T-정규 퍼지 로직

T-규격 퍼지 로직은 비규격 로직 계열로, 진리 값의 시스템에 대해 실제 단위 간격[0, 1]을 취하고, 접속사 허용 해석에 대해 t-규격이라고 하는 함수를 갖는 의미 체계를 갖춤으로써 비공식적으로 구분된다. 그것들은 대략적인 추론의 이론적 근거로서 주로 적용된 퍼지 논리학 및 퍼지 집합 이론에 사용된다.

T-정규 퍼지 로직은 퍼지 로직과 많은 값진 로직의 더 넓은 클래스에 속한다. 올바르게 동작하는 암시를 생성하기 위해서는 t-표준은 대개 좌-연속성이 요구되며, 좌-연속 t-표준의 로직은 더 나아가 하위구조 로직의 종류에 속하며, 그 중 선선성 법칙의 유효성이 표시된다(A → B → A). 제안형 및 1차(또는 더 높은 순서) t-정규형 퍼지 로직과 모달 및 기타 운영자에 의한 확장이 모두 연구된다. t-규격 의미론을 실제 단위 간격의 하위 집합으로 제한하는 로직(예: 정밀하게 평가된 Uwkasiewicz 로직)도 클래스에 포함된다.

t-규격 퍼지 로직의 중요한 예로는 모든 좌-연속 t-규격의 단면 t-규격 논리 MTL, 모든 연속 t-규격의 기본 논리 BL, 제품 t-규격의 제품 퍼지 논리 또는 nilpotent 최소 t-규격의 nilpotent 최소 논리 등이 있다. 일부 독립적으로 동기가 부여된 로직은 예를 들어 우카시오비츠 논리(우카시오비츠 t-norm의 논리) 또는 괴델-덤메트 논리(최소 t-norm의 논리)와 같은 t-규범 퍼지 로직에도 속한다.

동기

퍼지 로직 계열의 구성원으로서, t-norm 퍼지 로직은 주로 명제의 진리의 정도를 나타내는 1 (진리)와 0 (진리성) 사이의 중간 진리 값을 인정함으로써 고전적인 2-값 논리의 일반화를 목표로 한다. 도수는 단위 간격[0, 1]의 실제 숫자로 가정한다. 명제 t-규범 퍼지 논리학에서 명제적 연결고리는 진실기능으로 규정된다. 즉, 일부 구성제안으로부터 명제적 연결고리에 의해 형성된 복합제안의 진실한 가치는 그 구성제안의 진리값의 함수(일명 결합의 진리함수라고 함)이다. 진리 함수는 진리의 정도 집합(표준 의미에서는 [0, 1] 간격)에서 작동한다. 따라서 n-ari proposal c의 진리 함수는 함수 F_c: [0, 1]ⁿ → [0, 1]이다. 진리 기능은 고전적 논리로부터 알려진 명제적 연결체들의 진리표를 일반화하여 진리 가치의 더 큰 시스템에서 작동시킨다.

T-정규 퍼지 로직은 접속사의 진실함수에 특정한 자연적 제약을 가한다. 진실함수 ${\displaystyle \ast }{\displaystyle }$: [ 0${\displaystyle ,1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ →${\displaystyle {}^{}}$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}}$의 접속사 진실함수는 다음과 같은 조건을 만족하는 것으로 가정한다.

