케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케이리-해밀턴 정리(수학자 아서 케이리와 윌리엄 로완 해밀턴의 이름을 따서 명명)는 역환 고리(실수 또는 복합수나 정수 등) 위의 모든 제곱 행렬이 자신의 특성 방정식을 만족한다고 명시하고 있다.null

If A is a given n × n matrix and I_n is the n × n identity matrix, then the characteristic polynomial of A is defined as^[7] ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$, where det is the determinant operation and λ is a variable for a scalar element of the base ring.Since the entries of the matrix ${\displaystyle (\lambda I_{n}-A)}$ are (linear or constant) polynomials in λ, the determinant is also a degree-n monic polynomial in λ, ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdo$$ts +c_{1}\lambda +c_{0}~.}$ One can create an analogous polynomial ${\displaystyle p_{A}(A)}$ in the matrix A instead of the scalar variable λ, defined as ${\displaystyle p_{A}(A)=$$A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1$$}}A+c_{0}$$I_{n}~.}$$$ Cayley-Hamilton 정리에서는 이 다항식 표현은 0 행렬과 동일하다고 기술하고 있는데, $이$는 ${\displaystyle p_{}}$ A${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) = ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$ 이 정리를 통해ⁿ A는 A의 하위 행렬 세력의 선형 결합으로 표현될 수 있다$.$반지가 필드일 때, 케이리-해밀턴 정리는 정사각형 행렬의 최소 다항식이 그 특징적인 다항식을 나눈다는 진술과 동일하다.이^[8] 정리는 1853년 해밀턴에 의해 비확정 고리인 쿼터니온의 선형함수의 역순으로 처음 증명되었다.^[4][5][6]이는 특정 4 × 4 실제 또는 2 × 2 복합 행렬의 특수한 경우에 해당한다.그 정리는 일반 쿼터니온 행렬에 대한 것이다.^{[9][nb 1]}1858년 Cayley는 그것을 3 × 3과 더 작은 매트릭스에 대해 언급했지만, 단지 2 × 2 케이스에 대한 증명서를 발표했다.^[2]일반적인 경우는 1878년 페르디난드 프로베니우스에 의해 처음 증명되었다.^[10]null

예

행렬 1 × 1

1 × 1 행렬 A = (a)의 경우 특성 다항식은 p(() = λ - a로 주어지므로 p(A) = (a) - a(1) = 0은 사소한 것이다.null

행렬 2×2

구체적인 예로서 하자.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.}$

그것의 특징적인 다항식은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.}$

케일리-해밀턴 정리는 우리가 정의한다면

${\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},}$

그때

$[\displaystyle p(A)=]A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$

우리는 실제로 계산을 통해 확인할 수 있다.

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$

일반 2 × 2 행렬의 경우,

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\c&d\\end{pmatrix},}$

특성 다항식은 p(λ) = λ² - (a + d)λ + (ad - bc)로 주어지기 때문에, Cayley-Hamilton 정리에서는 다음과 같이 기술하고 있다.

$[\displaystyle p(A)=]A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\\end{pmatrix};}$

A의² 출품작을 정리하는 것으로 보아 확실히 알 수 있는 것은 사실 항상 있는 일이다.

적용들

결정 및 역행렬

일반 n × n 반전성 매트릭스 A의 경우, 즉 0이 아닌 결정인자를 가진 매트릭스의 경우, A⁻¹: 표시된 대로 Cayley-Hamilton 정리는 (n - 1)번째 순서의 다항식으로서 기록될 수 있다.

계수 c는_i A의 고유값의 기초 대칭 다항식으로 주어진다.뉴턴 정체성을 이용하여, 초기 대칭 다항식은 고유값의 동력 합계 대칭 다항식 단위로 차례로 표현할 수 있다.

${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=\operatorname {tr}(A^{k}),}$

여기서 tr(A^k)는 행렬 A의 추적이다^k.따라서 우리는 A의 힘의 흔적이라는 관점에서 c를_i 표현할 수 있다.

일반적으로 계수 c에_i 대한 공식은 완전한 지수 Bell 다항식의 관점에서 다음과^{[nb 2]} 같이 주어진다.

${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}}{{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots, (-1)^{k-1(k-1)!s_{k}).}$

특히 A의 결정요인은 (-1)ⁿc와₀ 같다.따라서 결정 인자는 추적 정체성으로 기록될 수 있다.

${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}}{{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots,(-1)^{n-1(n-1)!s_{n}).}$

마찬가지로 특징적인 다항식도 다음과 같이 쓸 수 있다.

$[\displaystyle - (-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),}$

그리고, 양쪽에 A⁻¹(주 - (-ⁿ1) = (-1))ⁿ⁻¹를 곱함으로써, 하나는 추적 식별으로서 A의 역행 식을 유도한다.

${\displaystyle {\reasoned}A^{-1}&={\frac {(-1)^{n-1}{n-1}:{n-1}{\det A}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\codots +c_{1}I_{n})\\\[5pt]&={\frac {1}{\frac {1}{\det A}\sum _{k=0}^{n-1(-1)^{n+k-1}{\frac {A^{n-k-1}}{k!}}}{{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots, (-1)^{k-1(k-1)!s_{k}).\end{aigned}}$

일반 n × n 행렬에 대해 이러한 계수 c를_k 얻기 위한 또 다른 방법은, 0이 되지 않는 한, 결정 인자에 대해 다음과 같은 대체 식에 의존한다.

${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr})(\log(I_{n}-A/\lambda ))).}$

따라서 메르카토르 시리즈의 덕택에

${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \left(-\operatorname {tr} \sum _{m=1}^{\infty }{{A \over \lambda }^{m}\rig)}}}}$

여기서 지수만 순서 λ로⁻ⁿ 확장하면 되는데, p(λ)는 순서 n이기 때문에 of의 순 음력은 C-H 정리에 의해 자동으로 소멸된다. (Again, 여기에는 합리적인 숫자를 포함하는 링이 필요하다.)λ에 관하여 이 식을 구별하면 일반 n에 대한 특성 다항식의 계수를 m × m 행렬의 결정 계수로 표현할 수 있다.^{[nb 3]}

${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname{tr}A&m-1&, 0&, \cdots \\\operatorname{tr}A^{2}&, \operatorname{tr}A&m-2&, \cdots \\\vdots &, \vdots &,&&\vdots \\\operatorname{tr}A^{m-1}&, \operatorname{tr}A^{m-2}&, \cdots, \cdots & &, 1\\\operatorname{tr}A^{m}&, \operatorname{tr}A^{m-1}&, \cdots &, \cdots &a.융점, \operatorname(A\end{vmatrix}}일.}$

예

예를 들어, 처음 몇 개의 벨 다항식은 B₀ = 1, B₁(x₁) = x₁, B₂(x₁₂, x) = x²
₁ + x₂, 그리고₃ B(x₁, x₂₃, x³
₁) = x + 3 xx₁₂ + x이다₃.

