품행이 올바른 통계량

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과학 문헌에서는 흔히 품행 통계라는 용어가 수학에서 품행(즉, '비병리학'^[1][2]을 의미함)과 다소 같은 방식으로 사용되는 것 같지만, 정밀한 수학적 의미도 부여할 수 있고, 한 가지 이상의 방법으로도 부여할 수 있다.전자의 경우, 이 용어의 의미는 문맥마다 다를 것이다.후자의 경우, 수학적 조건을 사용하여 각 의미에서의 행동이 올바른 통계와 분포의 조합의 계급을 도출할 수 있다.

첫 번째 정의:품행이 올바른 통계 추정기의 분산은 유한하며 평균의 한 가지 조건은 추정되는 모수가 다르다는 것이다.^[3]

두 번째 정의:그 통계는 단조롭고, 잘 정의되어 있으며, 국소적으로 충분하다.^[4]

올바른 동작 통계 조건:첫 번째 정의

좀 더 형식적으로 조건을 이런 식으로 표현할 수 있다.$$$T$ ${\textstyle T}$은(는) $샘플$의 함수인$text$ {\textstyle ${}_{}$$teta$}에 대한 통계로$,$ $X1{}_{}$,${}_{}$ ${\$$$T {\$textstyle$T}이(가) 제대로 실행되려면$$ 다음이 필요하다.

$textstyle {Var}_{\theta }\left[]$T$\left({X}_{1},...,$ {$X}_{n}\right)\right]<\\\inful quad \forall quad$ \$theta$ \$in$ : 조건 1

${}_{}$$E$ ${}_{}$($T$)$$$\forall \mathrm{}$ ∀ $\theta$ $\mathrm{\theta }$ ∈ $\in$ ∈ ∈ ∈ ∈ { { { { $\text \$quad $\for \quad$\for \$quad$ \for \theta $\in$ 에서 서로 다른$$ E θ ($T )$different different { { { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ the \ \ \ \ \\\\\\\\\

${\textstyle {\frac {d}{d\theta }}\int {T\left({X}_{1},...,{X}_{n}\right)}\$$prod _{i=1}^{n}{f\leftx}_{i} \theta \right)d{x}_{1}...$$d{x}_{n}=\int {T\left({X}_{1},...,{X}_{n}\right)\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\prod _{i=1}^{n}{f\left({x}_{i} \theta \right)}\right]}d{x}_{1}...$$d{x}_{n}}$: 조건 2

올바른 동작 통계 조건:두 번째 정의

$x{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$과(와) 호환되는 파라미터 T의 분포 법칙을 도출하기 위해서는 통계가 일부 기술적 특성을 준수해야 한다$.$즉, 통계 s는 다음의 세 가지 문구를 만족하면 품행이 단정하다고 한다.

1. 단조로움고정된 시드${\displaystyle }${ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$\{$z_{1},\ldots, z_{m}\}\}$에 대해 s와 ? 사이에 균일하게 단조로운 관계가 존재하므로 (1)의 고유한 솔루션을 가질 수 있다.
2. 정연한On each observed s the statistic is well defined for every value of ?, i.e. any sample specification ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}\in {\mathfrak {X}}^{m}}$ such that ${\displaystyle \rho (x_{1},\ldots ,x_{m})=s}$ has a probability density different from0 – so as to avoid considering a non-surjective mapping from ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{m}}$ to ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, i.e. associating via ${\displaystyle s}$ to a sample ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ a ? that could not generate the sample itself;
3. 지방 자급자족${\displaystyle }${${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{˘}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{˘}}_{}}$ $}$ {\$displaystyle$\{{\$breve {\theta }}},\ldots,{\breve {\ta$}}}}}}{\breve는 관측된 s에 대한 참 T 표본을$$ 구성하므로 동일한 확률 분포를 각 표본 추출 값에 귀속할 수 있다.Now, ${\displaystyle {\breve {\theta }}_{j}=h^{-1}(s,{\breve {z}}_{1}^{j},\ldots ,{\breve {z}}_{m}^{j})}$ is a solution of (1) with the seed ${\displaystyle \{{\breve {z}}_{1}^{j},\ldots ,{\breve {z}}_{m}^{$$j$씨앗은 균등하게 분포되어 있기 때문에 유일한 주의사항은 씨앗의 독립성 또는 반대로 씨앗 자체에 대한 의존성으로부터 나온다.이 점검은 s가 관여하는 씨앗으로 제한될 수 있다. 즉$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}}$ 1 ,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$, Z ${\displaystyle m{}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{Z_{1}, ldots ,Z_{m}$ S$=s\}}$의 분배가 ?와 독립적일$$ 것을 요구함으로써 이러한 단점을 피할 수 있다.이 속성을 쉽게 확인할 수 있는 방법은 시드 사양을 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 사양에 매핑하는 것이다.물론 매핑은 ?에 따라 다르지만$,{\displaystyle }$ 위의 시드 독립성이 유지된다면, { X ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$X ${\displaystyle m{}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$= ${\displaystyle s\}}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots, X_{m} S=$s$\}}$의 분포는 ?에 따라 달라지지 않을 것이다$$.