• 공통성, 즉 [0, 1]의 모든 x와 y에 대한$$ $x{\displaystyle }$∗ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ x$*y=y*x}$ 이는 중간 진리학위가 인정되더라도 퍼지 명제의 순서는 함께 중요하지 않다는 가정을 나타낸다.
• 연관성, 즉 [${\displaystyle 0}$, 1]의 모든 x, y, z에 대해$$ (${\displaystyle }$x ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \ast }$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle (x*y)*z=x**($y*$z)}$ 이는 중간 진리학위가 인정되더라도 접속을 수행하는 순서는 중요하지 않다는 가정을 나타낸다.
• 단조로움, 즉, ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle x\leq y}$이(가) 있다면, [0, 1]의 모든 x, y, z에 $대해$ x${\displaystyle z}$ z ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$≤ z$${\$displaystyle$x*$z\leq$y*$z}$을(를)로$$ 한다. 이것은 결막의 진위도를 증가시키면 접속사의 진위도를 감소시켜서는 안 된다는 가정을 나타낸다.
• 1의 중립성, 즉 [0, 1]의 모든 x에 대해$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$∗ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1*x=x}$ 이 가정은 다른 결막의 진리 값을 감소시키지 않는 완전한 진리로서 진리 등급 1을 간주하는 것과 일치한다. 이전 조건과 함께 이 조건은 [0, ${\displaystyle 1}$]의 모든 x에 $대해서도$ 0${\displaystyle }$∗ x${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle 0*x=0}$을(를) 보장하며, 이는 진리도 0을 완전 거짓으로, 항상 완전히 거짓인 것으로 간주한다.
• continuity${\displaystyle *}$ 함수의 연속성($$이전 조건에서는 두 인수 중 하나의 연속성으로 이 요구 사항이 감소함). 비공식적으로 이것은 결막의 진리 수준의 미세한 변화가 연결부의 진리 정도를 거시적으로 변화시켜서는 안 된다는 가정을 나타낸다. 이 조건은 무엇보다도 접속사에서 도출된 (잔류) 함수의 좋은 행동을 보장한다. 그러나 좋은 행동을 보장하기 위해서는 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$ 함수의 왼쪽-연속성이 충분하다$$.^[1] 따라서 일반적으로 t-정규 퍼지 로직에서는 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$의 좌연속성만 요구되는데$$, 이는 결막의 진위도를 미세하게 감소시켜도 거시적으로 연결의 진위도를 감소시켜서는 안 된다는 가정을 나타낸다.

이러한 가정은 결합의 진실 함수를 좌측 연속 t-표준으로 만들어 퍼지 로직(t-norm based)의 패밀리의 이름을 설명한다. 가족의 특정한 로직은 접속사의 동작(예: 괴델 논리는 그것의 특질성을 요구한다)이나 다른 커넥티브(예: 논리 IMTL (Involution monoidal t-norm logic)는 부정의 비자발성을 필요로 한다)에 대해 추가적인 가정을 할 수 있다.

모든 좌측 연속 t-규격${\displaystyle }$norm ${\displaystyle *}$에는 고유한 잔류물, 즉 [0, 1]의 모든 x, y 및 z에 대해 이진$$ 함수 $\Rightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$이(가) 있다$$.

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x*y\leq z}($$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle yz}$z. {\$displaystyle$ x$\$$leq$ y\$Rightarrow$ z).$}$

좌측 연속 t-표준의 잔류 진공은 다음과 같이 명시적으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}}$

이렇게 하면 잔류 진공이 모든 x와 y에 대해 점으로 볼 때 가장 큰 기능임을 보장할 수 있다.

${\displaystyle x*(x\오른쪽 화살표 y)\leq y.}$

후자는 추론 규칙의 모호한 버전으로 해석될 수 있다. 따라서 좌연속 t-규격의 잔류물은 퍼지 모듀스 폰이 유효하게 만드는 가장 약한 함수로 특징지어질 수 있으며, 퍼지 논리에서의 함축에 적합한 진실 함수가 된다. t-규격의 좌-연속성은 t-규격 결합과 그 잔여 함축성 사이의 관계를 유지하기 위해 필요하고 충분한 조건이다.