이를 사용하여 2 × 2 행렬 수율의 특성 다항식 계수 c 지정_i

${\displaystyle {\begin}c_{2}=B_{0}=1,\\\[4pt]c_{1}={\frac {-1}{1!}}{{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr}(A),\\[4pt]c_{0}={\frac {1}{2!2}}B_{1}(s_{1},-1!s_{2})={\frac{1}{1}:{1}:{2}}(s_{1}^{2}}-s_{2}={\frac {1}{1}{1}}(\operatorname {tr}(A)^{2}-\operatorname {tr})(A^{t}).\end{정렬}}}$

계수 c는₀ 2 × 2 행렬의 결정 인자를 c에서₁ 그 추적을 뺀 반면, 그 역은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\detail A}(A+c_{1})I_{2}={\frac {-2(A-\operatorname {tr})(A)I_{2}}{(\operatorname {tr}(A))^{2}-\operatorname {tr}(A^{2})}}.}$

bell 다항식(bell polynomials)의 용어로 표현되는_n−k c의 일반 공식에서 그 표현이 명백하다.

${\displaystyle -\operatorname {tr}(A)\quad {\text{and}}\quad {\tfrac {1}{1}2}}(\operatorname {tr})(A)^{2}-\operatorname {tr}(A^{2})}}}$

모든 n × n 행렬의 특성 다항식에서 항상 always의ⁿ⁻¹ 계수 c와_n−1 λ의ⁿ⁻² c를_n−2 주어라.그래서 3×3 매트릭스 A의 경우, 케이리-해밀턴 정리 문장도 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr}(A^{2}\오른쪽)A-\det(A)I_{3}=O,}$

여기서 우측은 모든 항목이 0으로 감소된 3 × 3 행렬을 지정한다.마찬가지로 n = 3의 경우에서 이 결정요인은 현재

${\displaystyle {\begin}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\[5pt]&={\tfrac {1}{6}}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right).\end{정렬}}}$

이 표현식은 아래와 같이 일반적인 경우에서 λⁿ⁻³ 계수 c의_n−3 음을 나타낸다.null

마찬가지로 4×4 매트릭스 A에도 쓸 수 있다.

${\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{1}:{2}}: {\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr}(A^{2}{\bigr )}}A^{2}-{\tfrac {1}{6}}{6}}}{\bigl (}}\bigl (}\operatorname {tr}A)^{3-3\operatorname {tr}(A^{2})(\operatorname {tr}A)+2\operatorname {tr}(A^{3}){bigr )A)I_{4}=O,}$

여기서 결정인자는 c이고_n−4

${\displaystyle {\tfrac {1}{24}\!\left((\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3(\operatorname {tr} (A^{2}))^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4})\right),}$

더 큰 행렬의 경우 등등.계수 c에_k 대한 점점 더 복잡한 표현은 뉴턴의 정체성이나 Faddeev-LeVerrier 알고리즘에서 추론할 수 있다.null

행렬의 n번째 힘

케이리-해밀턴 정리는 항상 A의 힘(항상 가장 단순한 것은 아니지만) 사이의 관계를 제공하므로 A의 힘이나ⁿ A의 어떤 상위 힘을 계산하지 않고도 그러한 힘을 포함하는 표현을 단순화하고 평가할 수 있다.

예를 들어 =( 3 ) ${\$ A$={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$의 경우 정리가 다음을 제공한다.

${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}\,}$

그런⁴ 다음 A를 계산하려면 관찰하십시오.

${\displaystyle A^{3}=(5A+2)I_{2}A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2+2A=27A+10I_{2}}:$

${\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10)I_{2}A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A=145A+54I_{2}\,}$

마찬가지로,

${\displaystyle A^{-1}={\frac {A-5I_{2}}{2}}~.}$

${\displaystyle A^{-2}=A^{-1}A^{-1}={\frac {A^{2}-10A+25I_{2}}:{4}}={\frac {(5A+2I_{2})-10A+25I_{2}}:{4}}={\frac {-5A+27I_{2}}:{4}}~.}$

매트릭스 검정력을 두 용어의 합으로 작성할 수 있다는 점에 유의하십시오.실제로 어떤 순서 k의 행렬 힘은 최대 n - 1의 행렬 다항식(matrix 다항식)으로 쓸 수 있는데 여기서 n은 제곱 행렬의 크기다.이것은 캐일리-해밀턴의 정리를 매트릭스 함수를 표현하는데 사용할 수 있는 예로서, 아래에서 체계적으로 논의하기로 한다.null

행렬 함수

분석함수 부여

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\\infit }a_{k}x^{k}}}}}}$

그리고 n × n 매트릭스 A의 도 n의 특성 다항식 p(x)로 함수는 긴 나눗셈을 사용하여 표현할 수 있다.

${\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x)),}$

여기서 q(x)는 일부 지수 다항식이고 r(x)는 0 ≤ deg r(x) < n과 같은 나머지 다항식이다.

Cayley-Hamilton 정리에서는 x를 매트릭스 A로 대체하면 p(A) = 0이 되기 때문에

$[\displaystyle f(A)=r(A)]}$

따라서 행렬 A의 분석 함수는 n보다 작은 정도의 행렬 다항식으로 표현할 수 있다.

나머지 다항식은 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle r(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}.}$

p(수치) = 0이므로, A 수율의 고유값에서 함수 f(x)를 평가한다.

${\displaystyle f(\data _{i}=r(\displaystyle f)(\data _{i}=c_{0}+c_{1).}\chbda _{i}+\cdots +c_{n-1}\c_{n-1}\i}^{n-1},\qquad {\text{}{}i=1,2,...,n.}$

이는 계수 c를_i 결정하기 위해 풀 수 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 해당한다.그러므로, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}}}$

고유값이 반복되는 경우, 즉 일부 i i j에 대해 λ_i = λ_j, 두 개 이상의 방정식이 동일하므로, 선형 방정식은 고유하게 해결할 수 없다.그러한 경우 다중성 m을 갖는 고유값 λ의 경우 p(x)의 첫 번째 m – 1 파생상품은 고유값에서 사라진다.이는 추가적인 m – 1 선형 독립 솔루션으로 이어진다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}f(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}{\Big }_{x=\lambda }={\frac {\mathrm {d} ^{k}r(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}{\Big }_{x=\lambda }\qquad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,m-1,}$

다른 방정식과 결합하여 c에_i 필요한 n 방정식을 산출한다.

점(λ_ii, f(,))을 통과하는 다항식을 찾는 것은 본질적으로 보간 문제로서, 라그랑이나 뉴턴 보간 기법을 사용하여 해결할 수 있어 실베스터의 공식으로 이어진다.null

예를 들어, 태스크가 의 다항식 표현을 찾는 것이라고 가정합시다.

