K이론

수학에서 K이론은 대략적으로 위상 공간이나 스킴에서 벡터 다발에 의해 생성된 고리를 연구하는 학문이다.대수적 위상학에서, 그것은 위상 K 이론으로 알려진 코호몰로지 이론이다.대수학과 대수기하학에서는 이를 대수 K이론이라고 한다.연산자 대수학 분야에서도 기본적인 도구입니다.그것은 ^[1]큰 행렬의 특정 종류의 불변량을 연구하는 것으로 볼 수 있다.

K 이론에는 위상 공간 또는 체계에서 관련 링으로 매핑되는 K-함수군의 구성이 포함된다. 이러한 링은 원래 공간 또는 체계 구조의 일부 측면을 반영한다.대수적 위상의 그룹에 대한 함수와 마찬가지로, 이 함수적 매핑의 이유는 원래 공간이나 스킴보다 매핑된 링에서 일부 위상 특성을 계산하는 것이 더 쉽기 때문입니다.K 이론 접근법에서 수집된 결과의 예로는 그로텐디크-리만-로흐 정리, 보트 주기성, 아티야-싱거 지수 정리, 애덤스 연산 등이 있다.

고에너지 물리학에서, K 이론과 특히 꼬인 K 이론이 타입 II 끈 이론에서 나타났는데, 여기서 그들은 D-브랜, 라몬드-라몬드 전계 강도 그리고 일반화된 복잡한 다양체에 있는 특정 스피너를 분류한다고 추측되었다.응축물질에서 K이론은 위상절연체, 초전도체 및 안정된 페르미 표면을 분류하는 데 사용되어 왔다.자세한 내용은 K 이론(물리학)을 참조하십시오.

그로텐디크 완성

아벨 모노이드의 아벨 군으로의 그로텐디크 완성은 모든 정의가 적절한 범주에서 아벨 모노이드를 구성하고 이 보편적 구조를 통해 아벨 군으로 바꾸는 것으로 시작되므로 K 이론을 정의하는 데 필요한 요소이다.아벨 모노이드$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle )}$ ) { $displaystyle$($$A , +$$)$$} { ~ { ${\displaystyle {display\mathrm{}}^{}}$ style $\sim$ } $=$ A$$${\displaystyle }$×$$ \ $displaystyle$ A$^{2$} $= A\times$ A$$} 에는 다음과 같이 정의됩니다$.{\displaystyle }$

$(\displaystyle (a_{1}, a_{2})\sim (b_{1}, b_{2})}$

${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}^{}}$+${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}_{}{}^{}}$b 2 +${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \}}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}{2\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}^{}}$} ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}{}^{}}$1 +${\displaystyle {}^{}}$}${\displaystyle c}$ .$${ $displaystyle$a$_${1} + '$b_{$2$}$ + 'c$$=$a$_ {2$}$ + '$b_{1}$ + '$c'$로 $표시$되는 경우$.$$$ 그 후${\displaystyle ,}$ $세트{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$(A ) ${\displaystyle ={}^{}{A\mathrm{}}^{}}$2 / ~$${\$displaystyle$G(A) $=$$A^{2}/\sim}$은 그룹$({\displaystyle G}$ ${\displaystyle (A)}$,${\displaystyle }$+ $)$의 구조를 가지고 있습니다.{ $display$ ($G$ ( A )$$, + } 。여기서$$ 다음과 같습니다.

$({displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1}+'b_{1},a_{2})]}$

이 그룹의 동등성 클래스는 아벨 모노이드에 있는 원소의 형식적인 차이로 간주되어야 한다.이 그룹$({\displaystyle G}$ ${\displaystyle (A)}$,${\displaystyle }$+ $)({displaystyle (G)$, +})은$$ 또한 모노이드 동형사상 $i{\displaystyle :}$ ${\displaystyle A\to }$ ${\displaystyle G}$ ($)$ {$display$ i$:$특정 유니버설 속성을 가진 ${\displaystyle [}$[ ( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$]$$、 \ $displaystyle$a \ $mapsto$[ ($a$ , 0 )$$]에 의해 주어지는A\$to$ G$(A$$)$ 。

