텔레스코핑 시리즈

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수학에서 텔레스코핑 ${\displaystyle {시리즈}_{}}$는 $t{\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$$$= ${\displaystyle n_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{\mathrm{n}}_{}}$+ 1 ${\$즉 시퀀스$({\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (a_{n}}})$의 연속된 두 항의 차이인$$ 시리즈다$.$^{[citation needed]}

따라서 부분 합계는 취소 후$$${\displaystyle }$(${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (a_{n})$의 두 개의 용어로만 구성된다.^[1][2] 각 기간의 일부가 다음 기간의 일부로 취소되는 취소 기법은 차이의 방법으로 알려져 있다.

예를 들어, 영상 시리즈

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n(n+1)}}}}$

(프론적 숫자의 일련의 왕복)은 다음과 같이 단순화한다.

${\displaystyle {\regated}\sum _{n=1}^{n1}{n1}^{n1}{n(n+1)}}}{n=1}:{n=1}^\sum _{n=1}\frac {1}-{n1}{n+1}\오른쪽)\{}&{}=\lim _{N\to \inflt }\sum _{n=1}^{N}\왼쪽({\frac {1}{n1}-{n1}-{n+1}\right)\\\{}&,{}=\lim _{N\to \infty}\left\lbrack{\left(1-{\frac{1}{2}}\right)+\left({\frac{1}{2}}-{\frac{1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac{1}{N}}-{\frac{1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&,{}=\lim _{N\to \infty}\left\lbrack{1+\left(-{\frac{1}{2}}와{\frac{1}{2}}\right)+\left(-{\frac{1}{3}}와{\frac{1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac{1}{N}}.+{\frac {1}{{N}\오른쪽)-{\frac {1}{{N+1}}\right\rbrack \\{}}=\lim _{N\flt \to \flput }\lbrack {1-{N+1}}\right\rback =1}\end{정렬}}}$

대체적으로.

텔레스코핑 합계는 연속된 한 쌍의 항이 서로 취소되어 초기 항과 최종 항만 남게 되는 유한한 합이다.^[3]

${\displaystyle n_{}}$ ${\$을(를) 숫자의 순서가 되도록$$ 한다. 그러면.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\좌측(a_{n}-a_{n-1}\우측)=a_{N}-a_{0}$

${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{n}\오른쪽$ 화살표 $0}$인 경우

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infit }\왼쪽(a_{n}-a_{n-1}\오른쪽)=-a_{0}}$

텔레스코핑 제품은 연속된 용어가 분자로 분모를 취소하고 초기 용어와 최종 용어만 남기는 유한 제품이다.

${\displaystyle n_{}}$ ${\$을(를) 숫자의 순서가 되도록$$ 한다. 그러면.

${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}:{n-1}}={\frac {a_{0}}{a_{a_}}}{a_{n}}}}}{a_{a_{n_}}}}{n_{n_{n_}}N}}}$

${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{n}\오른쪽$ 화살표 $1}$인 경우

${\displaystyle \prod_{n=1}^{\inflt }{\frac {a_{n-1}{a_{n}}}=a_{0}}}}}$

더 많은 예

• 많은 삼각함수 또한 표현을 차이점으로 인정하여 연속된 용어들 사이에 망원경으로 취소를 할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\오른쪽)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\cSC \좌측({\frac {1}{2}}\우측)\좌측({\frac \{1}{2}}\우측)\신 \좌측({\frac {1}{1}\우측)\좌측(n\우측)\우측)\우측)\우측).\&{}={\frac{1}:{2}}\csc \좌({\frac {1}{2}}\우)\sum _{n1}^{N}\좌(\cos \좌)\cos \좌({\frac {2n-1}{2}}\우)-\좌({\frac {2n+1}{2}}\우)\우)\우)\우)\우)\우)\우)\\&{}={\frac {1}{1}2}}\csc \좌측({\frac {1}{2}}\우측)\cos \좌측({\frac {1}{2}}\우측)-\cos \좌측({\frac {2N+1}{2})}}\오른쪽)\오른쪽).\end{정렬}}}$

• 서식의 몇 가지 합계

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}}$

여기서 f와 g는 지수를 부분 분수로 나눌 수 있는 다항 함수로서, 이 방법에 의해 합산을 인정하지 않을 것이다. 특히 한 사람이 가지고 있다.

${\displaystyle {\regated}\sum _{n=0}^{{n=0}}{{n+3}{{n+1)}{{n=0}}}={n=0}^{n=0}}}{n+1}{n+1}{n+2}}\frac {1}오른쪽)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}$

문제는 그 조건이 취소되지 않는다는 것이다.