${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where}\qquad A={\begin{pmatrix}1&2\0&3\end{pmatrix}}.}$

특성 다항식은 p(x) = (x - 1)(x - 3) = x² - 4x + 3이고 고유값은 λ = 1, 3이다.r₀(x) = c + cx를₁ 두십시오.고유값에서 f(λ) = r(λ)를 평가하면 e^t = c₀ + c와₁ e^3t = c₀ + 3c라는₁ 두 개의 선형 방정식을 얻는다.null

방정식을 풀면 c₀ = (3e^t - e^3t)/2와 c₁ = (e^3tt - e)/2가 나온다.따라서, 그것은 다음과 같다.

${\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}c_{0}+c_{1}}&2c_{1}\\0&c_{0}+3c_{1}\end{pmatrix}}={\\\\nd{pmatrix}e^{t}-e^{3t}\0&e^{3t}\end{pmatrix}}}.}$

대신, 함수가 f(A) = sin at이었다면, 계수는₀ c = (3 sin t - sin 3t)/2 및₁ c = (sin 3t - sin t)/2가 되었을 것이고, 따라서 계수들은 c = (sin 3t - sin t)/2가 되었을 것이다.

${\displaystyle \sin(At)=c_{0}I_{2}+c_{1}}A={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin 3t-\nd{pmatrix}.}$

추가 예로서, 고려할 때

${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where}\qquad A={\begin{pmatrix}0&1\&0\end{pmatrix},}$

그러면 특성 다항식은 p(x) = x + 1이고² 고유값은 λ = ±i이다.null

이전과 같이 고유값에서 함수를 평가하면 선형 방정식^it e = c₀ = c + i c₁ 및₀ e^−it = c - ic를₁ 얻을 수 있으며, c₀ = (e^it−it + e)/2 = cos t 및 c₁ = (e^it - e^−it)/2i = sin t를 얻을 수 있다.그러므로, 이 경우에 있어서

${\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\-\sin t&\cos t&\end{pmatrix},}$

회전 행렬이야null

그러한 용도의 표준 예로는 매트릭스 리 그룹의 리 대수에서 그룹으로의 지수적 지도가 있다.매트릭스 지수(matrix expective)에 의해 주어지며

${\displaystyle \exp :{\mathfak{g}\오른쪽 화살표 G;\qquad tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\inflit }{\frac {t^{n}X^{n}}}}{n!}}}=I+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}:{2}}+\cdots,t\in \mathbb {R},X\in {\mathfrak {g}.}$

그러한 표현은 오랫동안 SU(2)로 알려져 있다.

${\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {n}\cdot \cdma )}=I_{2}\cos \theta /2+i({\hat {n}\cdot \sigma )\sin \theta /2,}$

여기서 σ은 Pauli 행렬이고 SO(3),

${\displaystyle e^{i\theta({\hat {n}}\cdot \mathbf {J}}}=I_{3}+i({\hat {n}\cdot \mathbf {J} )\sin \thin \theta +({\hat {n}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1),}$

로드리게스의 회전식이야표기법은 Lie Algebras의 3D 회전 그룹#A note를 참조하십시오.null

보다 최근에는 GL(n,^[11] R)뿐만 아니라 로렌츠 그룹 SO(3, 1,), O(4,^[12] 2)와 SU(2, 2)와 같은 다른 그룹에 대해서도 표현이 등장하고 있다.^[13][14]그룹 O(4, 2)는 O(4, 2)의 연결 구성요소 SO⁺(4, 2)의 단순 연결 커버인 SU(2, 2)와 일치한다.얻은 표현은 이러한 집단의 표준 표현에 적용된다.이들은 지수화할 행렬의 고유값에 대한 지식이 필요하다.SU(2)(따라서 SO(3)의 경우, 모든 되돌릴 수 없는 표현(즉, 스핀)에 대해 닫힌 표현을 얻었다.^[15]null

대수적 수 이론

케이리-해밀턴 정리는 대수 정수의 최소 다항식 계산에 효과적인 도구다.For example, given a finite extension ${\displaystyle \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$ of ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ and an algebraic integer ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$ which is a non-zero linear$\alpha {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1n\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$$$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha k}_{}}_{}^{}}$ k ${\$$$$_{k}^{n_{$k}}}}의 조합으로$$Q {\$displaystyle$ \$mathB}-$line$$ 변환을 나타내는 행렬을 찾아 α의$$ $최소{\displaystyle }$ 다항식을 계산할 수 있다$.$

${\displaystyle \cdot \alpha :\mathb {Q}[\alpha _{1},\alpha _{k}]\mathb {Q}[\alpha _{1},\ldots,\alpha _{k}]}}$

만약 우리가 이 변환 매트릭스를 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$이라고 부른다면, 우리는 Cayley-Hamilton 정리를 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 적용함으로써 최소한의 다항식을 찾을 수 있다$.$^[16]

교정쇄

케이리-해밀턴 정리는 대수적으로 폐쇄된 분야보다 행렬에 대한 요르단 정규 형태의 존재의 즉각적인 결과물이다.이 절에서는 직접 증거를 제시한다.null

위의 예에서 알 수 있듯이, n × n 행렬에 대한 Cayley-Hamilton 정리의 진술을 획득한다.

${\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n}}}$

두 단계가 필요하다. 먼저 특성 다항식의 계수 c는_i 결정인자의 t에서 다항식의 개발에 의해 결정된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\det(tI_{n}-A)={\begin{vmatrix}t-a_{1,1}&-a_{1,2}&\cdots &-a_{1,n}\\-a_{2,1}&t-a_{2,2}&\cdots &-a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n,1}&-a_{n,2}&\cdots &t-a_{n,n}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0},\end{aligned}}}$

그리고 다음 계수는 n × n 0 행렬과 동일한 A의 힘의 선형 조합에 사용된다.

${\displaystyle A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}}A+c_{0}I_{n}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\\vdots &\nd{pmatrix}.}$

왼쪽은 항목 A의_i,j 집합에서 (궁극적인) 다항식인 n × n 행렬로 계산할 수 있으므로, Cayley-Hamilton 정리에서는 이러한 n의² 각각이 0과 같다고 기술한다.n의 어떤 고정된 가치에 대해, 이러한 정체성은 지루하지만 간단한 대수학적 조작에 의해 얻을 수 있다.그러나 이러한 계산 중 어느 것도 Cayley-Hamilton 정리가 가능한 모든 크기의 행렬에 유효해야 하는 이유를 보여줄 수 없으므로, 모든 n에 대해 통일된 증거가 필요하다.null