이 그룹을 더 잘 이해하기 위해 아벨모노이드$({\displaystyle A,}$ $+)$의 등가 클래스(\displaystyle$(A,$ $+))$를 검토하십시오.여기에서는 A$(\displaystyle$ A$)$의 ID 요소를 0$(\displaystyle$ 0$)$으로 나타내므로 $](\displaystyle [0,0$])은${\displaystyle }$G${\displaystyle }+){\displaystyle }$의 ID 요소가 됩니다${\displaystyle .}$$.$ {\$displaystyle (G(A),+)}$ 먼저$$${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,0)~}$ ($)$ $임의$의 n${\displaystyle }$$†$ ${\displaystyle$ $(0,0)\$$sim$ $(n,n)}$에 대해$$ c ${\displaystyle =}$ $0$ {$displaystyle$ c$=$$0}$으로 설정하고 $등가{\displaystyle }$ 관계식을 적용하여 $nstyle$ . $n$을 $얻을{\displaystyle }$ 수 있습니다$.$$$ 이것은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}$

따라서${\displaystyle }$G ( ${\displaystyle A}$)$$\ $displaystyle$G ($A$ ) }$$에서의 각 원소에 대해 가법 역수를 가지고 있다. 이것은 동등성${\displaystyle }$클래스${\displaystyle }$[ (${\displaystyle }$a ,${\displaystyle b}$) $]$ \ $displaystyle$[ ($a$ , b )$$${\displaystyle ]}$ \$displaystyle$ [ ( a , b ) }를 $형식적{\displaystyle }$ 차이로서 생각해야 한다는 힌트를 줄 것이다. 또 다른 유용한 관찰은 불변성 클래스의 불변성이다$.$스케일링:

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$~ (${\displaystyle a}$ +${\displaystyle }$k ,${\displaystyle b}$ +${\displaystyle k}$) \ $displaystyle ( a$ , $b$) \$sim$ ( a +$k$ ,$b$ +$k$ ) 、 ${\displaystyle \mathrm{k<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; (a,b)\backslash sim\; (a+k,b+k)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/91a9565e60e7c20788f53f3aa6febb1bab7ec06a"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:21.343ex;\; height:2.843ex;">}}$ A$$. \ $displaystyle$k \ $in$ A$$

그로텐디크 완성은 $펑터{\displaystyle }$G : ${\displaystyle \mathbf{A}}$ ${\displaystyle \mathbf{b}}$ ${\displaystyle \mathbf{M}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\displaystyle n\mathbf{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathbf{A}}$ ${\displaystyle \mathbf{b}}$ ${\displaystyle \mathbf{G}}$ r${\displaystyle }$p$$, { $displaystyle$ G$:\mathbf${AbMon} \to \$mathbf$ {$AbGrp}}$로 볼 수 있으며, 해당 건망증 $펑터{\displaystyle \mathbf{A}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle B\mathbf{}}$ :$형태론{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to U}$ (${\displaystyle B}$) \ $displaystyle \phi :$$아벨계$ $모노이드{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$에서 $아벨계{\displaystyle }$ B$displaystyle$ B)의 기저$$$$아벨계 모노이드 A$(\$displaystyle A)에서 U$(B$$)$로 고유 아벨계 $모피즘{\displaystyle }$G(${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle \to }$ $.\displaystyle$ G$(A)\to$ B$.$$}$

자연수에 대한 예제

예를 들어 N$(\$의 그로텐디크 완성도를 ${\displaystyle 예}$로 들 수 $있습니다{\displaystyle }$. G${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$N${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+ )${\displaystyle =}$ (${\displaystyle Z\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) .$$\$display$ G$(\mathbb$ {$N}$ , + )$=$ (\$mathbb$ {$Z}$ , + ) $。$}${\displaystyle \mathrm{모든<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; G((\backslash mathbb\; \{N\}\; ,+))=(\backslash mathbb\; \{Z\}\; ,+).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/66e59e6715eadccf3b09dcbb92a0ff0d0719a9c4"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:19.912ex;\; height:2.843ex;">}}$ 쌍$,$ b${\displaystyle {)}^{}}$에 대해 스케일링$시$$불변성$을 사용하여 최소 대표자($a,$ b)를 ${\displaystyle {}^{}}$ 수 있습니다$.$예를 들어, 스케일링 불변성에서 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