본 논문의 나머지 부분은 주로 통계적 추론, 특히 알고리즘 추론이라고 불려온 계산적으로 집약적인 절차 그룹에 적용되는 데이터 마이닝 절차의 맥락과 관련이 있다.

알고리즘 추론

알고리즘 추론에서, 가장 관련성이 높은 통계의 속성은 이 통계 추론 단계의 결론이 양립할 수 있는 방식으로 모집단 분포를 나타내는 매개변수의 분포로 확률 고려를 전환할 수 있는 선회 단계다.샘플이 실제로 관찰된 경우.

기본적으로 대문자(U, X 등)는 변수의 규격이 적용되는 도메인을 고딕 문자($예{\displaystyle \mathfrak{}}$: U${\displaystyle }$, ${\displaystyle X\mathfrak{}}$ ${\$ {$X$로 나타내며, 변수의 규격이 적용되는 도메인을 의미한다.Facing a sample ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$, given a sampling mechanism ${\displaystyle (g_{\theta },Z)}$, with ${\displaystyle \theta }$ scalar, for the random variable X, we have

${\displaystyle {\systemsymbol{x}}=\{g_{\theta }(z_{1}),\ldots,g_{\theta }}(z_{m})\}.}$

The sampling mechanism ${\displaystyle (g_{\theta },{\boldsymbol {z}})}$, of the statistic s, as a function ? of ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ with specifications in ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ , has an explaining function defined by the master equation:

${\displaystyle s=\rho (x_{1},\ldots ,x_{m})=\rho (g_{\theta }(z_{1}),\ldots ,g_{\theta }(z_{m}))=h(\theta ,z_{1},\ldots ,z_{m}),\qquad \qquad \qquad (1)}$

적합한 $seeds{\displaystyle \mathit{}}$ z${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}{z}_{}}$ m$$} {\$displaystyle {\\jsymbol}=\{$z_${1},\ldots,$z_${m}\}}}$ 및 매개 변수$$ ?

예

예를 들어, 매개변수 p가 있는 베르누이 분포와 매개변수가 있는 지수 분포 모두 통계${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ x ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle \sum$ _${i=$1}^{$m}x_{i}}}}}$은(는) 얌전하다$$.The satisfaction of the above three properties is straightforward when looking at both explaining functions: ${\displaystyle g_{p}(u)=1}$ if ${\displaystyle u\leq p}$, 0 otherwise in the case of the Bernoulli random variable, and ${\displaystyle g_{\lambda }(u)=-\log u/\lamb$$da }$ 지수 랜덤 변수의 경우$$, 통계량 생성