예선

크기 n의 벡터 v가 고유값 λ을 가진 A의 고유 벡터인 경우, 즉 A⋅v = λv인 경우

${\displaystyle {\begin}p(A)\cdot v&=A^{n}\cdot v+c_{n-1}A^{n-1}A^{n-1}\cdot v+\cdots +1}}A\cdot v+c_{0}I_{n}\cdot v\\[6pt]&=\lambda ^{n}v+c_{n-1}\lambda ^{n-1}\lambda ^{n-1}v+\c_{0}v=p(\lambda )v,\end{liged}}}}}}}}}}}}}$

p(λ) = 0(A의 고유값은 정확히 p(t)의 뿌리임)이기 때문에 0 벡터가 된다.이는 가능한 모든 고유값 λ에 대해 유지되므로, 정리에 의해 동일해진 두 행렬은 어떤 고유 벡터에 적용할 때 확실히 동일한 (null) 결과를 제공한다.이제 A가 고유 벡터의 기초를 인정하면, 다시 말해서 A가 대각선으로 가능하면, Cayley-Hamilton 정리는 A를 위해 유지되어야 하는데, 그 이유는 기초의 각 요소에 적용할 때 동일한 값을 주는 두 행렬이 같아야 하기 때문이다.null

${\displaystyle A=XDX^{-1},\quad D=\operatorname {diag}(\lambda _{i}),\quad i=1,2,...,n}$

${\displaystyle p_{A}(\lambda )= \lambda I-A =}$ product of eigenvalues of ${\displaystyle \lambda I-A=\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})\equiv \sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$

${\displaystyle p_{A}(A)=\sum c_{k}A^{k}=XP_{A}(D)X^{-1}=XCX^{-1}$

${\displaystyle C_{i}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda_\prod_{j=1}^{j=0(\lambda _{j}-\qquad C_{i,j\neq=0}}}}}}$

${\displaystyle \fore p_{A}(A)=XCX^{-1}=O.}$

Consider now the function ${\displaystyle e\colon M_{n}\to M_{n}}$ which maps n × n matrices to n × n matrices given by the formula ${\displaystyle e(A)=p_{A}(A)}$, i.e. which takes a matrix ${\displaystyle A}$ and plugs it into its own characteristic polynomial.모든 매트릭스, 복잡한 계수가 매트릭스의 그들의 많은: 그러한 모든 광장 matrices[17]의 세트에서 주어진 크기의diagonalizable 복잡한 사각형 매트릭스의 집합 D{D\displaystyle}은 울창한(에 대한 매트릭스가 예를 들어 그것의 고유 다항식은 없충분diagonalizable야 한다diagonalizable 있다.my초근(초근)이다.${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 함수${\displaystyle }$e : C ${\displaystyle {{n\mathrm{}}^{}}^{}}$2 → ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\$e\$colon \mathb {C}$^{$n^{$2}}\$to \mathb {C}$^{$n^{2$매트릭스에는 ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$개 항목이$$ 있기 때문에) 이 함수는 연속임을 알 수 있다.이것은 행렬의 영상의 항목이 행렬의 항목에서 다항식으로 주어지기 때문에 사실이다.이후

${\displaystyle e(D)=\left\{\\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\dddots &\nd{pmatrix}\right\}}}$

그리고 세트 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 조밀하므로 연속성에 의해 이 함수는 n × n 행렬의 전체 집합을 0 행렬에 매핑해야 한다.따라서 Cayley-Hamilton 정리는 복잡한 숫자에 대해 참이며, 따라서 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$- $또는{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ - 값$$ 매트릭스를 위해 유지되어야 한다.null

이것이 유효한 증거를 제공하지만, 그 주장은 그다지 만족스럽지 않다. 왜냐하면, 정리로 대표되는 정체성은 어떤 식으로든 매트릭스의 성질(대각 가능 여부)이나 허용된 입력의 종류(실제 입력이 있는 행렬의 경우 대각 가능 가능 항목이 밀집된 집합을 형성하지 않으며, 이는 이상한 것으로 보이기 때문이다.e Cayley-Hamilton의 정리가 이들을 지탱하고 있음을 확인하기 위해 복잡한 행렬을 고려한다).따라서 우리는 이제 대수적 조작만을 사용하여 매트릭스에 대해 직접 정리를 증명하는 주장만을 고려해야 한다; 이것들은 또한 모든 정류 링에 입력된 매트릭스에 대해 작업하는 이점이 있다.null

케이리-해밀턴 정리에 대한 그러한 증명들은 매우 다양하며, 그 중 몇 가지가 여기에서 주어질 것이다.그들은 증거를 이해하는 데 필요한 추상 대수학의 개념에 따라 다르다.가장 간단한 증명은 정리(수치, 숫자 입력, 결정인자를 포함한 다항식)를 공식화하는 데 필요한 개념만 사용하지만, 정확한 결론으로 이끈다는 사실을 다소 신비하게 만드는 기술적 계산을 포함한다.그러한 세부 사항은 피할 수 있지만, 보다 미묘한 대수 개념들을 수반하는 가격으로, 즉 비계산 링에 계수가 있는 다항식 또는 특이한 종류의 입력이 있는 행렬을 포함한다.null

애드주게이트 행렬

아래의 모든 증거는 공 인자 행렬의 전치인 n × n 행렬 M의 애드주게이트 행렬 보조(M) 개념을 사용한다.이 행렬은 M의 계수(사실상 특정 (n - 1)× (n - 1) 결정인자에 의해) 다항식 식에 의해 계수가 주어지는 행렬로서 다음과 같은 근본적인 관계가 유지되도록 한다.

${\displaystyle \operatorname {adj}(M)\cdot M=\det(M)I_{n}=M\cdot \operatorname {adj}(M)~.}$

이러한 관계는 결정요인의 기본 속성의 직접적인 결과물이다: 왼쪽의 매트릭스 제품의 (i, j) 입력을 평가하면 m에서 얻은 매트릭스 결정요인의 (i, j) 열 j를 column j의 복사본으로 대체하여 확장하는 것으로, i = j, 그렇지 않으면 0이면 det(M)이고 오른쪽의 매트릭스 제품이다.비슷한데, 행에 의한 확장의 경우.null

단지 대수적 표현 조작의 결과로서, 이러한 관계는 모든 정류 링에 입력된 행렬에 유효하다(우선 결정요인을 정의하기 위해 커밋율을 가정해야 한다).다항식 등 숫자가 아닌 항목이 있는 행렬에 대해서는 아래에 이러한 관계가 적용되므로 이 점에 유의해야 한다.null

직접 대수적 증거

이 증거는 케이리-해밀턴 정리: 다항식을 항목으로 하는 행렬을 공식화하는 데 필요한 종류의 물체만을 사용한다.A의 특성 다항식이 결정인 행렬 t_n I - A는 그러한 행렬이며, 다항식이 정류 링을 형성하기 때문에 애드주게이트가 있다.

${\displaystyle B=\operatorname {adj}(tI_{n}-A).}$

그렇다면 애드주게이트의 우파적 근본적 관계에 따라, 한 사람이 가지고 있다.

${\displaystyle(tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}}$

또한 B는 다항식 t를 항목으로 하는 행렬이므로, 각 항목에서 t의 ⁱ 계수를 수집하여 숫자 행렬 B를_i 형성할 수 있다.