일반적으로 k : ${\displaystyle =min}$ {${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ { $displaystyle$ k : = \$min$\ {$a$ , $b$\ } $then$ 、

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$~ (${\displaystyle a}$ -${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle b}$ -${\displaystyle k}$) \ $displaystyle$$$($a$ , $b$) \$sim$ ( a - k , b -$k$ )$$。 ( ${\displaystyle \mathrm{c}}$$$,$0 )또는$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$0 ,${\displaystyle d}$)형식입니다$.\$ $displaystyle ( 0$ ,$$$d$ )$}$

이는 (${\displaystyle a,}$ $)$ {$displaystyle (a,0)}$을$({\displaystyle }$를) 양의 정수,${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ $)$ {$displaystyle (0,b)}$을(를) 음의 정수라고 생각해야 함을 나타냅니다.

정의들

K 이론에는 많은 기본적인 정의가 있습니다. 하나는 위상학에서, 다른 하나는 대수기하학에서 나온 것입니다.

콤팩트 하우스도르프 공간용 그로텐디크 군

콤팩트한 하우스도르프 $공간{\displaystyle }$X({$displaystyle$$$X$\})$가 주어졌을 때 벡터 $($$) ({displaystyle {Vect}}(X))$로 ${\displaystyle \text{표기}}$된 유한 차원 벡터 번들의 동형 클래스 집합을 고려하여 벡터 번들의 동형 클래스${\displaystyle \pi }$ : E $displaystyle$ \$pi :$$E\to$X는$$ [$]$ {$displaystyle [E$로${\displaystyle }$표기됩니다. 벡터 번들의 동형 클래스는 직접합에 대해 잘 동작하므로, 우리는 이 연산을 다음과 같이 동형 클래스에 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \text{Vect}}$ ${\displaystyle (X}$) , $display （$ \ displaystyle { \$text$ { $Vect$} （ $X$, \ $oplus$） } is$$ is 、 is is bundle bundle bundle bundle bundle bundle $bundle{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ bundle ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 0 × ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}${ $displaystyle$\$mathbbb { R$ } ^ { $0$}\$times$X\$to$ X$\}$ ）로 주어진 아벨 모노이드를 적용할 수 있습니다.이것은$X의$$$K이론이라고 불리며 ${\displaystyle {K\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 0{}^{}}$( X $)\$ $display style$ K$^{0}$ ($X$로 $표기$됩니다.

Serre-Swan 정리 및 몇 가지 대수를 사용하여 투영 모듈로서 연속 ${\displaystyle {복소수\mathrm{}}^{}}$ $함수{\displaystyle {}^{}}$ C${\displaystyle {}^{}}$0 (${\displaystyle X}$;${\displaystyle C\mathbb{}}$) \ $displaystyle$ C$^{0}(X;\mathbb {C})$의 링에 걸친 벡터 다발의 대체 설명을 얻을 수 있습니다.${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 행렬 ${\displaystyle M_{}}$n ×${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ( ${\displaystyle X}$;${\displaystyle C\mathbb{}}$)$$\ $displaystyle$ $M$_ {$n$ \ $times$ n } ( $C$ ^ $0$（ X ; \$$${\displaystyle \mathbf{\text{mathbb}}}$ { C$）$ )$$displaydisplay$$displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay M_{ 0${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle ）}$ display displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay M_는 K ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle X}$ $)({displaystyle$ K$^{0}(X$$이라고$도 불립니다.위상공간의 그로텐디크 그룹을 계산하는 주요 기법 중 하나는 아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스에서 유래하여 접근성이 매우 높습니다.스펙트럼 시퀀스를 이해하는 데 필요한 유일한 계산은 S ${\displaystyle n^{}}$\\$displaystyle$ S$^{n$^{[2]pg 51-110} $구$에 대한 $그룹{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {K\mathrm{}}^{}}$0 \\$displaystyle$ K$^{0}$을 계산하는 것이다.