• k를 양의 정수가 되게 하라. 그러면.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflat }{{n1}{n+k}}}={\frac {H_{k}}{k}}}}}}$

여기서 H는_k k번째 고조파 수입니다. 1/(k - 1) 이후 모든 약관이 취소됨.

• k,m과 k $\ne {\displaystyle }$ ${\displaystyle \neq }$를 양수로 한다. 그러면.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)...(n+m-1)(n+m)}={\frac {1}{m-k}\cdot {\frac {k!}}{m!}}}$

확률론에서의 적용

확률론에서 포아송 공정은 가장 단순한 경우로 무작위 시간에 "발생"을 포함하며, 다음 발생까지의 대기 시간은 기억력이 없는 지수 분포를 가지며, 예상 값이 레에 비례하는 포아송 분포를 갖는 임의의 시간 간격에서 "발생"의 횟수는 확률적 과정이다.시간 간격의 ngth X를_t 시간 t 이전의 "발생" 횟수로 하고, T를_x x번째 "발생"까지의 대기 시간으로 한다. 랜덤 변수 T의_x 확률밀도함수를 구한다. 우리는 포아송 분포에 확률 질량 함수를 사용하며, 이것은 다음과 같은 것을 알려준다.

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}},}$

여기서 λ은 길이의 모든 시간 간격에서의 평균 발생 수입니다. 사건 {X_t ≥ x}이(가) 사건_x {T }, t}과(와) 같으므로 확률이 동일한지 확인하십시오. 직관적으로 t ${\displaystyle t}$시간 $전$에 최소한 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$번$$ 이상 어떤 일이 발생하면 x ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle h}$ ${\$$displaystyle t}$에서 x t ${\$$displaystyle xth}$ 발생을 기다려야$$ 한다$.$ 그러므로 우리가 추구하는 밀도함수는

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}}\오른쪽)\\\\&{}=\\da e^{-\\da t}-e^{-\e^}\sum _{u=1}^{x-1}\frac\\\lambda ^{u-1}{u-1}:{u-1}:{u-1}:{u-1}{(u-1)!}}}-{\frac {\frac다 ^{u+1}t^{u}}{u!}}\오른쪽)\끝{정렬}}$

총 망원경, 떠나는 것

${\displaystyle f(t)={\frac {\frac ^{x}t^{x-1}e^{-\filda t}{(x-1)!}}.}$

유사개념

텔레스코핑 제품

텔레스코핑 제품은 유한한 제품(또는 무한제품의 부분적인 제품)으로, 결국 한정된 수의 요인만이 될 수 있는 인수의 방법에 의해 취소할 수 있다.^[4][5]

예를^[4] 들어 무한 제품

${\displaystyle \prod _{n=2}^{\inflit }\좌측(1-{\\frac {1}{n^{2}}}\우측)}$

으로 단순화하다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\prod _ᆬ^ᆭ\left(1-{\frac{1}{n^{2}}}\right)&, =\prod _{n=2}^{\infty}{\frac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&,=\lim _{N\to \infty}\prod _{n=2}^{N}{\frac{n-1}{n}};=\lim _{N\to \infty}\left\lbrack{{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\times}\cdot{\frac{3}{4}}\times \times\prod _{n=2}^{N}{\frac{n+1}{n}}\\& \times.s\times{\fRac{N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack{{\frac{3}{2}}\times{\frac{4}{3}}\times{\frac{5}{4}}\times \cdots \times{\frac{N}{N-1}}{\frac{N+1}{N}}}\right\rbrack \\&, =\lim _{N\to \infty}\left\lbrack{\frac{1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack{\frac{N+1}{N}}\right\rbrack \\&, ={\frac{1}{2}}\times \times\lim _{N\to \infty}\l.eft\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}}+{\frac {1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{정렬}}}$

기타 응용 프로그램

다른 응용 프로그램의 경우 다음을 참조하십시오.

• 그랜디의 시리즈;
• 교정쇄 중 하나가 텔레스코핑 합계를 사용하는 경우 프리타임의 왕복 합계가 서로 다르다는 증거
• 텔레스코핑 시리즈의 연속 아날로그인 미적분학의 기본 정리
• 확률밀도함수의 도출에서 텔레스코핑 합계가 발생하는 순서 통계.
• 대수적 위상에서 텔레스코핑 합계가 발생하는 Lefschez 고정점 정리
• 호몰로지 이론, 다시 대수적 위상;
• 에일렌베르크-마주르 사기, 텔레스코핑 합계의 매듭이 발생하는 경우
• Faddeev-LeVerrier 알고리즘.

참조