선형 필터

선형 필터는 시간 가변 입력 신호를 처리하여 출력 신호를 생성하며 선형성의 제약을 받습니다.대부분의 경우 이러한 선형 필터는 또한 시간 불변(또는 시프트 불변)이며, 이 경우 주파수 영역의 전달 함수 및 시간 영역의 임펄스 응답을 나타내는 LTI("선형 시간 불변") 시스템 이론을 사용하여 정확하게 분석할 수 있습니다.시간 영역에서 이러한 선형 신호 처리 필터의 실시간 구현은 불가피하게 인과관계이며, 전송 함수에 대한 추가적인 제약이다.선형 요소(저항, 콘덴서, 인덕터 및 선형 증폭기)로만 구성된 아날로그 전자 회로는 선형 요소만을 포함하는 동등한 기계 시스템 또는 디지털 신호 처리 시스템과 마찬가지로 반드시 이 범주에 속합니다.선형 시간 불변 필터는 주파수가 다른 사인파에 대한 응답(주파수 응답)으로 완전히 특징지을 수 있기 때문에 주파수 필터라고도 합니다.

선형 시간 불변 필터의 비실시간 구현이 원인일 필요는 없습니다.이미지 처리와 같이 두 개 이상의 치수의 필터도 사용됩니다.선형 필터링의 일반적인 개념은 통계, 데이터 분석 및 기계 엔지니어링과 같은 다른 분야와 기술로도 확장됩니다.

임펄스 응답 및 전달 기능

선형시간불변(LTI) 필터는 그 임펄스 응답h에 의해 일의로 특정할 수 있으며, 임의의 필터의 출력은 그 임펄스 응답에 의한 입력의 회전수로 수학적으로 표현된다.필터의 전송 $H(\omega )$ H $H(\omega )$ $H(\omega )$ ) { $displaystyle$ H $(\omega$ 에 의해 제공되는 주파수 응답은 필터의 대체 특성입니다.일반적인 필터 설계 목표는 특정 주파수 응답, 즉 전달 $|H(\omega )|$ H $|H(\omega )|$ $|H(\omega )|$ $|H(\omega )|$ 의 크기(\ $display style$ H $(\omega$ 를 실현하는 것입니다. 즉, 파형의 모양이 크거나 작거나 왜곡될 수 있으므로 전달 함수의 위상의 중요성은 애플리케이션에 따라 달라집니다.주파수 영역에서 원하는(표준) 응답을 달성하는 프로세스에서 t.주파수 응답은 예를 들어 입력 신호에서 불필요한 주파수 성분을 제거하거나 특정 주파수 대역 내의 신호로 증폭기를 제한하도록 조정할 수 있습니다.

선형 시간 불변 원인 필터의 임펄스 응답h는 시간 0에서 단일 임펄스로 구성된 입력을 수신했을 때 필터가 생성하는 출력을 지정합니다.연속 시간 필터의 "임펄스"는 Dirac 델타 함수를 의미합니다. 이산 시간 필터에서는 크로네커 델타 함수가 적용됩니다.임펄스 응답은 그러한 필터의 응답을 완전히 특징짓습니다.이는 가능한 모든 입력 신호가 가중치 델타 함수의 (아마도 무한대) 조합으로 표현될 수 있기 때문입니다.이러한 각 델타 함수의 도래에 따라 시간에 따라 시프트된 임펄스 응답에 각 델타 함수의 진폭을 곱하고 이러한 응답을 합하면(중복 원리에 따라, 모든 선형 시스템에 적용 가능) 출력 파형을 산출합니다.