대수기하학에서의 벡터 다발의 그로텐디크 군

대수기하학에서 벡터다발을 고려하는 유사한 구조가 있다.Noetherian $스킴{\displaystyle }$X({$displaystyle$X$$})에는 X$({displaystyle$X$\})$에 대한 모든 대수 벡터 다발의 동형 클래스 $(X)$가 있으며, 이전과 같이 벡터 다발의 동형 클래스 집합$$δ$({displaystyle\oplus})$가 잘 정의되어 있다.$n$ monoid${\displaystyle }$( ${\displaystyle \text{Vect}}$ ${\displaystyle (X}$) 、${\displaystyle )}$ ) {\$（$ \$text$ { Vect }$$（$$X ） \ $oplus ）$ $\}$ 。그러면 $Grotendick{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {그룹\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle K}$0 ( X$$) \ $displaystyle K^$0$（$ X ）는 이 아벨모노이드에 대한 Grottick 구조를 적용하여 정의됩니다.

대수기하학에서의 그로텐디크 군

대수기하학에서, 매끄러운 스킴 위에 있는 대수 벡터 다발에 동일한 구조를 적용할 수 있다.그러나 Noetherian $스킴{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$에 대한 대체 구문이 있다. 코히런트 ${\displaystyle \mathrm{시브}}$(X$)$의 동형 클래스를 보면 [${\displaystyle E]}$$$${\displaystyle =}$ [${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle ]}$ +${\displaystyle }$[$DISPLAY\style]$의${\displaystyle }$관계에 의해 변형할 수 있다.정확한 짧은 시퀀스가 있는 경우 thcal$$ {$E}}']}$

$(*displaystyle 0 to {\mathcal {E}}에서 {\mathcal {E}로)$

그러면$$X\$displaystyle$X가$$매끄러운 $경우{\displaystyle }$ K $)$과 동형인 그로텐디크 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$$0(X)$이 됩니다.$그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle X}$ $){displaystyle K_{0}(X)$은 링 구조도 있기 때문에 특별합니다.이것을 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle [{\mathcal {E}}\cdot [{\mathcal {E}}=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor}_{k}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}}\right})}$

그로텐디크-리만-로흐 정리를 사용하여, 우리는 다음을 얻는다.

$\displaystyle \operatorname {ch} : K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}$

는 고리의 동형사상입니다.따라서 교차 ${\displaystyle {이론}_{}}$에는 ${\displaystyle K}$ 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$X$$)({$displaystyle K_{0$}($X$)})^[3]을 $사용$할 수 있습니다.

초기 역사

이 주제는 그의 그로텐디크-리만-로흐 정리를 공식화하기 위해 그것을 사용한 알렉산더 그로텐디크(1957)로 시작된다고 말할 수 있다.그 이름은 "계급"^[4]이라는 뜻의 독일어 클라세에서 따왔다.그로텐디크는 X의 대수적 다양성에 대해 일관성 있는 단층으로 작업해야 했다.단으로 직접 작업하는 대신, 그는 단의 등형성 클래스를 그룹의 생성자로 사용하여 단의 합과 두 단의 확장을 식별하는 관계에 따라 그룹을 정의했다.국소적으로 자유로운 시브만 사용될 경우 결과 그룹을 K(X)라고 하고, 모든 것이 간섭성 시브일 경우 G(X)라고 합니다.K(X)는 코호몰로지 거동을, G(X)는 호몰로지 거동을 각각 가지며, G(X)는 호몰로지 거동을 가진다.

X가 매끄러운 품종이라면 두 그룹은 동일합니다.매끄러운 아핀 품종인 경우 로컬 프리 시브의 모든 확장이 분할되므로 그룹에 대체 정의가 있습니다.

위상학에서, 벡터 다발에 동일한 구조를 적용함으로써, 미하엘 아티야와 프리드리히 히르제브루흐는 1959년에 위상 공간 X에 대해 K(X)를 정의했고, 보트 주기성 정리를 사용하여 그들은 그것을 특별한 코호몰로지 이론의 기초로 삼았다.이는 아티야-가수 지수 정리(cir 1962)의 두 번째 증명에 중요한 역할을 했다.또한, 이 접근방식은 C*-대수에 대한 비가환 K 이론으로 이어졌다.