Truth functions of further propositional connectives can be defined by means of the t-norm and its residuum, for instance the residual negation ${\displaystyle \neg x=(x\Rightarrow 0)}$ or bi-residual equivalence ${\displaystyle x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).$$}$ 명제 커넥터의 진리$$ 기능도 추가 정의에 의해 도입될 수 있다: 만일 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 1 ${\displaystyle \Delta x=1}$로 정의된, 가장 일반적인 것은 최소(다른 결합체의 역할을 함), 최대(불연관적 결합체의 역할을 함), 또는 [0, 1]에서 정의한 바아즈 델타 연산자 연산자(Baz Delta 연산자)이다.${\displaystyle \mathrm{그렇지}}$$$${\displaystyle }$않으면 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ =$$1 {\$displaystyle x=$$1$} 및${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ =$$0 {\$displaystyle \Delta x=0$}. 이와 같이 왼쪽-연속 t-규범, 그 잔류물 및 추가 명제연결체의 진실 함수는 [0, 1]에서 복잡한 명제 공식의 진실 가치를 결정한다.

항상 1까지 평가하는 공식은 주어진 좌-연속 t-규격 $\ast {\displaystyle }$, ${\displaystyle *,}$ 또는$$ $\ast {\displaystyle }$- ${\$ tautology와 관련하여 tautology라고 불린다. 모든 $\ast {\displaystyle }$- ${\$ tautology의$$ 집합을 t-norm ${\displaystyle \ast ,}$ ${\displaystyle *,}$의 논리라고 하는데, 이 공식들은 원자 공식의 진위도에 관계 없이 (1도까지) 지탱하는 퍼지 논리(t-norm에 의해 결정됨)의 법칙을 나타내기 때문이다$$. 어떤 공식은 더 큰 종류의 좌-연속 t-표준에 관한 tutology이다; 그러한 공식의 집합을 클래스의 논리라고 부른다. 중요한 t-규격 로직은 특정 t-규격의 로직이나 t-규격의 등급이다. 예를 들면 다음과 같다.

• Wukasiewicz 논리는 Uwkasiewicz t-norm $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle max}$(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle x*y=\max(x+y-1,0)}$의 논리다.
• 괴델-덤메트 논리(Gödel-Dummett logic)는 최소 $t-norm{\displaystyle }$ x${\displaystyle y}$y = ${\displaystyle 최소(x}$, ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle$ x$*y=\min(x,y)}$의 논리다.
• 제품 퍼지 논리(product fuzzy logic)는 제품 t-norm $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x*y=x\cdot$ y$}$의 논리다.
• 단일 t-규격 논리 MTL은 모든 좌-연속 t-규격의 (종류) 로직이다.
• 기본 퍼지 논리 BL은 모든 연속 t-규격의 (클래스) 논리다.

특정 t-규격과 t-규격 등급의 많은 로직은 공리가능성이 있는 것으로 나타났다. [0, 1]에 해당하는 t-정규 의미론에 관한 공리계통의 완전성 정리를 논리의 표준 완전성이라고 한다. [0, 1]의 표준 실질가치 의미론 이외에도, 로직은 일반 대수 의미론들에 대해 건전하고 완전하며, 선선형 역학 경계 적분 잔여 래티스의 적절한 등급에 의해 형성된다.

역사

일부 특정 t-규격 퍼지 로직은 패밀리가 인식되기 훨씬 전에 도입되고 조사되었다(퍼지 논리 또는 t-규범의 개념이 등장하기 전에도).

• 우카시오비치 논리(우카시오비츠 t-norm의 논리)는 원래 얀 우카시오비츠(1920년)에 의해 3가지 가치의 논리로 정의되었다.^[2] 후에 명제적 및 1차적으로 무한히 많은 가치의 변이뿐만 아니라 n 값(모든 유한 n에 대해)으로 일반화되었다.^[3]
• 괴델-덤메트 논리(최소 t-규범의 논리)는 괴델의 1932년 증명된 직관 논리의 무한 가치에 내포되어 있었다.^[4] 이후(1959년) 논리의 완전성 정리를 증명하는 덤멧에 의해 명시적으로 연구되었다.^[5]

A systematic study of particular t-norm fuzzy logics and their classes began with Hájek's (1998) monograph Metamathematics of Fuzzy Logic, which presented the notion of the logic of a continuous t-norm, the logics of the three basic continuous t-norms (Łukasiewicz, Gödel, and product), and the 'basic' fuzzy logic BL of all continuous t-norms (all o명제 및 1차 주문 둘 다. 이 책은 또한 힐버트식 캘커리, 대수적 의미론, 그리고 다른 로직에서 알려진 변태적 특성(완전성 정리, 추론 정리, 복잡성 등)을 가진 비분류적 로직으로서 퍼지 로직의 조사를 시작했다.