수학적으로 이것은 시간 가변 입력 신호 x(t)와 필터의 임펄스 응답 h의 합성곱으로 설명되며 다음과 같이 정의됩니다.

y(t)=\int _{0}^{T}x(t-\tau),h(\display),d\display

y_{k}=\sum _{i=0}^{N}x_{k-i},h_{i}

첫 번째 형태는 연속 시간 형식으로, 예를 들어 기계 및 아날로그 전자 시스템을 기술합니다.두 번째 방정식은 예를 들어 소프트웨어에서 구현된 디지털 필터, 이른바 디지털 신호 처리에서 사용되는 이산 시간 버전입니다.임펄스 응답h 는, 임의의 선형 시간 불변(또는 이산 시간 케이스에서는 시프트 불변) 필터를 완전하게 특징짓습니다.입력 x는 시간 T(또는 N 샘플링 주기) 지속시간을 갖는 임펄스 응답 h와 "컨볼루션"된다고 한다.

필터 설계는 시스템 기술 또는 원하는 복잡성에 의해 지시된 특정 실제 제약 내에서 구현될 수 있는 가능한 전달 함수를 찾아내고, 그 전달 함수를 선택한 기술을 사용하여 실현하는 실제 설계를 통해 구성됩니다.필터의 복잡도는 필터의 순서에 따라 지정할 수 있습니다.

여기서 검토하는 시간 영역 필터 중 원하는 주파수 응답에 근접할 수 있는 필터 전송 함수에는 두 가지 일반적인 클래스가 있습니다.기계 및 아날로그 전자 시스템의 특징인 무한 임펄스 응답(IIR) 필터 및 유한 임펄스 응답(FIR) 필터라고 불리는 필터의 설계에는 매우 다른 수학적 처리가 적용되며, 이러한 필터는 컴퓨터와 같은 이산 시간 시스템(당시 디지털 신호 처리)에 의해 구현될 수 있습니다.

무한 임펄스 응답 필터

스프링 및 질량 시스템 또는 콘덴서 및/또는 인덕터를 포함하는 아날로그 전자 회로(저항 및 증폭기 등의 다른 선형 구성 요소와 함께)와 같은 선형 필터로 작동하는 물리적 시스템을 고려하십시오.이러한 시스템이 임펄스(또는 한정된 지속시간의 신호)의 영향을 받는 경우, 이 시스템은 입력의 지속시간을 지나도록 지속되는 출력 파형으로 응답하며, 결국 하나 또는 다른 방식으로 기하급수적으로 감소하지만 완전히 0으로 정착하지는 않습니다(수학적으로).이러한 시스템은 무한 임펄스 응답(IIR)을 가지고 있다고 알려져 있습니다.위의 제곱 적분(또는 합산)은 모든 시간에 걸쳐 확장됩니다.T(또는 N)를 무한대로 설정해야 합니다.

예를 들어 진자와 같은 감쇠 고조파 발진기나 공명 L-C 탱크 회로를 고려합니다.진자가 정지해 있고 해머('펄스')로 진자를 쳐서 움직이면 진자는 10cm의 진폭으로 앞뒤로 흔들립니다.예를 들어, 10분이 지난 후에도 진자는 여전히 흔들리지만 진폭이 원래 진폭의 절반인 5cm로 감소했을 것이다.10분 후 진폭이 2.5cm, 1.25cm 등입니다.그러나 그것은 결코 완전히 멈추지는 않을 것이고, 따라서 우리는 그 충동에 대한 반응을 지속시간의 "무한"이라고 부릅니다.

이러한 시스템의 복잡도는 그 차수에 따라 지정됩니다.N은 아날로그 회로에서의 반응성 컴포넌트의 수를 지정하기 때문에 전송 함수 설계에 제약이 되는 경우가 많습니다.디지털 IIR 필터에서는 필요한 계산의 수는 N에 비례합니다.

유한 임펄스 응답 필터

컴퓨터 프로그램(또는 디지털 신호 프로세서)에서 구현되는 필터는 이산 시간 시스템이다. 다른 수학적 개념 집합은 이러한 시스템의 동작을 정의한다.디지털 필터는, 실장 알고리즘에 피드백이 포함되어 있는 경우는 IIR 필터가 될 수 있습니다만, N 의 시간 스텝 후에 임펄스가 정말로 제로인 필터를 간단하게 실장할 수도 있습니다.이것은 유한 임펄스 응답(FIR) 필터라고 불립니다.