이미 1955년에 Jean-Pierre Serre는 벡터 다발과 투영 모듈의 유추를 사용하여 Serre의 추측을 공식화했습니다.이것은 다항식 링에 대해 최종적으로 생성된 투영 모듈은 모두 자유롭다는 것입니다.이 주장은 맞지만 20년이 지나서야 해결되었습니다. (스완의 정리는 이 유추의 또 다른 측면입니다.)

개발

대수적 K이론의 또 다른 역사적 기원은 J. H. C.의 작품이었다. 화이트헤드와 다른 사람들은 나중에 화이트헤드 비틀림이라고 알려지게 되었다.

K이론 함수에 대한 다양한 부분적 정의가 있었던 시기가 뒤따랐다.마지막으로 1969년과 1972년에 호모토피 이론을 이용하여 다니엘 퀼런에 의해 유용하고 동등한 두 가지 정의가 제시되었다.Friedhelm Baldhausen은 또한 공간의 대수적 K이론을 연구하기 위해 변형을 제공했는데, 이는 의사 동위원소 연구와 관련이 있다.고등 K이론에 대한 많은 현대 연구는 대수기하학과 동기 코호몰로지의 연구와 관련이 있다.

보조 2차 형식을 포함하는 해당 구성들은 L-이론을 받았다.그것은 수술 이론의 주요 도구이다.

끈 이론에서, 라몬드-라몬드 전장의 강도와 안정된 D-브랜의 전하의 K-이론 분류는 ^[5]1997년에 처음 제안되었다.

예와 속성

필드의₀ K

그로텐디크 그룹의 가장 쉬운 예는 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$F(\$displaystyle \mathbb {F$에 대한 점${\displaystyle }$Spec$(\displaystyle\text{Spec}\mathbb {F})$의 그로텐디크 그룹입니다.이 공간 위의 벡터 다발은 유한 차원 벡터 공간일 뿐이므로 일관된 범주의 객체입니다.투영, 동형 클래스의 모노이드는 벡터 공간의 차원에 대응하는 N$$$${\$displaystyle \mathbb {N} }$이다.그로텐디크 그룹이 $(\$임을 보여주는 간단한 연습입니다.

장에₀ 대한 아르티니아 대수의 K

X{X\displaystyle}이 감소에도 불변이다Noetherian 계획의 그로 텐디크 군의 한가지 중요한 속성, 따라서 K(X))K(X 빨간){K(X)=K(X_{\text{ 빨간 색}})\displaystyle}사본을 .[6]따라서 어떤 Artinian F{\displaystyle \mathbb{F}}-algebra의 그로 텐디크 군 직접적인 합이다. z$\displaystyle \mathbb {Z$ 스펙트럼의 연결된 각 컴포넌트에 대해 하나씩 표시됩니다.예를들면,

투영₀ 공간의 K

그로텐디크 그룹에서 가장 일반적으로 사용되는 계산 중 하나는 필드 상의 투영 공간에 대한${\displaystyle }$K (${\displaystyle {}^{}}$n$$) \ $displaystyle$ K $(\mathbb {P}$^{$n})$의 계산이다.$이$는 투영$X의$$$교차번호가 i${\displaystyle }$: X ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ \ $displaystyle$i :$X$ \ $hookrightarrow$\ $mathbb${ $P }^$ { n$$$$}을(를) $삽입$하고 푸시 $풀{\displaystyle {}^{}}$ 공식 i${\displaystyle {}^{}{(}^{}}$( [ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}{}_{}]}$ E ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {}_{}}$ [ i${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$F $]{$ i ） { $displaystyle$ i _ { * } { i } { i } { i } { i } 를 사용하여 계산될 수 있기 때문입니다.$\}.$ 이렇게^[7]${\displaystyle \mathrm{하면}}$ K${\displaystyle }$( X ) \ $displaystyle$ K ( X$$$)$の $in{\displaystyle }$ の in in in in in ) ) in calcul in calcul ations in ations inations ationsations )ations )ations )ations ationsationsations ationsationsationsationsationsationsations

$(\displaystyle\mathbb${P$}^{n})$의 그로텐디크 그룹을 결정하는 한 가지 기술은 다음과 같은 계층화에서 비롯됩니다.아핀 공간상의 코히런트 시브의 그로텐디크 그룹은$$Z$(\displaystyle \mathbb${Z$\})$와 동형이며,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ - ${\displaystyle {{k\mathrm{}}_{}}^{}{}^{}}$의 교집합은 A${\displaystyle {}^{}}$n -$$2$(\displaystyle$ \$mathbb$ {A$}$^{$n-k_{$1},\$mathbb {A})$이다$.$k ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 2$(\style k_{$1}+$k_{2}\leq$ n$)$의 경우.