그 이후로, 많은 t-정규 퍼지 로직들이 도입되었고 그들의 변성 성질이 조사되었다. 가장 중요한 t-규격 퍼지 로직 중 일부는 에스테바와 고도(MTL, IMTL, SMTL, NM, WNM),^[1] 에스테바, 고도, 몬타그나(proposal UWπ),^[6] 신툴라(1차 주문 UWł)에 의해 2001년에 도입되었다.^[7]

논리언어

명제 t-규범 퍼지 로직의 논리 어휘는 기본적으로 다음과 같은 결합체로 구성된다.

• 시사${\displaystyle }$→ $[\displaystyle \rightarrow }($이진수). t-규범 기반 퍼지 로직 이외의 맥락에서 t-규범 기반 함축은 종종 잔류 함축 또는 R-implation이라고 불리는데, 그 표준 의미론은 강한 결합을 실현하는 t-규범의 잔류진공이기 때문이다.
• 강력한 접속사${\displaystyle \mathrm{}}$& ${\displaystyle \And }($이진). 하부구조 로직의 맥락에서 $⊗{\displaystyle \otimes}$라는 부호와 이름 그룹, 강렬, 승수 또는 병렬 접속사가 강한 접속사에 자주 사용된다.
• 약한 접속사 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }($이진수)라고도 하며, 대수적 의미론에서 만나는 격자 연산에 의해 항상 실현되기 때문이다. 하부 구조 로직의 맥락에서, 격자 접속사에는 가법, 확장 또는 비교 접속사라는 명칭이 사용되기도 한다. 논리 BL과 그 확장(일반적으로 t-norm 로직에서는 아니지만)에서 약한 결합은 다음과 같이 함축적 및 강한 결합의 관점에서 정의될 수 있다.

${\displaystyle A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And}}(A\wardge B)}$

두 개의 접속사의 존재는 수축 없는 하부구조 로직의 공통적인 특징이다.

• 하단$$log {\$displaystyle \bot }($nullary); $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}$ $또는$ 0$''{\$은(하위구조 로직의 상수와 0이 정규 퍼지 로직에서 일치하므로) 제안 상수에 대한 일반적인 대체 이름을 0이다. 명제 $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot }$은 거짓이나 부조리를 나타내며$$, 고전적 진리 가치인 거짓에 해당한다.
• 부정 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg$}($$단일), 다른 부정 연결부가 고려될 경우 잔차 부정이라고도 하며, 환원제 ad urlicum에 의한 잔차 함축으로부터 정의된다.

$\displaystyle \neg A\equiv A\오른쪽 화살표 \bot }$

• 동등성 $\pounds {\displaystyle }$ ${\displaystyle \좌우타로우 }($이진수)로 정의됨

$(A\displaystyle A\왼쪽 화살표 B\equiv (A\오른쪽 화살표 B)\웨지 (B\오른쪽 화살표 A)}$

t-표준 로직에서 정의는${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$→ B${\displaystyle }$)${\displaystyle \mathrm{}}$&${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle A}$ )${\displaystyle }$&${\displaystyle }$. ${\디스플레이스타일$ ($A\$오른쪽 $화살표$ B$){\mathbin {\And}}}(B\오른쪽$ 화살표 A)과 동등하다$.$$}$

• (Weak) 절연 $\vee {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ve }$ $$(이진수) 절연이라고도 한다(대수 의미론 결합의 격자 연산에 의해 항상 실현되기 때문에). t-norm 로직에서 정의 가능한 것은 다음과 같다.