예를 들어, 시계열에서 임펄스를 제시하면 다음과 같은 필터가 있다고 가정합니다.

0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ...

는 시간 0에서 시간 4까지 그 임펄스에 응답하는 시리즈를 출력하며 다음과 같은 응답을 하지 않습니다.

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.....

임펄스 응답은 입력 후 4번의 스텝이 지속되지만, 시각 5부터 0이 됩니다.임펄스 응답의 범위는 유한하며, 이는 4차 FIR 필터로 분류됩니다.위의 회전 적분(또는 합산)은 임펄스 응답 T의 전체 지속 시간 또는 이산 시간 필터의 순서 N까지만 확장하면 됩니다.

구현 문제

고전적인 아날로그 필터는 IIR 필터이며, 고전적인 필터 이론은 적은 수의 반응성 ^[1]성분을 사용하여 합성할 수 있는 저차 유리 함수에 의해 주어진 전달 함수의 결정을 중심으로 한다.한편, 디지털 컴퓨터를 사용하면, FIR 필터와 IIR 필터는 모두 소프트웨어에 간단하게 실장할 수 있습니다.

일반적으로 디지털 IIR 필터는 FIR 필터보다 적은 처리 능력을 사용하여 원하는 필터 응답에 근접할 수 있지만 디지털 프로세서의 처리 능력이 증가하고 있기 때문에 이 장점은 불필요합니다.FIR 필터의 설계와 특성이 용이하기 때문에 충분한 컴퓨팅 파워가 확보되면 필터 설계자(프로그래머)보다 유리합니다.FIR 필터의 또 다른 장점은 임펄스 응답을 대칭으로 만들 수 있다는 것입니다.이는 모든 주파수에서 위상이 0인 주파수 영역 내의 응답을 의미합니다(유한 지연을 고려하지 않음).이것은 IIR ^[2]필터에서는 절대 불가능합니다.

주파수 응답

필터의 주파수 응답 또는 전달 $|H(\omega )|$ H $|H(\omega )|$ $|H(\omega )|$ )(\ $displaystyle$ H $(\obega)$ }는 $|H(\omega )|$ 임펄스 응답이 알려진 경우 또는 라플라스 변환을 사용한 분석을 통해 직접 얻거나 이산 시간 시스템에서 Z 변환을 통해 얻을 수 있습니다.주파수 응답에는 위상도 주파수의 함수로 포함되지만, 대부분의 경우 위상 응답은 거의 또는 전혀 관심이 없습니다.FIR 필터는 제로 페이즈로 할 수 있지만 IIR 필터에서는 일반적으로 불가능합니다.대부분의 IIR 전송 기능에는 주파수 응답은 같지만 위상은 다른 관련 전송 기능이 있습니다. 대부분의 경우, 이른바 최소 위상 전달 기능이 선호됩니다.

시간 영역의 필터는 지정된 주파수 응답을 따르도록 가장 자주 요구됩니다.그런 다음 수학 절차는 (일부 제약 조건 내에서) 실현할 수 있는 필터 전송 함수를 찾아 원하는 응답을 어떤 기준 내에서 근사합니다.일반적인 필터 응답 사양은 다음과 같습니다.

저역 통과 필터는 저주파를 통과시키면서 고주파를 차단합니다.
하이패스 필터는 고주파를 통과합니다.
대역 통과 필터는 주파수의 대역(범위)을 통과합니다.
대역정지 필터는 지정된 대역의 외부로 높은 주파수와 낮은 주파수를 통과시킵니다.
노치 필터는 특정 주파수에서 null 응답을 가집니다.이 함수는 위의 응답 중 하나와 조합할 수 있습니다.
All-Pass 필터는 모든 주파수를 균등하게 통과시키지만 이들 사이의 위상 관계를 변경합니다.
이퀄라이제이션필터는 모든 주파수를 완전히 통과시키거나 차단하도록 설계되지 않고 주파수의 함수로서 진폭 응답을 서서히 변화시키도록 설계되어 있습니다.프리엠퍼시스 필터, 이퀄라이저 또는 톤 제어로 사용되는 필터가 좋은 예입니다.