투영₀ 다발의 K

그 그로 텐디크 군 또 다른 중요한 공식은 사영 다발 공식:[8]}}는Noetherian 계획 X{X\displaystyle}, 사영 다발의 그로 텐디크 군 P(E))투사하다 ⁡(Sym ∙ ⁡(E∨)){\displaystyle \mathbb이 r벡터 다발 E{\displaystyle{{E\mathcal}을 주어집니다. {P}$({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj}(\operatorname$ {$Sym}^{\fe})({\mathcal {E}^{\vee})})$는 프리 $)$ {$displaystyle$ K$(X)}$ - ${\displaystyle {\mathrm{r}}^{}}$의 랭크이며, $기본$은 1$display$입니다$.$이 식을 사용하면 P ${\displaystyle F_{}^{}}$n \$displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F}$}^{$n$의 그로텐디크 그룹을 계산할 수 있습니다.${\displaystyle {이}_{}}$를 통해 K 0$(\$ 또는$$ Hirzebruch 표면을 $계산$할 수 있습니다.또한 필드$F{\displaystyle \mathbb{}}$(\$displaystyle \mathbb {F$ 위에 투영 번들임을 관찰함으로써 그로텐디크 $그룹{\displaystyle }$ K$)$ {\$displaystyle$ K$(\mathbb {P}^{n})}$를 계산하기 위해 사용할 수 있습니다.

단수₀ 공간 및 고립된 지수 특이점을 가진 공간의 K

작은 특이점을 가진 공간의 그로텐디크 그룹을 계산하는 최근의 기술 중 하나는 K $(X)$과 ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$ 0$($$X$$)$ 사이의 $차이$를 평가하는 것이다. K 0($X)$은 모든 벡터 묶음을 일관성 있는 시프(sheaf)로 동등하게 된다.이는 파생된 비가환 대수 기하학에서 특이점 $범주{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$g ($)$의^[9][10] 그로텐디크 그룹을 사용하여 수행된다$.$로 시작하는 길고 정확한 시퀀스를 제공합니다.

K이론에서 나온 높은 용어죠$단일{\displaystyle }$ X$({displaystyle$X})의$$ 벡터 번들은 매끄러운 $궤적{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$의 벡터 $번들E{\displaystyle }$ ${\displaystyle X_{}}$ s$m$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$({$displaystyle X_{sm}\hookrightarrow$X$)$에 의해 주어집니다.이것에 의해, 통상적으로, 투영 공간에 고립된 그로텐디크 그룹을 계산할 수 있습니다.지수 특이점특히, 이러한 특이점들이 등방성 ${\displaystyle {그룹}_{}}$Gi(\$displaystyle G_{$i$$})를 갖는다면, 지도는는 injective이며, cokernel은${\displaystyle \text{lcm}}$ ( ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}{}_{}}$1,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle G_{}{}_{}{}^{}}$k )${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ ( \ $display { text${$lcm$} , $\ldots$,$G_{k$}$){n-1}$ (${\displaystyle \mathrm{n<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \{\backslash text\{lcm\}\}(|G\_\{1\}|,\backslash ldots\; ,|G\_\{k\}|)^\{n-1\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a2e99c26a24a58bcd1c2d86cbf4c59cea11e1c29"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:22.305ex;\; height:3.176ex;">}}$ $= dim$ ${\displaystyle X}$ { $display style$ n$$^{[10]pg 3}= \ dim X ） 。

