세레-스완 정리

위상과 K-이론의 수학 분야에서는 스완의 정리라고도 불리는 세레-스완 정리는 벡터 번들의 기하학적 개념을 투영 모듈의 대수학적 개념과 연관시켜 수학 전반에 걸쳐 공통된 직관을 갖게 한다: "콤팩트한 공간의 벡터 번들과 같다."

이론의 두 가지 정확한 공식은 다소 다르다.1955년 장-피에르 세레(Jean-Pierre Serre)에 의해 언급된 원래의 정리는 본질적으로 더 대수학적이며, (어떤 특징이든) 대수적으로 닫힌 분야에 대한 대수적 다양성에 대한 벡터 번들에 관한 것이다.1962년 리처드 스완이 언급한 보완적 변종은 부드러운 다지관이나 하우스도르프 공간에 보다 분석적이며 우려(실제, 복합 또는 쿼터니온) 벡터 번들이다.

미분 기하학

M이 부드러운 다지관(꼭 컴팩트하지는 않음)이고 E가 M 위에 있는 부드러운 벡터 번들이라고 가정하자.그렇다면 E의 매끄러운 부분의 공간인 γ(E)은 C^∞(M)에 대한 모듈이다(M에 대한 매끄러운 실제값 함수의 정류 대수). 스완의 정리에서는 이 모듈이 미세하게 생성되어 C^∞(M)에 대해 투영된다고 한다.즉, 모든 벡터 번들은 $어떤{\displaystyle }$ 사소한 번들의 직접적인 합계인 M ×${\displaystyle {}^{}}$ k ${\$ 일부 k에 대한$$ 것이다.사소한 묶음 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle E}$. ${\displaystyle M\times \mathb {R} ^{k}\to$ E$.}$에서 묶음 에피모르피즘을 구성하여 정리를 증명할 수 있다. 예를 들어, 각 포인트 p, {s_i(p)}에 걸쳐 있는 속성과 함께₁...s_k 단면을 표시하면 된다.

M이 연결되었을 때, 역도 역시 참이다: 모든 미세하게 생성된^∞ C(M)를 상회하는 투영 모듈은 M의 어떤 부드러운 벡터 번들에서 이러한 방식으로 발생한다.그러한 모듈은 일부 n에 대한 n × n idempotent 행렬의 값을 갖는 M의 부드러운 함수 f로 볼 수 있다.x 위에 해당하는 벡터 번들의 섬유는 f(x)의 범위가 된다.M이 연결되지 않은 경우, 일정하지 않은 등급의 벡터 번들(즉, 일정하지 않은 차원의 다지관을 인정하는 것을 의미함)을 허용하지 않는 한, 역은 유지되지 않는다.For example, if M is a zero-dimensional 2-point manifold, the module ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus 0}$ is finitely-generated and projective over ${\displaystyle C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ but is not free, and so cannot correspond to the sections of any (constant-rank) veM 위로 ctor bundle(모두 사소한 것)

위에 언급한 또 다른 방법은 연결된 매끄러운 다지관 M의 경우, M을 통한 매끄러운 벡터 번들의 범주에서 정밀하게 생성된 투사형^∞ C(M)-모듈의 범주에 이르는 섹션 펑터 Ⅱ가 가득 차 있고 충실하며 본질적으로 굴절적이라는 것이다.따라서 M에 있는 부드러운 벡터 번들의 범주는 미세하게 생성된^∞ 투영 C(M)-모듈의 범주와 동일하다.자세한 내용은 (Nestruev 2003)에서 확인할 수 있다.

위상

X가 콤팩트한 하우스도르프 공간이고, C(X)는 X에 대한 연속적인 실질 가치 함수의 링이라고 가정하자.위의 결과와 유사하게, X에 있는 실제 벡터 번들의 범주는 C(X)를 통해 정밀하게 생성된 투영 모듈의 범주와 동일하다.'실제 값'을 '복제 값'으로, '실제 벡터 번들'을 '복제 벡터 번들'로 대체하면 같은 결과가 나오지만, 합리적인 숫자처럼 완전히 분리된 필드로 필드를 대체하면 유지되지 않는다.

세부적으로 Vec(X)를 X에 대한 복합 벡터 번들의 범주로 하고 ProjMod(C(X)를 C*-알제브라 C(X)에 대해 정밀하게 생성된 투사 모듈의 범주로 한다.각 복잡한 벡터 번들 E를 X에 걸쳐 섹션의 C(X)-모듈 γ(X, E)에 보내는 Functor Ⅱ가 있다.If ${\displaystyle \tau :(E_{1},\pi _{1})\to (E_{2},\pi _{2})}$ is a morphism of vector bundles over X then ${\displaystyle \pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}}$ and it follows that

${\displaystyle \forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi_{2}\circau \circ s={1}\text{id}}}}}$

지도 주기

${\displaystyle {\begin}\Gamma \tau :\Gamma(X,E_{1})\\s\mapsto \circu s\end{case}}}}$

그것은 모듈 구조를 존중한다. 스완의 정리는 functor Ⅱ가 범주의 동등하다고 주장한다.

대수 기하학

세레(1955, §50)로 인한 대수 기하학의 유사한 결과는 아핀 품종 범주의 벡터 번들에 적용된다.X는 구조용 피복 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}_$${X}},$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle {\mathcal {O}_{X}}$이$($가) ${\displaystyle X_{}}$에 있는$$ 일관성 있는 피복종이 되도록 한다.Then ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is the sheaf of germs of a finite-dimensional vector bundle if and only if ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},X),}$ the space of sections of ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ is a projective module over the commutative ring ${\displaystyle A=\mathrm{\Gamma }({\mathcal{O}}_X,X).}$${\displaystyle A=\Gamma({\mathcal {O}_{X}X}X).$$}$

참조

• Karoubi, Max (1978), K-theory: An introduction, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
• Manoharan, Palanivel (1995), "Generalized Swan's Theorem and its Application", Proceedings of the American Mathematical Society, 123 (10): 3219–3223, doi:10.2307/2160685, JSTOR 2160685, MR 1264823.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, MR 0068874.
• Swan, Richard G. (1962), "Vector Bundles and Projective Modules", Transactions of the American Mathematical Society, 105 (2): 264–277, doi:10.2307/1993627, JSTOR 1993627.
• Nestruev, Jet (2003), Smooth manifolds and observables, Graduate texts in mathematics, vol. 220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, Gennadi (2005), Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics, World Scientific, ISBN 981-256-129-3.

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