FIR 전송 함수

FIR 필터로 주파수 응답 요건을 충족하려면 비교적 간단한 절차를 사용합니다.가장 기본적인 형태에서는 원하는 주파수 응답 자체를 $\Delta f$ f $\displaystyle \Delta$ f의 $\Delta f$ 분해능과 시간 영역으로 변환된 푸리에로 샘플링할 수 있습니다.이를 통해 필터 계수_i h를 얻을 수 있습니다.이것에 의해, 사용되는 샘플링 주파수의 주파수 응답에 일치하는 제로 위상 FIR 필터가 실장됩니다.원하는 응답과 더 잘 일치시키려면 $\Delta f$ f $\displaystyle \Delta$ f를 $\Delta f$ 줄여야 합니다.그러나 필터의 임펄스 응답의 지속시간과 (위의 이산 시간 분해능에 따라) 각 출력 값에 대해 합해야 하는 항의 수는 N $N=1/(\Delta f\,T)$ / $N=1/(\Delta f\,T)$ ( $N=1/(\Delta f\,T)$ f $N=1/(\Delta f\,T)$ ) $N=1/(\Delta f\,T)$ ({ $displaystyle$ N = $N=1/(\Delta f\,T)$ 1 / (\ $Delta f,T)}$ 로 $N=1/(\Delta f\,T)$ 나타내며, 여기서 T는 이산 시간계(N-1)의 샘플링 주기이며 FI 순서라고도 한다.따라서 디지털 필터의 복잡성과 관련된 컴퓨팅 시간은 $\Delta f$ f $\style$ f에 따라 반대로 증가하므로 원하는 동작에 가까운 필터 함수에 더 많은 비용이 소요됩니다.같은 이유로 중요한 응답이 낮은 주파수(샘플링 주파수 1/T에 비해)인 필터 함수에는 높은 차수의 계산 부하가 높은 FIR 필터가 필요합니다.따라서 이러한 경우 IIR 필터는 훨씬 더 효율적입니다.

다른 곳에서 독자는 실용적인 FIR 필터 설계를 위한 설계 방법에 대해 더 자세히 논의할 수 있습니다.

IIR 전송 함수

기존의 아날로그 필터는 IIR 필터이기 때문에, 연속 시간 시스템에서 상기의 다양한 바람직한 필터 응답을 구현하는 가능한 전송 기능의 범위를 오랫동안 연구해 왔습니다.변환을 사용하면 이러한 연속 시간 주파수 응답을 디지털 IIR 필터에 사용하기 위해 이산 시간 내에 구현되는 응답으로 변환할 수 있습니다.이러한 필터의 복잡도는 주파수 응답을 설명하는 유리 함수의 순서를 설명하는 N차수로 지정됩니다.N차 전자 필터는^th N개의 반응 요소(캐패시터 및/또는 인덕터)를 구현해야 하므로 아날로그 필터에서 N차수는 특히 중요합니다.예를 들어 op-amp를 사용하는 비쿼드 단계를 사용하여 필터를 구현하는 경우 N/2 단계가 필요합니다.디지털 실장에서는 샘플당 실행되는 계산의 수는 N에 비례한다.따라서 수학적인 문제는 우리가 지금 설명할 것처럼 더 작은 N을 사용하여 원하는 응답에 대한 최선의 근사치를 얻는 것이다.