${\displaystyle B=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}.}$

(B의 입력 내용이 정의되는 방법은 t보다 ⁿ⁻¹ 높은 힘은 발생하지 않음을 명확히 한다.)이것이 계수로 행렬이 있는 다항식처럼 보이지만, 그러한 개념을 고려해서는 안 된다; 그것은 단지 다항식 입력이 있는 행렬을 n개의 상수 행렬의 선형 조합으로 작성하는 방법일 뿐이며, 계수 t는 ⁱ 이 관점을 강조하기 위해 행렬의 왼쪽에 쓰여졌다.null

이제, 우리는 이선성을 통해 우리 방정식의 매트릭스 제품을 확장할 수 있다.

${\displaystyle {\paired}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i_{i}\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{n-1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i}-AB_{0}).\end{정렬}}}$

글쓰기

$[\displaystyle p(t)]I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}}}I_{n}+c_{0}I_{n}}$

t 검정력을 계수로 하는 상수 행렬의 선형 조합으로 작성된 다항식 항목이 있는 두 행렬의 동일성을 얻는다.null

그러한 동등성은 어떤 행렬 위치에서 주어진 ⁱ 검정력 t를 곱한 입력이 양쪽에서 동일한 경우에만 지탱할 수 있다. 두 식에 계수 t를 ⁱ 갖는 상수 행렬은 같아야 한다.이 방정식들을 n에서 0까지 작성하면, 사람들은 발견한다.

${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad{{1}\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}에 대해 {\text{\text}I_{n}}$

마지막으로, 왼쪽에서 ⁱ t의 계수 방정식을ⁱ A로 곱하고, 다음과 같이 합한다.

${\textstyle A^{n}B_{n-1}+\sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}}A+c_{0}I_{n}}$

왼쪽 측면은 텔레스코핑 합계를 형성하고 완전히 취소하며, 오른쪽 ${\displaystyle \mathrm{측면}}$은 p (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ p$(A)}$에 추가된다$.$

$#\displaystyle 0=p(A)}$

이것으로 증거가 완성되었다.null

행렬 계수가 있는 다항식을 사용하는 증거

이 증명은 첫 번째 증상과 비슷하지만, 그 증명에 나타난 표현으로 제시된 행렬 계수를 가진 다항식 개념에 의미를 부여하려고 한다.이것은 비확정 링에 계수가 있는 다항식을 고려하는 것은 다소 이례적이며, 이 설정에서 역교정 다항식에 유효한 모든 추론을 적용할 수 있는 것은 아니기 때문에 상당한 주의가 필요하다.null

특히, 정류 링에 대한 다항식 산술은 다항식 함수의 산술을 모델링하지만, 이것은 비정렬 링에 대한 경우는 아니다(사실 이 경우 곱셈에 따라 닫히는 다항식 함수의 명확한 개념은 없다).따라서 행렬 계수가 있는 t에서 다항식을 고려할 때 변수 t는 "알 수 없는" 것으로 생각할 것이 아니라 주어진 규칙에 따라 조작되어야 하는 형식적인 기호로 생각해야 한다. 특히 t를 특정 값으로 설정할 수는 없다.null

${\displaystyle (f+g)(x)=\sum _{i}\좌(f_{i}+g_{i}\오른쪽)x^{i}=\sum _{i}{f_{i}x^{i}}}}}}}{i}x^{i}}}=f(x)+g(x)(x)}$

$M{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle M(n,R)}$을(를) 원소로 A를 가지는 일부 링 R(예: 실제 또는 복잡한 번호)에 항목이 있는 n × n 행렬의 링이 되도록$$ 한다.첫 번째 교정에서 계수 다항식을 t에 계수로 사용하는 행렬($예{\displaystyle }$: t ${\displaystyle I_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle A}$ ${\$$displaystyle$ $tI_{n}-A}$ 또는$$ 해당 애드주게이트 B)는 $, R[t])$의 요소들이다$.$

t의 동일한 힘을 수집함으로써, 그러한 행렬은 계수로 일정한 행렬을 가진 t의 "폴리놈"으로 쓸 수 있다. 그러한 다항식 집합에$$ 대해 $M{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$[${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle M (n,R)[]}$을 쓴다.이 세트는 $M{\displaystyle (n}$, R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ])}$ ${\displaystyle M(n,R[t])}$과$($와)의 바이어싱에 있으므로, 그에 대한 산술 연산을 적절히 정의하는데, 특히 곱셈은 다음과 같다.

$\displaystyle \left(\sum _{i}M_{i}t^{i}\오른쪽)\!\!\좌(\sum _{j}N_{j}t^{j}\오른쪽)=\sum _{i,j}(M_{i}N_{j}t^{i+j}}}}}$

두 피연산자의 계수 행렬의 순서를 존중한다. 명백히 이것은 비확정 곱셈을 제공한다.null

그러므로, 정체성은

${\displaystyle(tI_{n}-A)B=p(t)I_{n}}$

첫 번째 증거로부터 M${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle R}$) [${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle M(n,R)[t]}$의 요소 곱셈을 포함하는 것으로 볼 수 있다.$$

이 시점에서 단순히 t를 왼쪽의 첫 번째 인자를 0 행렬과 같게 하고, 오른쪽은 p(A)와 같게 하는 행렬 A와 같게 설정하는 것이 유혹적이지만, 계수가 통근하지 않을 때는 허용 연산이 아니다.각 t를 ⁱ A의 매트릭스 전력 A로ⁱ 대체하는 「우측 평가 지도」 ev_A : M[t ] → M을 정의할 수 있다. 여기서 해당 계수에 대한 우측에 항상 전력을 곱해야 한다고 규정한다.그러나 이 지도는 고리 동형성이 아니다: 어떤 제품에 대한 올바른 평가는 일반적으로 올바른 평가의 산물과 다르다.This is so because multiplication of polynomials with matrix coefficients does not model multiplication of expressions containing unknowns: a product ${\displaystyle Mt^{i}Nt^{j}=(M\cdot N)t^{i+j}}$ is defined assuming that t commutes with N, but this may fail if t is replaced by the matrix A.null

위의 우측 평가 지도는 행렬 A가 계수 링의 중심에 있으면 고리 동형성이 되어 모든 다항식 계수와 통근하기 때문에(정확히 이것을 증명하는 주장은 c로 통근하기 때문에) 당면한 특정 상황에서 이러한 어려움을 해결할 수 있다.오효과는 이제 평가 후에 정당화된다).null

이제 A가 항상 M의 중심에 있는 것은 아니지만, M이 해당 다항식의 모든 계수를 포함하고 있다면 우리는 M을 더 작은 링으로 대체할 수 있다.${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ A 및 다항식 B의 $계수{\displaystyle {}_{}}$ B i ${\$그러한 서브링에 대한 분명한 선택은 A의 중앙집중기 Z이며, A와 함께 통근하는 모든 행렬의 서브링이다. 정의상 A는 Z의 중심에 있다.null

이 중앙집중제는 분명히 ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$와$$A를 포함하고 있지만, 하나는 행렬 ${\displaystyle B_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 포함하고 있다는 것을 보여 주어야 한다$.$ 이를 위해 애드주게이트 B를 다항식으로 작성하면서 애드주게이트 B를 다음과 같이 두 가지 기본적인 관계를 결합한다.