${\displaystyle s_{p}=\sum _{i=1}^{m}I_{[0,p]}(u_{i}})}$

그리고

${\displaystyle s_{\proda }=-{\frac {1}{\proda }}}\sum _{i=1}^{m}\log u_{i}.}$

반대로$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,A]}$에 대한 연속적인 균등분포를 따르는 X의 경우 동일한$$ 통계가 두 번째 요건을 충족하지 못한다.예를 들어$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{관찰}}$된 샘플 {${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle c\mathrm{}}$/ 2,${\displaystyle c}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$} ${\displaystyle \{c,c/2,c/3\}}}$은(는) s ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 11}$/ ${\displaystyle 6}$ c ${\displaystyle s'_{A}=11/6c$을(는) 제공하지만, 이 X의 설명 기능은 ${\displaystyle g_{}}$($u$) = ${\displaystyle u}$ = $u_{\displaysty)$이다$.$따라서 마스터 방정식 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ m ${\displaystyle {}_{}}$ i a ${\displaystyle s_{$$A}=\sum _{i=1}^{m}u_{i}a}$는 U 샘플${\displaystyle }${${\displaystyle 0.}$8${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle .8,}$ 0${\displaystyle .8}$ ${\displaystyle \{0.8,0$.8$,0.8\}}}}$과(와) 솔루션 $a{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{˘}}$= 0${\displaystyle .76}$ ${\displaystyle c}$ ${\breve {}=0.76c}$과(와) 함께 생성된다$.$이는 첫 번째 관측치가 X 범위의 오른쪽 극단값보다 큰 결과를 얻어야 하기 때문에 관측된 표본과 상충된다.통계 $s{\displaystyle {}_{}{A}_{}}$ = ${\displaystyle 최대}${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{$$A}=\max\{x_{1},\ldots,x_{m}\}}}$이(가) 이 경우 얌전하다$$.

유사하게, 모수 K와 A를 갖는 파레토 분포 이후의 랜덤 변수 X의 경우(이 경우 자세한 내용은 파레토 예제 참조)

${\displaystyle s_{1}=\sum _{i=1}^{m}\log x_{i}}$

그리고

${\displaystyle s_{2}=\min _{i=1,\ldots,m}\{x_{i}\}}}}$

이 매개변수에 대한 공동 통계로 사용될 수 있다.

약한 조건 하에서 유지되는 일반적인 진술로서, 관련 매개변수에 대한 충분한 통계는 잘 갖춰져 있다.아래 표는 가장 일반적으로 사용되는 확률 분포의 일부 모수에 대한 충분한 / 적절한 통계량을 제공한다.

공통분포법은 관련 충분하고 품행이 올바른 통계와 함께 적용된다.

분배	밀도함수의 정의	충분한/잘못된 통계량
균일 이산형	${\displaystyle f(x;n)=1/nI_{{1,2,\ldots ,n\}}(x)}$	${\displaystyle s_{n}=\max_{i}x_{i}}}$
베르누이	${\displaystyle f(x;p)=p^{x}(1-p)^{1-x}I_{\{0,1\}}*(x)}$	${\displaystyle s_{P}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}}$
이항체	${\displaystyle f(x;n,p)={\binom {n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}I_{0,1,\ldots ,n}(x)}$	${\displaystyle s_{P}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}}$
기하학	${\displaystyle f(x;p)=p(1-p)^{x}I_{{0,1,\ldots \}}$	${\displaystyle s_{P}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}}$
포아송	${\displaystyle f(x;\mu )=\mathrm {e}^{-\mu x}\mu ^{x}/x!I_{{0,1,\ldots \}}$	${\displaystyle s_{M}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}}$
균일연속	$(\displaystyle f(x;a,b)=1/(b-a)I_{[a,b]}(x)}$	${\displaystyle s_{A}=\min _{i}x_{i};s_{{}B}=\max _{i}x_{i}}}}$
음수 지수	${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda \mathrm {e}^{-\lambda x}I_{[0,\infit ]}(x)}$	${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}}}$
파레토	${\displaystyle f(x;a,k)={\frac {a}{k}}\frac\frac{x}{k}\오른쪽)^{-a-1}I_{[k,\infit ]}(x)}$	${\displaystyle s_{A}=\sum _{i=1}^{m}\log x_{i};s_{K}=\min _{i}x_{i}}}}}$
가우스어	${\displaystyle f(x,\mu ,\ma )=1/({\sqrt {2\pi }}\mathrm {e}^{-(x-\mu ^{2})/(2\ma ^{2}}}}}}}}}}$	${\displaystyle s_{M}=\sum _{i=1}^{m}x_{i};s_{\시그마 }={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}(x_{i}-{\bar{x}}}^{2}}:$
감마	${\displaystyle f(x;r,\lambda )=\lambda /\Gamma(r)(\lambda x)^{r-1}\mathrm {e}^{-\lambda x}I_{[0,\infit ](x)}}$	${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{i}^{m}x_{i};s_{K}=\prod _{i=1}^{m}x_{i}}}}}}}}}$

참조

• Bahadur, R. R.; Lehmann, E. L. (1955). "Two comments on Sufficiency and Statistical Decision Functions". Annals of Mathematical Statistics. 26: 139–142. doi:10.1214/aoms/1177728604.