매끄러운₀ 투영 곡선의 K

부드러운 투영 $곡선{\displaystyle }$ C$(\style$ C$)$를 위해 그로텐디크 그룹은

C$\style$ $C\backslash$$display$ Picard 그룹의 경우.이는 대수적 K 이론의 브라운-거스텐-퀼렌 스펙트럼^{[11]pg 72} 시퀀스에 따른 것이다.필드에 걸친 유한 유형의 정규 스킴의 경우, 수렴 스펙트럼 시퀀스가 있다.$({$ X$^{(p)})$의 $경우{\displaystyle {}^{}}$ 코드 $확장{\displaystyle }$p({$displaystyle$ p$}$점$$ 집합, 즉 ${\displaystyle \mathrm{서브셈}}$ $집합{\displaystyle }$ x${\displaystyle :}$ ${\displaystyle Y}$ $→$ X({$displaystyle$ x$:})$입니다.$p$의$$Y\$to$$$X $및$ 서브켐의 대수 함수 필드 k$(x)$의 k(x)입니다.이 스펙트럼 시퀀스는 다음과 같은 특성을^{[11]pg 80} 가지고 있다. $X$의$$Chow ring의 경우 기본적으로 $(C)의$연산을 제공합니다. C$(\displaystyle$ C$)$에는 $코디멘션{\displaystyle \mathrm{}}$2(\$style$$$2) 포인트가$$ 없기 $때문$에 스펙트럼 시퀀스의 중요한 부분은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $Q_style$$$입니다.${1}^{0,q},E_{1}^{1,q$ 따라서그런 다음 원추 여과 기능을 사용하여 ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle C}$) {$displaystyle K_{0}(C)}$을(를) 원하는 명시적 직접 합으로 $결정$할 수 있습니다. 정확한 시퀀스를 제공하기 때문입니다.여기서 왼쪽 용어는 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$C ${\displaystyle )\cong \text{Pic}}$ (${\displaystyle C}$) \ $displaystyle \$$text$ {$CH}} {{1$}(C$)\$$cong$${Pic}(C$)}. 오른쪽 $항$은 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$H ${\displaystyle 0(}$C)${\displaystyle text\mathbb{}}$Z(\$displaystyle$ CH$^0}(C)\cong \mathbb {Z$ ${\displaystyle {\text{Ext}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}Z\mathbb{},}$ ${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle =}$ $0(\$textstyle$)$으로 동형입니다.$Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z},G)=0$ 우리는 분할 위에 아벨 군들의 서열을 가지며, 동형성을 부여한다.C$(\displaystyle$ C$)$가 C$(\displaystyle$ \$mathbb {C$에 대한$$g(\$displaystyle$ g$)$ 매끄러운 투영 곡선인 $경우{\displaystyle }$,또한, 고립된 특이점에 대해 도출된 특이점 범주를 사용하는 위의 기법은 고립된 코헨-맥컬리 특이점까지 확장될 수 있으며, 어떤 단수 대수 곡선의 그로텐디크 군을 계산하는 기법을 제공할 수 있다.이는 축소가 일반적으로 부드러운 곡선을 제공하며 모든 특이점이 Cohen-Macaulay이기 때문입니다.

적용들

가상 번들

그로텐디크 그룹의 유용한 응용 프로그램 중 하나는 가상 벡터 번들을 정의하는 것입니다.예를 들어, $매끄러운{\displaystyle }$ 공간 Y $↪$ ${\displaystyle X}$(\$displaystyle$Y\$hook$ rightarrow $X)$가 포함된 경우 짧은 정확한 시퀀스가 있습니다.

$\displaystyle 0에서 \Omega _{Y}로\Omega _{X}로\{Y/X}로\to0}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 C${\displaystyle {}_{}}$Y /$$ { $display style$ C _ {$Y$ / $X$}는$$X$${ $display style$ X$$}의$$ Y { $display$ style$$Y }의 원뿔 번들입니다.평활한 $공간{\displaystyle }$ X$${ $display style$ X$$}에$$ 단수 $공간{\displaystyle }$Y { $display style$ Y$}$가 포함되어 있는 경우 가상 원뿔 번들을 다음과 같이 정의합니다.