${\displaystyle {\displaystyle}\왼쪽(\sum _{i=0}^{m)}}B_{i}t^{i}\right)\!(t)I_{n}-A)&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}\\sum _{i=0}^{m}}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}.\end{정렬}}}$

계수를 동일시하면 각 i에 대해 원하는 대로 AB_i = BA가_i 있음을 알 수 있다.ev가_A 실제로 반지의 동형상이라는 적절한 설정을 찾으면 위에 제시된 대로 증거를 완성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}\operatorname {ev} _{A}\왼쪽(p(t)I_{n}\오른쪽)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)B)\\[5pt]p(A)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}\[5pt]p(A)&=(AI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev}_{A(}}}B)_{A}O\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O.\end{정렬}}}$

이것으로 증거가 완성되었다.null

처음 두 개의 교정쇄의 합성

첫 번째 증거에서는 애드주게이트에 대한 우측 기본적 관계를 기준으로 B의 계수_i B를 결정할 수 있었다.사실 첫 번째 도출된 n 방정식은 단항 It_n - A에 의해 왼쪽의 다항 p(t)I의_n 유클리드 분할의 몫 B를 결정하는 것으로 해석할 수 있으며, 최종 방정식은 나머지가 0이라는 사실을 나타낸다.이 분할은 행렬 계수가 있는 다항식 링에서 수행된다.실제로 비확정 링을 통해서도 단일 다항식 P에 의한 유클리드 분할은 정의되며, P를 어느 쪽이 인자가 되고 싶은지(여기 왼쪽)에 명시되어 있는 한, 항상 교화 사례와 동일한 정도 조건의 고유한 몫과 나머지를 산출한다.null

To see that quotient and remainder are unique (which is the important part of the statement here), it suffices to write ${\displaystyle PQ+r=PQ'+r'}$ as ${\displaystyle P(Q-Q')=r'-r}$ and observe that since P is monic, P(Q−Q′) cannot have a degree less than that of P, unless Q = Q′.null

그러나 배당금 p(t)I와_n 배당금_n It - 여기서 사용되는 A는 모두 서브링(R[A]][t]에 있으며, 여기서 R[A]은 A의 모든 파워의 R-선형 스팬에 의해 생성되는 매트릭스 링 M(n, R)의 서브링이다.따라서 유클리드 사단은 실제로 그 교환적 다항식 고리 내에서 수행될 수 있으며, 그 다음에는 물론 더 큰 링에서와 동일한 B와 나머지 0을 부여한다. 특히 이것은 B가 실제로 (R[A]][t]에 있음을 보여준다.null

단, 이 정류적 설정에서는 t를 등식에서 A로 설정하는 것이 유효하다.

$[\displaystyle p(t)]I_{n}=(tI_{n}-A)B;}$

즉, 평가 맵을 적용하기 위해

${\displaystyle \operatorname {ev} _{A:(R[A])[t]\to R[A]}$

반지의 동형상이고, 주는 것

${\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0}$

두 번째 증거처럼, 원하는 대로.null

위의 주장은 정리를 증명하는 것 외에도 B의 계수 B가_i A의 다항식이라는 것을 말해주는 반면, 우리는 두 번째 증거로부터 그것들이 A의 중심자 Z에 있다는 것만 알았다; 일반적으로 Z는 R[A]보다 큰 하위 문자열이며, 반드시 상응하지는 않다.특히 B₀ = 조정(-A)이라는 상수 항은 R[A]에 있다.A는 임의의 정사각형 행렬이므로, 이는 조정(A)이 항상 A(A에 의존하는 계수를 갖는)에서 다항식으로 표현될 수 있음을 증명한다.null

실제로 첫 번째 증거에서 발견된 방정식은 ${\displaystyle {Bn}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 A에서 다항식으로 연속적으로$$ 표현할 수 있게 하여 정체성을 유도한다.

모든 n × n 행렬에 대해 유효하며, 여기서

${\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0}}$

A의 특징적인 다항식이다.

이 정체성은 또한 Cayley-Hamilton 정리의 진술도 함축하고 있다는 점에 유의하십시오. 하나는 오른손 쪽으로 움직이고, 그 결과 방정식은 (왼쪽이나 오른쪽)에 A를 곱하고, 다음 사실을 사용할 수 있다.

${\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj}(-A)=\operatorname {adj}(-A)\cdot(-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}}$

내형성 행렬을 이용한 증거

위에서 언급한 바와 같이, 정리표시의 매트릭스 p(A)는 우선 결정요소를 평가한 다음 매트릭스 A를 t로 대체함으로써 얻는다. 결정요소를 평가하기 전에$$ 매트릭스 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}A}$ ${\displaystytle$ tI_{n$}-A}$로 대체하는 것은 의미가 없다.그럼에도 불구하고 p(A)를 특정 결정요인의 값으로 직접 얻는 해석은 가능하지만, ${\displaystyle {\mathrm{이것}}_{}}$은 A의 항목 A${\displaystyle {}_{}}i{\displaystyle {}_{}}$, j ${\$와 A의 모든 항목을 해석할 수 있는 링 위의 행렬 중 하나인 보다 복잡한 설정이 필요하다.이를 위해 R에 걸쳐 n × n 행렬의 링 M(n, R)을 가져갈 수 있으며, ${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서 항목 $A{\displaystyle {}_{,}}$ $,$ ${\$ A를 ${\displaystyle {A,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, ${\displaystyle I_{}}$로 실현한다$$.그러나 행렬이 있는 행렬을 항목으로 고려하는 것은 잘못된 결정 인자의 개념을 제공하는 것처럼 의도되지 않은 블록 행렬과 혼동을 일으킬 수 있다(매트릭스의 결정 인수는 항목의 제품 합으로 정의되며 블록 행렬의 경우 이는 일반적으로 해당 생산 합계와 동일하지 않다).그 블록의 cts!)A를 기초${\displaystyle {}_{}{e\mathrm{}}_{}}$ 1, …${\displaystyle }$, e ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle e_{$1},\$ldots ,e_{n}$에서 정의한 n차원 벡터 공간 V(또는 R이 필드가 아닌 경우 자유 R-모듈)의 내형성 from과 구별하고$,$ 그러한 모든 내형성의 링 End(V) 위로 행렬을 취하는 것이 더 명확하다.Then φ ∈ End(V) is a possible matrix entry, while A designates the element of M(n, End(V)) whose i, j entry is endomorphism of scalar multiplication by ${\displaystyle A_{i,j}}$; similarly ${\displaystyle I_{n}}$ will be interpreted as element of M(n, End(V)).단, End(V)는 정류 링이 아니므로, M(n, End(V)에 결정요소가 정의되지 않는다. 이는 End(V)의 정류 서브링 위에 있는 행렬에 대해서만 수행할 수 있다.이제 매트릭스 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi I_{n$}-A$}$의 항목은 모두$$ ID와 φ에 의해 생성된 서브링 R[φ]에 위치하며, 이는 역호작용이다.Then a determinant map M(n, R[φ]) → R[φ] is defined, and ${\displaystyle \det(\varphi I_{n}-A)}$ evaluates to the value p(φ) of the characteristic polynomial of A at φ (this holds independently of the relation between A and φ); the Cayley–Hamilton theorem states that p(φ) is the null endomorphism.null