$(A\deplaystyle A\vee B\equiv (A\오른쪽 화살표 B)\오른쪽 화살표 B)\웨지 ((B\오른쪽 화살표 A)\오른쪽 화살표 A)}$

• 상단${\displaystyle \mathrm{}}$⊤ ${\displaystyle \top }($nullary)이라고도 하며 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ $또는$ 1 $"{\$하부구조물 로직의 상수와 0이 t-정규 퍼지 로직에서 일치하기 때문에).$$ 명제 $⊤$ {\$displaystyle \top$}은(는) 고전적 진실 값 true에 해당하며$$ t-norm 로직에서 다음과 같이 정의될 수 있다.

$\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot .}$

일부 명제 t-규격 로직은 위 언어에 명제적 연결 장치를 더 추가하며, 대부분은 다음과 같다.

• 델타 코넥티브$({\displaystyle \mathrm{}}$Delta connective) ${\$$displaystyle$$$\$triangle$$$$}$은 형식의 공식처럼 명제의 고전적 진리를 주장하는$$ 단일 결합체다$.$ 마티아스 바아즈가 괴델-덤멧 논리를 위해 처음 사용했기 때문에 바아즈 델타라고도 불린다.^[8] 델타 커넥티브에 의한$$ t-orm 로직 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 확장은 대개 $L{\displaystyle {}_{.\mathrm{}}}$ .${\displaystyle {}_{}}$. . . ${\displaystyle L_{\triangle }}}$로 표시된다.
• 진리 상수는 표준 실질 가치 의미론에서 0과 1 사이의 특정 진리 값을 나타내는 무효 연결이다. real$$number $r{\displaystyle }$ {\$displaystyle r}$의 경우$,$ 해당 진리 상수는 대개 $r$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$.${\displaystyle {\overline {r}}.}$ 가장 흔히 모든 합리적인$$ 숫자에 대한 진리 상수가 추가된다. 언어의 모든 진리 상수 체계는 부기 공리를 만족시켜야 한다.^[9]

R&매우¯ ↔(r¯ 및잖니 ¯),}s{\displaystyle{\overline{r{\mathbin{\And}}}\leftrightarrow({\overline{r}}{\mathbin{\And}}{{s}\overline}),}rs→¯ ↔(r¯ → s¯),{\displaystyle{\overline{r\rightarrow s}}\leftrightarrow({\overline{r}}{\mathbin{\rightarrow}}{{s}\overline}),}등 언어에서 정의 가능한 모든 명제 연결 및 모든 진실 상수에 대해.

• Involutive negation ${\displaystyle \sim }$ (unary) can be added as an additional negation to t-norm logics whose residual negation is not itself involutive, that is, if it does not obey the law of double negation ${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$. A t-norm logic ${\displaystyle L}$ expanded with involutive 부정은 보통 $L{\displaystyle {}_{}}$~ ${\$에 의해 표시되며$$, $L{\displaystyle }${\$displaystyle L}$이라고 불리며 비자발적이다.
• 강한 절연 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }($이진수). 하위 구조 로직의 맥락에서 그것은 그룹, 강도, 승수 또는 병렬 분리라고도 불린다. 수축 없는 하부구조 로직에서 표준이기는 하지만, 보통 t-정규 퍼지 로직에서는 비자발적 부정이 존재하는 경우에만 사용되며, 이는 강한 결합에서 de Morgan의 법칙에 의해 정의(그리고 그렇게 공리가능화)될 수 있게 한다.

${\displaystyle A\oplus B\equiv \mathrm {\sim }(\mathrmon {\sim }A{\mathbin {\\}\mathrmon {\sim }B).}$

• 추가 t-규격 접속사 및 잔류 시사점. 예를 들어 논리 UWN과 같이 표현적으로 강한 t-규격 로직은 언어에 둘 이상의 강한 결합 또는 잔류 함의가 있다. 표준 실질가치의 의미론에서, 그러한 강한 접속사는 다른 t-표준과 그 잔여물에 의한 잔여 함의에 의해 실현된다.