$\displaystyle [\Omega _{X} _{Y}]-[\Omega _{Y}}$

가상 번들의 또 다른 유용한 적용은 공간 교차점의 가상 접선 번들의 정의입니다.${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}x}$X(\$displaystyle Y_{1$},$Y_{2$}\$subset$ X$)$를 매끄러운 투영 다양성의 투영 하위 변종이라고 $합니다{\displaystyle {}_{}}$.그런 다음 $교차점$의 가상 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {번들}_{}}$을 ${\displaystyle {}_{}}$할 수 있습니다. Z ${\displaystyle =}$ Y 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle$ Z $=$$Y_{1}\cap$ Y_${2$$}}:$

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}_{Z}+[T_{Y_{2}}_{Z}-[T_{X}]_{Z}.}$

Kontsevich는 그의 ^[12]논문들 중 하나에 이 구문을 사용한다.

체른 문자

체른 클래스는 공간의 위상 K 이론에서 합리적 코호몰로지의 (완료)까지 고리의 동형성을 구성하는데 사용될 수 있다.회선 번들L 의 경우, Chern 문자 ch 는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \operatorname {ch}(L)=\exp(c_{1}(L):=\sum _{m=0}^{\infty}{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m}}{m}!}}.}$

보다 일반적으로 V ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ L ${\displaystyle n_{}}$ \ $displaystyle$V$$=$L_{1}$ \$oplus$ \ $oplus L_{$n} 이$$ 라인 번들의 직합인 $경우{\displaystyle }$, 첫 번째 Chern $클래스{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1 (${\displaystyle {}_{}{Li}_{}}$ ${\displaystyle )}$, \ $displaystyle x_${i} $= c_1}$ ($L_i$ ) } }$$), 。

${\displaystyle \operatorname {ch}(V)=e^{x_{1}+\dots +e^{x_{n}):=\sum _{m=0}^{\infty}{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\x_{n}^{m}).}$

체른 문자는 텐서 곱의 체른 클래스를 쉽게 계산할 수 있기 때문에 부분적으로 유용합니다.체른 문자는 히르제브루흐-리만-로흐 정리에 사용된다.

등변수 K이론

$등가대수$ K이론은 $G$의 작용이 있는 $대수적{\displaystyle }$ 체계$$X의$$ 등가대수적 간섭성 단층 ${\displaystyle {Coh}^{}}$ G${\displaystyle }$δ ($X$) \$operatorname {Coh}$$$^{$G}(X$$)$ ${\displaystyle {\mathrm{범주}}^{}}$와 연관된 대수적 K이론이다.완료,

$({displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh}^{G}(X)).}$

${\displaystyle {특히\mathrm{}}_{}^{}}$ K ${\displaystyle {}_{}^{}G}$ ( C )$$（ { $displaystyle$$$K _ { $0$$$}^{ $G$$$}($C)$$$$}$는 $G$ ( $X$)의 그로텐디크 군이다.이 이론은 1980년대에 ^[13]R. W. Thomason에 의해 개발되었다.구체적으로, 그는 국부화 정리 같은 기본 이론의 등변수 유사체들을 증명했다.

「 」를 참조해 주세요.

• 병 주기성
• KK이론
• KR이론
• 코호몰로지 이론 목록
• 대수적 K이론
• 위상 K 이론
• 연산자 K 이론
• 그로텐디크-리만-로흐 정리

메모들

레퍼런스

• Atiyah, Michael Francis (1989). K-theory. Advanced Book Classics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-09394-0. MR 1043170.
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Handbook of K-Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. MR 2182598.
• Park, Efton (2008). Complex Topological K-Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 111. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85634-8.
• Swan, R. G. (1968). Algebraic K-Theory. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 76. Springer. ISBN 3-540-04245-8.
• Karoubi, Max (1978). K-theory: an introduction. Classics in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). "K-theory. An elementary introduction". arXiv:math/0602082.
• Hatcher, Allen (2003). "Vector Bundles & K-Theory".
• Weibel, Charles (2013). The K-book: an introduction to algebraic K-theory. Grad. Studies in Math. Vol. 145. American Math Society. ISBN 978-0-8218-9132-2.

외부 링크

• 그로텐디크 리만 로흐
• Max Karoubi의 페이지
• K이론 프리프린트 아카이브