이 형식에서는 (Atiyah & MacDonald 1969, prop. 2.4) 의 그것으로부터 다음과 같은 증거를 얻을 수 있다(실제로 나카야마 보조마사와 관련된 보다 일반적인 진술이다; 그 명제에서는 전체 링 R의 이상을 취한다).A가 basis e₁, ..., e의_n φ의 행렬이라는 사실은 다음을 의미한다.

${\displaystyle \varphi(e_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{j,i}e_{j}\quad {\text{}}{}i=1,\ldots,n.}$

이를 V의 ⁿ 한 방정식의 n 성분으로 해석할 수 있는데, 그 구성원은 평소와 같이 정의된 매트릭스 벡터 제품 M(n, End(V) × V → V ⁿ → V를 ⁿ 사용하여 작성할 수 있지만, 개별 항목 ψ End(V)와 V는 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty \psi(v)$를 구성하여 "복제"하는 경우 다음과 같다$.$

${\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\\operatorname {tr} }\cdot E,}$

여기서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ V$^{n}}$는 구성 요소 i가 e인_i 요소(즉, 벡터 열로 작성된 V의 기본 e₁, ..., e_n)이다$$.이 방정식을 다음과 같이 쓰는 것

${\displaystyle(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr}}}\cdot E=0\in V^{n})$

$상기에$서 고찰한$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle n}$- A {\$displaystyle \varphi I_{n}-$A}의 전이를 인식하고, 그 결정인자(M(n, R[[]의 요소로서)도 p(()이다.이 방정식에서 p( 0) = 0 ( End(V)를 도출하려면, 매트릭스 링 M(n, R[φ]에 정의된 $ad{\displaystyle }$ ${\displaystyle I_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {\mathrm{tr}}^{}}$ ${\$의 애드주게이트 행렬에 의한 좌승수 1개가 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot ((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E)\\&=(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }))\cdot E\\&=(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n}\cdot E\\&=(p(\varphi )I_{n}\cdot E;\end{aigned}}$

첫 번째 단계에서 사용된 매트릭스-스위스 및 매트릭스-스위스 곱셈의 연관성은 입력의 성격과 무관하게 해당 연산의 순수하게 형식적인 속성이다.이제 이 방정식의 성분 i는 p(()가_i 0 ∈ V로 나타나므로 p(φ)는 모든_i e에서 사라지며, 이러한 원소가 V를 생성하기 때문에 p(φ) = 0 ∈ End(V)를 따라 증거를 완성한다고 말한다.null

이 증명에 따르는 한 가지 추가적인 사실은 특성 다항식이 취해진 행렬 A가 해당 다항식으로 대체된 값과 동일할 필요가 없다는 것이다. 즉, 초기 방정식을 만족하는 V의 내형성이라는 것으로 충분하다.

${\displaystyle \varphi(e_{i}}=\sum _{j}A_{j,i}e_{j}}}}}$

V를 생성하는 요소 e₁, ..., e의_n 일부 시퀀스(n보다 작은 치수를 가질 수 있는 공간 또는 링 R이 필드가 아닌 경우 자유 모듈이 아닐 수 있음)에 대해.null

가짜 "증명" = p(A) = det(AI_n - A) = det(A - A) = 0

한 가지 끈질긴 초급하지만 정리에 대한 잘못된 주장은^[18] 정의를 "간단히" 취하는 것이다.

${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$

obtaining을 대신하여 A를 얻음

$\displaystyle p(A)=\det.AI_{n}-A)=\det(A-A)=\det(\mathbf {0} )=0.}$

이 주장이 왜 틀렸는지 알 수 있는 방법은 여러 가지가 있다.첫째, Cayley-Hamilton 정리에서는 p(A)는 n × n 행렬이다.그러나 위의 방정식의 오른손은 결정인자의 값인데, 이것은 스칼라다.따라서 n = 1(즉, A는 스칼라일 뿐이다)이 아니면 동일시할 수 없다.둘째, ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \det(\lambda I_{n}-A$라는 표현식에서 변수 λ은 실제로 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ - ${\displaystyle A}$ -$\displaystyle \lambda I_{n}-A}$ 행렬의 대각 항목에서 발생한다$.$ 예를 들어, 앞의 다항목을 다시 고려하십시오.

${\displaystyle \det \!{\\pmatrix}\ftda -1&-2\\-3&\nd{pmatrix}.}$

만일 그 위치에서 전체 행렬 A를 λ으로 대체하면, 그 매트릭스 A를 얻는다.

${\displaystyle \det \!{\pmatrix}{pmatrix}1&2\\3&#4\end{pmatrix}-1&-2\\\3\\\nd{pmatrix}1&#2\3&#4\end{pmatrix},}},}$

"유효한" 표현은 단순히 유효하지 않은 표현단, 스칼라(scalar)가 스칼라(scalar) 대신 ID(identity) 매트릭스의 배수를 상기에서 빼는 경우, 즉, 치환(substitution)이 다음과 같이 수행되는 경우에 유의한다.

${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}-I_{2}&-2I_\-3I_{2}&{\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}-4I_{2}\end{pmatrix},}$

그러면 결정요소는 실제로 0이지만, 문제의 확장된 매트릭스는 A ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ - ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AI_{n}-A}$에 대해 평가하지 않으며$,$ 결정요인(스칼라)을 p(A) (매트릭스)와 비교할 수도 없다.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ p${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle det}$( ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(A)=\det($Detail)이라는 인수$AI_{n}-A)=0}$은(는) 여전히$$ 적용되지 않는다.null

실제로 그러한 주장이 유효하다면 결정요소가 아닌 다른 다선형도 보유해야 한다.For instance, if we consider the permanent function and define ${\displaystyle q(\lambda )=\operatorname {perm} (\lambda I_{n}-A)}$, then by the same argument, we should be able to "prove" that q(A) = 0. But this statement is demonstrably wrong: in the 2-dimensional case, for instance, the permanent of a m에트릭스는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \pmatrix}{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad+bc.}$