다음은 특정 기준에 따라 최적화된 원하는 응답에 근접하는 몇 가지 표준 필터 기능의 주파수 응답입니다.이것들은 모두 5차 저역 통과 필터로, 정규화된 유닛에서 0.5의 컷오프 주파수를 사용하도록 설계되어 있습니다.주파수 응답은 버터워스, 체비셰프, 역 체비셰프 및 타원 필터에 대해 표시됩니다.

그림에서 알 수 있듯이 타원형 필터는 다른 필터보다 선명하지만 통과 대역과 정지 대역 모두에서 리플이 발생합니다.Butterworth 필터는 이행이 가장 낮지만 응답성이 균일하여 통과 대역 또는 정지 대역의 리플을 방지합니다.베셀 필터(표시되지 않음)는 주파수 영역에서 더 적은 천이를 가지지만 파형의 최상의 위상 충실도를 유지합니다.애플리케이션마다 다른 설계 요건을 강조하기 때문에 이러한 최적화(및 기타) 중에서 다른 선택을 하거나 더 높은 차수의 필터를 필요로 합니다.

Sallen-Key 토폴로지를 사용하여 구현된 로우패스 필터

구현 예시

2차 액티브 R-C 필터를 실장하는 일반적인 회로는 Sallen-Key 설계이며, 그 개략도는 다음과 같습니다.이 토폴로지를 조정하여 로우패스, 밴드패스 및 하이패스필터를 생성할 수 있습니다.

순서 N의 이산 시간 FIR 필터.맨 위 부분은 N-샘플 지연 라인이며, 각 지연 스텝은 z로⁻¹ 표시됩니다.

N차 FIR 필터는^th 입력신호가 N지연단계의 대상이 되는 컴퓨터 프로그램 또는 특수 하드웨어를 사용하여 이산시간계에서 구현할 수 있다.필터의 출력은 부수되는 신호 흐름도에 나타나 있듯이 지연 신호의 가중치 합계로 형성됩니다.필터의 응답은 b, b₁, ....b로_N 표시된₀ 가중 계수에 따라 달라집니다. 예를 들어, 모든 계수가 단일성, 이른바 박스카 함수인 경우, N+1의 낮은 주파수 게인과 sinc 함수에 의해 주어진 주파수 응답을 가진 로우패스 필터를 구현합니다.보다 정교한 설계 절차에서 도출된 계수를 사용하여 주파수 응답에 대한 우수한 형상을 얻을 수 있습니다.

필터 설계 수학

LTI 시스템 이론은 모든 유형의 선형 시간 불변(LTI) 필터를 설명합니다.LTI 필터는 주파수 응답과 위상 응답으로 완전히 설명할 수 있습니다.이 사양은 임펄스 응답을 일의로 정의합니다.또, 그 반대도 마찬가지입니다.수학적 관점에서 연속시간 IIR LTI 필터는 선형 미분 방정식의 관점에서 설명될 수 있으며, 그 임펄스 응답은 방정식의 그린 함수로 간주된다.연속시간 LTI 필터는 임펄스 응답의 라플라스 변환의 관점에서 설명할 수도 있습니다.이를 통해 복합 평면에서의 라플라스 변환의 0과 극의 패턴을 고려하여 필터의 모든 특성을 분석할 수 있습니다.마찬가지로 이산시간 LTI 필터는 임펄스 응답의 Z 변환을 통해 분석할 수 있다.

컴퓨터 필터 합성 도구가 등장하기 전에는 Bode 플롯과 나이키스트 플롯과 같은 그래픽 도구가 설계 도구로 광범위하게 사용되었습니다.오늘날에도 필터 동작을 이해하기 위한 귀중한 도구입니다.참고^[3] 도서에는 다양한 필터 유형, 다양한 순서의 주파수 응답, 위상 응답, 그룹 지연 및 임펄스 응답에 대한 광범위한 플롯이 있었다.또한 RLC 사다리와 같은 필터를 구현하는 방법을 보여주는 값 표도 포함되어 있었습니다. 이 표는 증폭 요소가 패시브 구성요소에 비해 비쌀 때 매우 유용했습니다.이러한 사다리는 컴퓨터 도구 없이는 평가하기 어려운 성질에 대한 최소한의^[4] 민감도를 갖도록 설계될 수도 있습니다.

