=10+{\sqrt{{\sqrt}-10}{2}}=10+{14}{2({\sqrt{{14}{22\sqrt}}+10}}}}}}=10+{\frac {{\sqrt}+10}{7}{7} }}}.} 114 + 10 7 = 2 + 114 − 4 7 = 2 + 98 7 ( 114 + 4 ) = 2 + 1 114 + 4 14 . {\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}+10}{7} 2}}=2+{\sqrt {{\sqrt{7}-4}{7}=2+{7}{7}{7}{98){7}{7s\sqrt}}}}}=2+{\frac {1}{\sqrt}+4}{14}}}}}}}}}} } 114 + 4 14 = 1 + 114 − 10 14 = 1 + 14 14 ( 114 + 10 ) = 1 + 1 114 + 10 1 . {\displaystyle {{\sqrt {{}}+4}{14}=1+{\prac {{\sqrt}-10}{14}{14}{1414\sqrt{14}}}{1414\sqrt}}}}}}}=1+{\frac {{\sqrqrt{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}}.} 114 + 10 1 = 20 + 114 − 10 1 = 20 + 14 114 + 10 = 20 + 1 114 + 10 14 . {\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}+10}{1} }}}=20+{\sqrt{{\sqrt}-10}{1}:{1}=20+{\sqrt{14}{{\sqrt}+10}=20+{\frac {{\sqrt}+10}{14}}}}}. } 이제 위의 두 번째 방정식으로 돌아가 봅시다.
따라서 114 제곱근에 대한 단순 지속 분율은
114 = 10 1 1 2 20 {\ displaystyle {\sqrt{114}}=[10;{\overline{1,2,10,2 ,1,20}] \,}( OEIS 에서 시퀀스 A010179 √114 는 대략 10.67707 82520이다. 반복을 한 번 확장한 후, 지속적인 분수는 합리적인 분율 21194 1985 {\ displaystyle {\frac {2194}{1985}}
일반화연속분수 더 빠른 방법은 그것의 일반화된 지속 분율 을 평가하는 것이다. 여기 서 도출된 공식으로부터:
z = x 2 + y = x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + ⋱ = x + 2 x ⋅ y 2 ( 2 z − y ) − y − y 2 2 ( 2 z − y ) − y 2 2 ( 2 z − y ) − ⋱ {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2z-y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-\ddots }}}}}}} 그리고 114가 102 =100과 112 =11의 3분의 2라는 사실은 그 결과를 낳는다.
114 = 1026 3 = 32 2 + 2 3 = 32 3 + 2 / 3 64 + 2 64 + 2 64 + 2 64 + ⋱ = 32 3 + 2 192 + 18 192 + 18 192 + ⋱ , {\displaystyle {\sqrt{1026}}{3}}}{\patchac {\sqrt{32^{2}+2}}{3}{3}}}{3}} }}={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {2/3}{64+{\cfrac {2}{64+{\cfrac {2}{64+{\cfrac {2}{64+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {2}{192+{\cfrac {18}{192+{\cfrac {18}{192+\ddots }}}}}},} 이는 단순히 앞에서 언급한 [10;1,2,10,2,1,20,1,2]의 3기마다 평가된다. 분수 쌍을 조합하면 생산된다.
114 = 32 2 + 2 3 = 32 3 + 64 / 3 2050 − 1 − 1 2050 − 1 2050 − ⋱ = 32 3 + 64 6150 − 3 − 9 6150 − 9 6150 − ⋱ , {\displaystyle {\sqrt{su}}={\\patchac {\sqrt{32^{2}+2}}{3}{3} }}={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {64/3}{2050-1-{\cfrac {1}{2050-{\cfrac {1}{2050-\ddots }}}}}}={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {64}{6150-3-{\cfrac {9}{6150-{\cfrac {9}{6150-\ddots }}}}}},} 현재 10 ; 1 2 10 , 2 20 , 2 {\디스플레이 [10; ,{\overline{10, 20, 2,2}}}
참고 항목 메모들 ^ 페토프레초&바이르킷(1970 , 페이지 158)^ 긴 길이(1972년 , 페이지 187년)^ Khinchin, A. Ya. (1964) [Originally published in Russian, 1935]. Continued Fractions University of Chicago Press . ISBN 0-486-69630-8 이것은 현재 Dover Publishments 에서 다시 인쇄할 수 있다. ^ Davenport, H. (1982). The Higher Arithmetic . Cambridge University Press. p. 104. ISBN 0-521-28678-6 ^ Hickerson, Dean R. (1973). "Length of period of simple continued fraction expansion of √d" . Pacific J. Math . 46 : 429–432. doi :10.2140/pjm.1973.46.429 ^ Podsypanin, E.V. (1982). "Length of the period of a quadratic irrational". Journal of Soviet Mathematics . 18 (6): 919–923. doi :10.1007/BF01763963 . ^ Beceanu, Marius. "Period of the Continued Fraction of sqrt(n)" (PDF) . Theorem 2.3. Archived from the original (PDF) on 21 December 2015. Retrieved 21 December 2015 . ^ Gliga, Alexandra Ioana (March 17, 2006). On continued fractions of the square root of prime numbers (PDF) . Corollary 3.3. 참조 Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company , LCCN 77-171950 Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN 77-81766 Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992). Continued Fractions ISBN 981-02-1052-3 
![{\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{{k+1}},a_{{k+2}},\dots ,a_{{k+m}},a_{{k+1}},a_{{k+2}},\dots ,a_{{k+m}},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},\overline {a_{{k+1}},a_{{k+2}},\dots ,a_{{k+m}}}]\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b6d3cec2c6ddf1be04eb487576eb5653b21260)
![{\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\dot a}_{{k+1}},a_{{k+2}},\dots ,{\dot a}_{{k+m}}]\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056cfbee8f961adb15a057e894a6dc3e5541c407)
![{\displaystyle x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04729c5e6ae3c7807bffa2397b34a817674df23)
![{\displaystyle x=[{\overline {0;a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5832874dd1b80fcfa47a120c3591403f429ba3)
![{\displaystyle x=[{\overline {0;a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}]={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323638ff74ae0321afd11717372acce20bcaaa9d)
(는) 1보다 크고 그 결합
(가) -1보다 크고 0보다 작음 On the other hand, the square root of two 
![{\begin{aligned}\zeta &=[\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{{m-1}}}]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\overline {a_{{m-1}};a_{{m-2}},a_{{m-3}},\dots ,a_{0}}]\,\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9ec9bef8939c65e6fc78c1806d74d048820b8f)
![{\displaystyle {\sqrt {r}}=[a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e120b7ecc40dfd0d25282cf40c15e0c667e655)
![{\displaystyle {\sqrt {114}}=[10;{\overline {1,2,10,2,1,20}}].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f354c15a14c7fa87312ff0b1fc7b17b6377213)
![{\displaystyle [10;1,2,{\overline {10,2,1,20,1,2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6990b18b700a4e015e556d16fb2e3d260ece31)