앞의 예에서 매트릭스 A의 경우

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\lambda )&=\operatorname {perm} (\lambda I_{2}-A)=\operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\[6pt]&=(\lambda -1)(\lambda -4)+(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda +10.\end{정렬}}}$

아직까지는 증명할 수 있다

$[\displaystyle q(A)=]A^{2}-5A+10I_{2}=12I_{2}\not =0.}$

위의 Cayley-Hamilton 정리에 대한 증명들 중 $하나$는${\displaystyle }$p (${\displaystyle A}$) = ${\displaystyle det}$ ${\displaystyle (A_{}}$n -${\displaystyle A}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle p(A)=\det($Detail)이라는 주장과 어느 정도 유사성을 가지고 있다.$AI_{n}-A)=0$ 숫자가 아닌 계수를 가진 매트릭스를 도입함으로써 실제로 A를 매트릭스 항목 안에 살게 할 수 있지만, 그 다음 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$는 A와 같지 않고, 결론은 다르게 도출된다.null

추상대수법을 이용한 증명

외부 $대수학{\displaystyle }$ A =${\displaystyle m}$ M ${\displaystyle$ A$=\bigwedge M}$의 일부 B-module M(자유롭고 유한한 등급으로 제공됨)에$$ 대한 Hasse-Schmidt 파생의 기본 속성은 Gatto & Salehyan(2016, §4)이 Cayley-Hamilton 정리를 입증하기 위해 사용하였다.Gatto & Scherbak(2015)도 참조하십시오.null

추상화 및 일반화

위의 증거는 케이리-해밀턴 정리가 모든 정류 링 R에 입력된 행렬을 유지하고 있으며, p(φ) = 0은 φ이 원소에 의해 생성되는 R-모듈의 내형성일 때마다 유지된다는 것을 보여준다_1n.

${\displaystyle \varphi(e_{j}}=\sum a_{ij}e_{i}},\qquad j=1,\ldots,n.}$

이와 같이 보다 일반적인 형태의 정리는 역학 대수와 대수 기하학에서 유명한 나카야마 보조정리법의 원천이다.null

참고 항목

• 동반행렬

언급

메모들

참조

• Alagös, Y.; Oral, K.; Yüce, S. (2012). "Split Quaternion Matrices". Miskolc Mathematical Notes. 13 (2): 223–232. doi:10.18514/MMN.2012.364. ISSN 1787-2405 (열린 액세스)
• Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Barut, A. O.; Zeni, J. R.; Laufer, A. (1994a). "The exponential map for the conformal group O(2,4)". J. Phys. A: Math. Gen. 27 (15): 5239–5250. arXiv:hep-th/9408105. Bibcode:1994JPhA...27.5239B. doi:10.1088/0305-4470/27/15/022.
• Barut, A. O.; Zeni, J. R.; Laufer, A. (1994b). "The exponential map for the unitary group SU(2,2)". J. Phys. A: Math. Gen. 27 (20): 6799–6806. arXiv:hep-th/9408145. Bibcode:1994JPhA...27.6799B. doi:10.1088/0305-4470/27/20/017. S2CID 16495633.
• Bhatia, R. (1997). Matrix Analysis. Graduate texts in mathematics. Vol. 169. Springer. ISBN 978-0387948461.
• Brown, Lowell S. (1994). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3.
• Cayley, A. (1858). "A Memoir on the Theory of Matrices". Philos. Trans. 148.
• Cayley, A. (1889). The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley. (Classic Reprint). Vol. 2. Forgotten books. ASIN B008HUED9O.
• Crilly, T. (1998). "The young Arthur Cayley". Notes Rec. R. Soc. Lond. 52 (2): 267–282. doi:10.1098/rsnr.1998.0050. S2CID 146669911.
• Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". SIGMA. 10 (2014): 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID 18776942.
• Frobenius, G. (1878). "Ueber lineare Substutionen und bilineare Formen". J. Reine Angew. Math. 1878 (84): 1–63. doi:10.1515/crll.1878.84.1.
• Gantmacher, F.R. (1960). The Theory of Matrices. NY: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1376-8.
• Gatto, Letterio; Salehyan, Parham (2016), Hasse–Schmidt derivations on Grassmann algebras, Springer, doi:10.1007/978-3-319-31842-4, ISBN 978-3-319-31842-4, MR 3524604
• Gatto, Letterio; Scherbak, Inna (2015), Remarks on the Cayley-Hamilton Theorem, arXiv:1510.03022
• Garrett, Paul B. (2007). Abstract Algebra. NY: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1584886891.
• Hamilton, W. R. (1853). Lectures on Quaternions. Dublin.
• Hamilton, W. R. (1864a). "On a New and General Method of Inverting a Linear and Quaternion Function of a Quaternion". Proceedings of the Royal Irish Academy. viii: 182–183. (1862년 6월 9일 방송)
• Hamilton, W. R. (1864b). "On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear Operation in Quaternions". Proceedings of the Royal Irish Academy. viii: 190–101. (1862년 6월 23일 방송)
• Hou, S. H. (1998). "Classroom Note: A Simple Proof of the Leverrier--Faddeev Characteristic Polynomial Algorithm". SIAM Review. 40 (3): 706–709. Bibcode:1998SIAMR..40..706H. doi:10.1137/S003614459732076X. "클래스룸 노트:레버리지-파드데프 특성 다항 알고리즘의 간단한 입증"
• Hamilton, W. R. (1862). "On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation which is satisfied by the Symbol of Linear or Distributive Operation on a Quaternion". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. series iv. 24: 127–128. ISSN 1478-6435. Retrieved 2015-02-14.
• Householder, Alston S. (2006). The Theory of Matrices in Numerical Analysis. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486449722.
• Laufer, A. (1997). "The exponential map of GL(N)". J. Phys. A: Math. Gen. 30 (15): 5455–5470. arXiv:hep-th/9604049. Bibcode:1997JPhA...30.5455L. doi:10.1088/0305-4470/30/15/029. S2CID 10699434.
• Tian, Y. (2000). "Matrix representations of octonions and their application". Advances in Applied Clifford Algebras. 10 (1): 61–90. arXiv:math/0003166. CiteSeerX 10.1.1.237.2217. doi:10.1007/BF03042010. ISSN 0188-7009. S2CID 14465054.
• Zeni, J. R.; Rodrigues, W.A. (1992). "A thoughtful study of Lorentz transformations by Clifford algebras". Int. J. Mod. Phys. A. 7 (8): 1793 pp. Bibcode:1992IJMPA...7.1793Z. doi:10.1142/S0217751X92000776.
• Zhang, F. (1997). "Quaternions and matrices of quaternions". Linear Algebra and Its Applications. 251: 21–57. doi:10.1016/0024-3795(95)00543-9. ISSN 0024-3795 (열린 보관소).

외부 링크

• "Cayley–Hamilton theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 플래닛매트릭스의 증거.
• 캐일리-해밀턴 정리