다양한 아날로그 필터 설계가 개발되어 각각 시스템 응답의 일부 기능을 최적화하려고 합니다.실제 필터의 경우 필터 응답 특성뿐만 아니라 성분 수 및 비용 등 다양한 설계 기준 간에 최적의 트레이드오프를 제공할 수 있는 사용자 정의 설계가 바람직할 수 있습니다.

이러한 설명은 필터의 수학적 속성(즉, 주파수 및 위상 응답)을 나타냅니다.이것들은 아날로그 회로(예를 들면, 액티브필터의 일종인 살렌 키필터 토폴로지를 사용) 또는 디지털 신호 처리 시스템의 알고리즘으로서 실장할 수 있습니다.

디지털 필터는 아날로그 필터보다 합성 및 사용이 훨씬 유연하며, 설계상의 제약으로 인해 사용이 허용됩니다.특히 성분 공차를 고려할 필요가 없으며 매우 높은 Q 레벨을 얻을 수 있습니다.

FIR 디지털 필터는 입력 신호와 함께 원하는 임펄스 응답을 직접 변환함으로써 구현될 수 있다.임의의 펄스 형태에 일치하는 필터를 제공하도록 쉽게 설계할 수 있습니다.

IIR 디지털 필터는 동적 범위 문제, 양자화 노이즈 및 불안정성 등의 문제로 인해 설계가 더 어려운 경우가 많습니다.일반적으로 디지털 IIR 필터는 일련의 디지털 비쿼드 필터로 설계됩니다.

모든 저역 통과 2차 연속 시간 필터에는 다음과 같은 전송 함수가 있습니다.

({displaystyle H(s)=frac {K\omega_{0}^{2}}{s^{2}+{\frac {{0}}{Q}s+\opera_{0}^2}}}).}

모든 밴드 패스 2차 연속 시간 필터에는 다음과 같은 전송 함수가 있습니다.

H(s)=frac {K{\frac {\frac {{0}}{Q}}{s}+{\frac {{0}}{Q}}s+\opera _{0}^2}}}}}.

어디에

K는 게인(로패스 DC 게인 또는 밴드 패스 미드밴드 게인)입니다(K는 패시브필터의 경우 1).
Q는 Q계수입니다.
$\omega _{0}$ ( \ $displaystyle$ \ $obega$ _ $\omega _{0}$ { 0 } )는 중심 주파수입니다.
$s=\sigma +j\omega$ $s=\sigma +j\omega$ + $s=\sigma +j\omega$ { $display$ s = \ $display$ + $j$ \ $obega }$ 는 $s=\sigma +j\omega$ 복합 주파수입니다.

「」를 참조해 주세요.

주 및 참고 자료

^ 다만, FIR 필터가 비피드백토폴로지 및 아날로그 지연 요소를 포함한 아날로그 신호를 직접 처리하는 경우는 몇 가지 있습니다.예를 들어 특정 샘플링 레이트로 클럭된 이른바 버킷브릿지 디바이스를 사용하여 구현되는 이산 시간 아날로그 샘플링필터가 있습니다.이 필터는 FIR 필터를 실현하기 위해 가중치와 조합할 수 있는 다른 지연의 입력 신호의 복사본을 출력합니다.SAW 필터와 같은 전기기계식 필터도 FIR 필터 응답을 구현할 수 있습니다.이러한 필터 응답은 연속적으로 동작하기 때문에 고주파용으로 설계할 수 있습니다.
^ 사소한 경우를 제외하고, 제로 위상 응답의 안정적인 IIR 필터는 원인이 아니거나(따라서 실시간 애플리케이션에서는 사용할 수 없음), 또는 이중 적분기와 같이 불안정하거나 "마진적으로 안정적인" 전송 함수를 구현하는 경우 가능합니다.
^ A. Zverev, 필터 합성 핸드북, John Wiley and Sons, 1967, ISBN 0-471-98680-1
^ 일반적으로, 감도를 계산하는 것은 매우 힘든 작업입니다.그러나 임피던스에 의해 구동되고 저항기에 의해 종단되는 특별한 LC 래더의 경우에는 감도가 작음을 나타내는 명확한 논거가 있다.이러한 경우, 최대 주파수에서의 전송은 소스 및 부하 임피던스의 물리학에 의해 결정되는 최대 가능한 에너지를 출력 부하에 전달한다.이 점이 최대이기 때문에 모든 성분 값에 대한 모든 도함수는 0이어야 합니다. 어떤 방향으로든 성분 값을 변경하면 감소만 초래될 수 있기 때문입니다.이 결과는 응답의 피크에서만 엄격히 적용되지만, 인근 지점에서도 대략적으로 적용됩니다.