명제 t-규범 로직의 잘 형성된 공식은 명제 로직에서 보통 그렇듯이 위의 논리 연결 장치에 의해 명제 변수(일반적으로 많음)로부터 정의된다. 괄호를 저장하기 위해서는 다음과 같은 우선순위를 사용하는 것이 일반적이다.

• 단일 연결부(가장 가깝게 바인딩)
• 함축성 및 동등성 이외의 이진 연결성
• 함축성 및 동등성(가장 느슨하게 바인딩

1차 변종 t-규격 로직은 위의 명제적 연결장치와 다음과 같은 정량자를 가진 1차 논리학의 일반적인 논리 언어를 사용한다.

• 일반 계량기 $\displaystyle \all }$
• 실존정량기 $\displaystyle \reason }$

명제 t-규격 논리 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 1차 변형은 대개 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \forall .}$ ${\displaystyle L\all.}$에 의해 표시된다$$.

의미론

대수적 의미론은 주로 명제적 t-규범 퍼지 로직에 사용되며, t-규범 퍼지 논리 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 완료되는 것과 관련하여 세 가지 주요 등급의 알제브라가 있다.

• $일반{\displaystyle }$ 의미론$, 모든$ L {\$displaystyle$ L} -algebras$$, 즉 논리가 건전한 모든 알제브라들로 구성된다.
• 선형 $의미론{\displaystyle }$ -$$모든 $선형$ L {\$displaystyle$ L} -algebras$$ - 즉, 격자 순서가 선형인 $모든{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$ -algebras로$$ 구성된다.
• 표준 의미론 -$$모든 표준 $L{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ L} -algebras$$ - 즉 격자 감소가 실제 단위 간격[0, 1]인 $모든{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$ -algebras로$$ 구성된다. 표준 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L}$ -algebras에서$$ 강접합사의 해석은 좌연속 t-규범이며 대부분의 명제 커넥티브의 해석은 t-규범(t-규범 기반 로직 및 t-규범 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L}$ -algebras에 $대해서도{\displaystyle }$ 사용된다)에 의해 결정된다. 격자[0, 1]에. 그러나 추가 커넥터가 있는 t-표준 로직에서는 t-표준 대수(예: 표준 $L{\displaystyle {}_{}}$~ ${\$가 표준으로 불리기 위한 추가 조건에 의해 추가 커넥터의 실제 값 해석이 제한될 수 있다. 예를 들어, $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 로직의 -algebras에서$$, 해석.추가적인 비자발적 부정${\displaystyle }$~ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ ${\displaystyle {\backslash }_{}\mathrm{sim}}$ ${\displaystyle \}}$은(는${\displaystyle )}$^[10] ${\displaystyle \mathrm{표준}}$ $비자발{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$f ~$$( x ) = 1 - x , {\$displaystyle f_{\sim }(x)=1-x,$t-norm $L_{\}$에 $대해$${\displaystyle }$~ ${\$$displaystystyleyle$ $L_{}$을 해석할 수 있는 다른 비자발음이 되어야 한다. 따라서 일반적으로 표준 t-노멀 알헤브라의 정의는 추가 커넥티브가 있는 t-노멀 로직에 대해 명시적으로 제시되어야 한다.

참고 문헌 목록

• Esteva F. & Godo L, 2001, "모노이드 t-norm 기반 논리: 좌-연속 t-규격의 논리를 향해" 퍼지 세트 및 시스템 124: 271–288.
• 플라미니오 T. & Marchioni E., 2006, T-norm 기반 로직과 독립적인 비자발적 부정. 퍼지 세트와 시스템 157: 3125–3144.
• Gottwald S. & Hajek P, 2005, 삼각규범에 기초한 수학 퍼지 논리. E.P. Klement & R.에서. Mesiar (eds.) (eds), 논리적, 대수학, 분석적 및 확률론적 삼각규범의 측면, 페이지 275–300. 2005년 암스테르담 엘스비에
• Hahjek P, 1998년 퍼지 로직의 변태학. 도드레흐트: 클루워. ISBN0-7923-5238-6.

참조