추가 정보

Williams, Arthur B & Taylor, Fred J (1995). Electronic Filter Design Handbook. McGraw-Hill. ISBN 0-07-070441-4.
아날로그 필터 이론을 설명하는 National Semiconductor AN-779 응용 프로그램 노트
격자 AN6017 적용 참고: 필터 비교 및 대조(감쇠 계수 순서, 낮은 값부터 높은 값까지):가우스, 베셀, 선형 위상, 버터워스, 체비셰프, 레전드르, 타원.(그래프 포함).
아날로그 디바이스의 ACTIVE Filter DESIGN Tool 사용: 아날로그 디바이스의 응용 프로그램 노트와 마찬가지로 광범위한 그래프, 액티브 RC 필터 토폴로지 및 실용적인 설계를 위한 표가 포함되어 있습니다.
L. D. Parmann의 "아날로그 필터의 설계와 분석: 신호 처리의 관점"

[1] 다만, FIR 필터가 비피드백토폴로지 및 아날로그 지연 요소를 포함한 아날로그 신호를 직접 처리하는 경우는 몇 가지 있습니다.예를 들어 특정 샘플링 레이트로 클럭된 이른바 버킷브릿지 디바이스를 사용하여 구현되는 이산 시간 아날로그 샘플링필터가 있습니다.이 필터는 FIR 필터를 실현하기 위해 가중치와 조합할 수 있는 다른 지연의 입력 신호의 복사본을 출력합니다.SAW 필터와 같은 전기기계식 필터도 FIR 필터 응답을 구현할 수 있습니다.이러한 필터 응답은 연속적으로 동작하기 때문에 고주파용으로 설계할 수 있습니다.

[2] 사소한 경우를 제외하고, 제로 위상 응답의 안정적인 IIR 필터는 원인이 아니거나(따라서 실시간 애플리케이션에서는 사용할 수 없음), 또는 이중 적분기와 같이 불안정하거나 "마진적으로 안정적인" 전송 함수를 구현하는 경우 가능합니다.

[3] A. Zverev, 필터 합성 핸드북, John Wiley and Sons, 1967, ISBN 0-471-98680-1

[4] 일반적으로, 감도를 계산하는 것은 매우 힘든 작업입니다.그러나 임피던스에 의해 구동되고 저항기에 의해 종단되는 특별한 LC 래더의 경우에는 감도가 작음을 나타내는 명확한 논거가 있다.이러한 경우, 최대 주파수에서의 전송은 소스 및 부하 임피던스의 물리학에 의해 결정되는 최대 가능한 에너지를 출력 부하에 전달한다.이 점이 최대이기 때문에 모든 성분 값에 대한 모든 도함수는 0이어야 합니다. 어떤 방향으로든 성분 값을 변경하면 감소만 초래될 수 있기 때문입니다.이 결과는 응답의 피크에서만 엄격히 적용되지만, 인근 지점에서도 대략적으로 적용됩니다.

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